Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau

Số trung bình của mẫu số liệu là

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{1}{20}\cdot (2{,}85\cdot 3+3{,}15\cdot 6+3{,}45\cdot 5+3{,}75\cdot 4+4{,}05\cdot 2)=3{,}39.\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S^2=\displaystyle\frac{1}{20}\left(3\cdot 2{,}85^2+6\cdot 3{,}15^2+5\cdot 3{,}45^2+4\cdot 3{,}45^2+2\cdot 4{,}05^2\right)-3{,}39^2=0{,}1314.\)

Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau

Số trung bình của mẫu số liệu là

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{1}{18}\cdot (22{,}5\cdot 6+27{,}5\cdot 6+32{,}5\cdot 4+37{,}5\cdot 1+42{,}5\cdot 1)=\displaystyle\frac{85}{3}.\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S^2=\displaystyle\frac{1}{18}\left(6\cdot 22{,}5^2+6\cdot 27{,}5^2+4\cdot 32{,}5^2+1\cdot 37{,}5^2+1\cdot 42{,}5^2\right)-\left(\displaystyle\frac{85}{3}\right)^2=31{,}25.\)

Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau

Số trung bình của mẫu số liệu là

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{1}{25}\cdot (9\cdot 4+11\cdot 6+13\cdot 8+15\cdot 4+17\cdot 3)=12{,}68.\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S^2=\displaystyle\frac{1}{25}\left(4\cdot 9^2+6\cdot 11^2+8\cdot 13^2+4\cdot 15^2+3\cdot 17^2\right)-12{,}68^2=5{,}9776.\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

\(S=\sqrt{5{,}9776}=\approx 2{,}445.\)

a) Ta có bảng sau

Ta có cỡ mẫu \(n=60\).

Số trung bình của mẫu số liệu là

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{3 \cdot 18{,}5+7\cdot 19{,}5+23\cdot 20{,}5+25\cdot 21{,}5+2\cdot 22{,}5}{60}=\displaystyle\frac{623}{30}\approx 20{,}77.\)

Phương sai của mẫu số liệu là

\(S^2=\displaystyle\frac{1}{60}\left(3 \cdot 18{,}5^2+7\cdot 19{,}5^2+23\cdot 20{,}5^2+25\cdot 21{,}5^2+2\cdot 22{,}5^2\right)-\left(\displaystyle\frac{623}{30}\right)^2=\displaystyle\frac{179}{225}\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

\(S^{2}=\sqrt{\displaystyle\frac{179}{225}}=\displaystyle\frac{\sqrt{179}}{15}\approx 0{,}89\).

b) Trong trường hợp này, độ lệch chuẩn nhỏ chứng tỏ độ dày của một chi tiết máy không bị sai lệch nhiều.

Ta có bảng sau

Ta có cỡ mẫu \(n=150\).

Số trung bình của mẫu số liệu là

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{6\cdot 75+9\cdot 125+39\cdot 175+66\cdot 225+30\cdot 275}{150}=210. \)

Phương sai của mẫu số liệu là

\(S^2=\displaystyle\frac{1}{150}(6\cdot 75^2+9\cdot 125^2+39\cdot 175^2+66\cdot 225^2+30\cdot 275^2)-210^2=2425.\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là \( S=49{,}244 \).

Ta có bảng thống kê cân nặng của các quả mít theo giá trị đại diện

Cỡ mẫu \( n=6+12+19+9+4=50 \).

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{6\cdot 5+12\cdot7+19\cdot9+9\cdot11+4\cdot13}{50}=8{,}72.\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S^2=\displaystyle\frac{1}{50}\left(6\cdot5^2+12\cdot 7^2+19\cdot9^2+9\cdot11^2+4\cdot13^2 \right)-8{,}72^2\approx4{,}80.\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là

\( S\approx \sqrt{4{,}80}\approx 2{,}19 \).

Ta có bảng sau

Cỡ mẫu là \( n=13+45+24+12+6=100 \).

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{13\cdot19{,}25+45\cdot 19{,}75+24\cdot 20{,}25+12\cdot 20{,}75+6\cdot 21{,}25}{100}=20{,}015. \)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S^2=\displaystyle\frac{1}{100}\left(13\cdot19{,}25^2+45\cdot 19{,}75^2+24\cdot 20{,}25^2+12\cdot 20{,}75^2+6\cdot 21{,}25^2 \right) -20{,}015^2\approx 0{,}277. \)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \( S\approx\sqrt{0{,}277} \).

Ta có bảng sau

Ta có cỡ mẫu \( n=21 \).

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{3\cdot162+5\cdot166+8\cdot170+4\cdot174+1\cdot178}{21}=\displaystyle\frac{3550}{21}. \)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S^2=\displaystyle\frac{1}{21}(3\cdot162^2+5\cdot166^2+8\cdot170^2+4\cdot174^2+1\cdot178^2)-\left(\displaystyle\frac{3550}{21} \right)^2\approx18{,}14.\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \( S\approx\sqrt{18{,}14} \).

Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau

Số trung bình của mẫu số liệu là

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{1}{20}\cdot (2{,}85\cdot 3+3{,}15\cdot 6+3{,}45\cdot 5+3{,}75\cdot 4+4{,}05\cdot 2)=3{,}39.\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S^2=\displaystyle\frac{1}{20}\left(3\cdot 2{,}85^2+6\cdot 3{,}15^2+5\cdot 3{,}45^2+4\cdot 3{,}45^2+2\cdot 4{,}05^2\right)-3{,}39^2=0{,}1314.\)

Số trung bình

\(\bar{x}=\displaystyle\frac{25\cdot 25+35\cdot 20+45\cdot 20+55\cdot 15+65\cdot 14+75\cdot 6}{100}=\displaystyle\frac{585}{11}= 44,1\)

Phương sai của mẫu số liệu

\(\begin{aligned}s^2 =&\frac{1}{100}\left[25\cdot(44,1-25)^2+20\cdot(44,1-35)^2\right.\\ & +20\cdot(44,1-45)^2+15\cdot(44,1-55)^2+6\cdot(44,1-65)^2+4\cdot(44,1-75)^2 \left. \right]\\ & \approx 244,19.\end{aligned}\)

Độ lệch chuẩn \(s\approx 15,62\).

a)

Số trung bình công ty A:

\(\bar{x}_A=\displaystyle\frac{12,5\cdot 15+17,5\cdot 18+22,5\cdot 10+27,5\cdot 10+32,5\cdot 5+37,5\cdot 2}{60}=\displaystyle\frac{62}{3}\approx 20,7\)

Phương sai của mẫu số liệu công ty A:

\(\begin{aligned}s^2_A =&\frac{1}{60}\left[15\cdot(20,7-12,5)^2+18\cdot(20,7-17,5)^2\right.\\ & +10\cdot(20,7-22,5)^2+10\cdot(20,7-27,5)^2+5\cdot(20,7-32,5)^2+2\cdot(20,7-37,5)^2 \left. \right]\\ & \approx 49,14.\end{aligned}\)

Độ lệch chuẩn công ty A: \(s_A\approx 7\).

Số trung bình công ty B:

\(\bar{x}_B=\displaystyle\frac{12,5\cdot 35+17,5\cdot 15+22,5\cdot 7+27,5\cdot 5+32,5\cdot 5+37,5\cdot 3}{60}=\displaystyle\frac{62}{3}\approx 21,2\)

Phương sai của mẫu số liệu công ty B:

\(\begin{aligned}s^2_A =&\frac{1}{60}\left[25\cdot(21,2-12,5)^2+15\cdot(21,2-17,5)^2\right.\\ & +7\cdot(21,2-22,5)^2+5\cdot(21,2-27,5)^2+5\cdot(21,2-32,5)^2+3\cdot(21,2-37,5)^2 \left. \right]\\ & \approx 62,39.\end{aligned}\)

Độ lệch chuẩn công ty B: \(s_B\approx 7,9\).

b) Vì \(s_A nên mức lương ở công ty \(A\) đồng đều hơn.

a) Có \( 2 \) máy vi tính có thời gian sử dụng pin từ \(7{,}2\) đến dưới \( 7{,}4 \) giờ.

b) Ta có bảng sau

Cỡ mẫu là \( n=2+4+7+5=18 \).

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{2\cdot7{,}3+4\cdot7{,}5+7\cdot7{,}7+5\cdot7{,}9}{18}=\displaystyle\frac{23}{3}. \)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S^2=\displaystyle\frac{1}{18}\left(2\cdot7{,}3^2+4\cdot7{,}5^2+7\cdot7{,}7^2+5\cdot7{,}9^2 \right)-\left(\displaystyle\frac{23}{3} \right)^2 \approx 0{,}037.\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \(S\approx\sqrt{0{,}037} \).

Bổ sung thêm các giá trị đại diện, ta có bảng sau

Từ mẫu số liệu đã cho, ta tính được số trung bình là

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{4{,}5\cdot 64 + 7{,}5\cdot 40 + 11{,}5\cdot 84 + 13{,}5 \cdot 56 + 16{,}5\cdot 16}{64+40+84+56+16}=9{,}9.\)

Và trung bình cộng của các bình phương số liệu thống kê là

\(\overline{x^2}=\displaystyle\frac{4{,}5^2\cdot 64 + 7{,}5^2\cdot 40 + 11{,}5^2\cdot 84 + 13{,}5^2 \cdot 56 + 16{,}5^2\cdot 16}{64+40+84+56+16}=\displaystyle\frac{29217}{260}.\)

Từ đó ta có độ lệch chuẩn chi phí thuê nhà hàng tháng của những nhân viên được điều tra là

\(s=\sqrt{\overline{x^2}-\left(\overline{x}\right)^2}\approx 14{,}36.\)

a) Ta có

Số đo trung bình

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{1}{20}(3\cdot4{,}75+8\cdot5{,}25+7\cdot5{,}75+2\cdot6{,}25)=5{,}45.\)

Độ lệ chuẩn

\(s=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{20}\left(3\cdot4{,}75^2+8\cdot5{,}25^2+7\cdot5{,}75^2+2\cdot6{,}25^2\right)-5{,}45^2}=0{,}43012.\)

b) Số trung bình và độ lệch chuẩn cho biết sự chênh lệch về giá trị đo của từng thời điểm đánh giá so với giá trị trung bình.

a) Giá trị trung bình của mẫu số liệu trên là

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{1}{20}\cdot(3\cdot171+10\cdot 173+6\cdot 175+1\cdot 179)=173{,}6\).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là

\(s=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{20}\cdot(3\cdot171^{2}+10\cdot 173^{2}+6\cdot 175^{2}+1\cdot 179^{2})-173{,}6^{2}}=1{,}8\).

Độ phân tán \( CV=\displaystyle\frac{s}{\overline{x}}=\displaystyle\frac{1{,}8}{173{,}6}=0{,}0104 \).

b) Độ phân tán của mẫu số liệu nhỏ cho biết các vận động viên tham gia nhảy cao là đồng đều.

Ta có

Thời gian chạy trung bình củ vận động viên \(A\) là \(\overline{x}_A=\displaystyle\frac{1}{20}(2\cdot10{,}15+10\cdot10,45+5\cdot10{,}75+3\cdot11{,}05)=10{,}585\)

Độ lệch chuẩn của vận động viên \(A\). \(s_A=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{20}\left(2\cdot10{,}15^2+10\cdot10{,}45^2+5\cdot10{,}75^2+3\cdot11{,}05^2\right)-10{,}585^2}=0{,}25937.\)

Thời gian chạy trung bình củ vận động viên \(B\) là \(\overline{x}_A=\displaystyle\frac{1}{25}(3\cdot10{,}15+7\cdot10{,}45+9\cdot10{,}75+6\cdot11{,}05)=10{,}666.\)

Độ lệch chuẩn của vận động viên \(B\). \(s_A=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{25}\left(3\cdot10{,}15^2+7\cdot10{,}45^2+9\cdot10{,}75^2+6\cdot11{,}05^2\right)-10{,}666^2}=0{,}288.\)

Vậy độ viên \(B\) có thành tích ổn định hơn.

a) Ước tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của đường kính các ổ bi được sản xuất bởi mỗi máy.

Kích thước của hai mẫu số liệu đều là \(N= 60\).

Đường kính trung bình của các ổ bi được sản xuất bởi nhà máy X là \(\overline{x}_X= \displaystyle\frac{28{,} 5 \cdot 2 + 29{,}5 \cdot 23 + 30{,} 5 \cdot 25 + 31{,} 5 \cdot 7 + 32{,} 5 \cdot 3 }{60} \approx 30{,} 27 \text{ mm}.\)

Độ lệch chuẩn của đường kính các ổ bi được sản xuất bởi nhà máy \(X\) là \(s_X=\sqrt{\displaystyle\frac{28{,} 5^2 \cdot 2 + 29{,}5^2 \cdot 23 + 30{,} 5^2 \cdot 25 + 31{,} 5^2 \cdot 7 + 32{,} 5^2 \cdot 3 }{60} - \left(\overline{x}_X\right)^2 }\approx 0{,} 88 \text{ mm}.\)

Đường kính trung bình của các ổ bi được sản xuất bởi nhà máy Y là \(\overline{x}_Y= \displaystyle\frac{28{,} 5 \cdot 9 + 29{,}5 \cdot 8 + 30{,} 5 \cdot 20+ 31{,} 5 \cdot 17 + 32{,} 5 \cdot 6 }{60} \approx 30{,} 55 \text{ mm}.\)

Độ lệch chuẩn của đường kính các ổ bi được sản xuất bởi nhà máy \(Y\) là \(s_Y=\sqrt{ \displaystyle\frac{28{,} 5 ^2\cdot 9 + 29{,}5^2 \cdot 8 + 30{,} 5^2 \cdot 20+ 31{,} 5^2 \cdot 17 + 32{,} 5^2 \cdot 6 }{60} - \left(\overline{x}_Y\right)^2}\approx 1{,} 19 \text{ mm}.\)

b) Ta có \(\left|\overline{x}_X - 30{,}4 \right| \approx 0{,} 13\) và \(\left|\overline{x}_Y- 30{,} 4 \right| \approx 0{,} 15. \)

Suy ra đường kính trung bình của \(60\) ổ bi do nhà máy \(X\) sản xuất gần với đường kính mong muốn là \(30{,} 4\) mm hơn so với nhà máy B.

Đồng thời do \(s_{X} < s_Y\) nên đường kính của mỗi ổ bi do nhà máy \(X\) sản xuất ít phân tán hơn so với nhà máy \(Y\).

Vì vậy, chất lượng sản phẩm do nhà máy \(X\) tốt hơn so với nhà máy \(Y\).

a) Ước tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của lượng cà phê trong những cốc được pha chế bởi mỗi máy.

Kích thước của hai mẫu số liệu đều là \(N=50\).

Giá trị trung bình của hàm lượng cà phê trong mỗi cốc do nhà máy \(A\) sản xuất là

\(\overline{x}_A = \displaystyle\frac{ 244 \cdot 6 + 248 \cdot 5 + 252 \cdot 28 + 256 \cdot 7 + 260 \cdot 4}{50} = 251{,}84.\)

Độ lệch chuẩn của hàm lượng cà phê trong mỗi cốc do nhà máy \(A\) sản xuất là

\(\overline{s}_A=\sqrt{ \displaystyle\frac{ 244^2 \cdot 6 + 248^2 \cdot 5 + 252^2 \cdot 28 + 256^2 \cdot 7 + 260^2\cdot4}{50}-251{,}84^2}\approx 4{,}08.\)

Giá trị trung bình của hàm lượng cà phê trong mỗi cốc do nhà máy \(B\) sản xuất là

\(\overline{x}_B= \displaystyle\frac{ 244 \cdot 5 + 248 \cdot 8 + 252 \cdot 17 + 256 \cdot 14 + 260 \cdot 6}{ 50}= 252{,} 64.\)

Độ lệch chuẩn của hàm lượng cà phê trong mỗi cốc do nhà máy \(B\) sản xuất là

\(\overline{s}_B=\sqrt{\displaystyle\frac{ 244^2 \cdot 5 + 248^2 \cdot 8 + 252^2 \cdot 17 + 256^2 \cdot 14 + 260^2 \cdot 6}{50}-252{,}64^2}\approx 4{,}55.\)

b) Ta có \(\left|\overline{x}_A- 250 \right| =1{,} 84\) và \(\left|\overline{x}_B- 250 \right| =2{,} 64\).

Suy ra hàm lượng cà phê trung bình trong mỗi cốc do nhà máy \(A\) sản xuất gần với lượng cà phê mong muốn (là \(250\) cm\(^3\)) hơn.

Đồng thời, do \(s_A < s_B\) nên hàm lượng cà phê trong mỗi cốc do nhà máy \(A\) sản xuất ít phân tán hơn so với nhà máy B.

Vậy nếu định kinh doanh cà phê bằng hình thức bán hàng tự động thì anh Hùng nên chọn mua loại máy \(A\).

a) Ước tính số trung bình và độ lệch chuẩn của chiều cao các cây được chăm sóc theo mỗi phương pháp.

Cỡ mẫu của hai mẫu số liệu thống kê là \(N= 40\).

Ta có bảng tần số ghép nhóm về chiều cao của cây được chăm sóc theo phương pháp A như sau:

Chiều cao trung bình của các cây được chăm sóc theo phương án \(A\) là \(\overline{x}_A= \displaystyle\frac{5 \cdot 6 + 15 \cdot 8 + 25 \cdot 12 + 35 \cdot 8 + 45 \cdot 6}{40}=25.\)

Độ lệch chuẩn của chiều cao các cây được chăm sóc theo phương án \(A\) là \(s_A =\sqrt{\displaystyle\frac{5^2 \cdot 6 + 15^2 \cdot 8 + 25^2 \cdot 12 + 35^2 \cdot 8 + 45 ^2 \cdot 6}{40} - 25^2}\approx 12{,} 65.\)

Ta có bảng tần số ghép nhóm về chiều cao của cây được chăm sóc theo phương pháp A như sau:

Chiều cao trung bình của các cây được chăm sóc theo phương án \(B\) là \(\overline{x}_B= \displaystyle\frac{5 \cdot 13 + 15 \cdot 6 + 25 \cdot 2 + 35 \cdot 6 + 45 \cdot 13}{40}=25 \text{ cm}.\)

Độ lệch chuẩn của chiều cao các cây được chăm sóc theo phương án \(B\) là \(s_B =\sqrt{\displaystyle\frac{5^2 \cdot 13 + 15^2 \cdot 6 + 25^2 \cdot 2 + 35^2 \cdot 6+ 45 ^2 \cdot 13}{40} - 25^2}\approx 17{,} 03 \text{ cm}.\)

b) So sánh hiệu quả của các phương pháp

Dựa trên chiều cao trung bình, ta thấy dù có dùng phương pháp nào thì các loại cây đều có chiều cao trung bình giống nhau là \(25\) cm.

Dựa trên sự đồng đều về chiều cao: do \(s_A< s_B\) nên chiều cao của các loại cây được chăm sóc theo phương án \(A\) ít bị chênh lệch hơn so với phương án \(B\).

Công ty G:

Bổ sung thêm các giá trị đại diện, ta có bảng sau

Giá trị trung bình của mẫu số liệu là

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{51\cdot 3 + 53\cdot 7 + 55 \cdot 9 + 57 \cdot 8 + 59 \cdot 3}{30}\approx 55{,}1.\)

Trung bình cộng của các bình phương số liệu thống kê là

\(\overline{x^2}=\displaystyle\frac{51^2\cdot 3 + 53^2\cdot 7 + 55^2 \cdot 9 + 57^2 \cdot 8 + 59^2 \cdot 3}{30}\approx 3037{,}5.\)

Từ đó ta có độ lệch chuẩn của mấu số liệu là

\(s=\sqrt{\overline{x^2}-\left(\overline{x}\right)^2}= 5{,}2.\)

Công ty H

Bổ sung thêm các giá trị đại diện, ta có bảng sau

Giá trị trung bình của mẫu số liệu là

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{41\cdot 6 + 43\cdot 7 + 45 \cdot 5 + 47 \cdot 7 + 49 \cdot 5}{30}\approx 44{,}9.\)

Trung bình cộng của các bình phương số liệu thống kê là

\(\overline{x^2}=\displaystyle\frac{41^2\cdot 6 + 43^2\cdot 7 + 45^2 \cdot 5 + 47^2 \cdot 7 + 49^2 \cdot 5}{30}\approx 2020{,}7.\)

Từ đó ta có độ lệch chuẩn của mấu số liệu là

\(s=\sqrt{\overline{x^2}-\left(\overline{x}\right)^2}= 7{,}7.\)

Từ kết quả trên, ta thấy công ty G có giá cổ phiếu ít biến động hơn.

Kết quả của An đo

Kết quả của Bình đo

Gọi \(\overline{x}_{A} \) và \( \overline{x}_{B} \) lần lượt là giá trị trung bình của An và Bình.

a) \(\overline{x}_{A}=\displaystyle\frac{1}{10}\cdot(1\cdot 3{,}875+6\cdot3{,}925+2\cdot 3{,}975+1\cdot 4{,}025)=3{,}94\).

\(\overline{x}_{B}=\displaystyle\frac{1}{10}\cdot(1\cdot 3{,}875+3\cdot3{,}925+4\cdot 3{,}975+2\cdot 4{,}025)=3{,}96 \).

b) Gọi \( s_{A} \) và \( s_{B} \) lần lượt là độ lệch chuẩn của An và Bình.

\(s_{A}=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{10}\cdot(1\cdot 3{,}875^{2}+6\cdot 3{,}925^{2}+2\cdot 3{,}975^{2}+1\cdot 4{,}025^{2})-3{}94^{2}}=0{,}04 \).

\(s_{B}=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{10}\cdot(1\cdot 3{,}875^{2}+3\cdot 3{,}925^{2}+4\cdot 3{,}975^{2}+2\cdot 4{,}025^{2})-3{,}96^{2}}=0{,}334 \).

c) Vôn-kế của An cho độ lệch chuẩn nhỏ hơn nên ổn định hơn.

Khoảng biến thiên là \( R=7{,}5-5=2{,}5 \).

Ta có cỡ mẫu \( n=40 \).

Giá trị \( x_{10} \), \( x_{11} \) thuộc nhóm \( [5{,}5;6) \) và \( [6;6{,}5) \) nên tứ phân vị thứ nhất \(Q_1=6\).

Giá trị \( x_{30} \), \( x_{31} \) thuộc nhóm \( [6{,}5;7) \) nên nhóm \( [6{,}5;7) \) chứa trung vị thứ ba.

\begin{eqnarray*}Q_{3}&=&a_{p}+ \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{r\cdot n}{4}-\left(m_{1}+\dots+m_{p-1}\right)}{m_{p}}\cdot \left(a_{p+1}-a_{p}\right)\\ &=&6{,}5 +\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot 40}{4}-(2+8+15)}{10}\cdot (7-6{,}5)\\ &=&6{,}75.\end{eqnarray*}

Khoảng tứ phân vị \( \Delta_{Q}=Q_{3}-Q_{1}=6{,}25 \).

Số trung bình của mẫu số liệu

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{m_{1}\cdot x_{1}+\dots+m_{k}\cdot x_{k}}{n}=\displaystyle\frac{2\cdot5{,}25+8\cdot 5{,}75+15\cdot 6{,}25+10\cdot 6{,}75+5\cdot7{,}25}{40}=6{,}35 \).

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

\( s^{2}=\displaystyle\frac{1}{40}\cdot\left(2\cdot 5{,}25^{2}+8\cdot 5{,}75^{2}+15\cdot 6{,}25^{2}+10\cdot 6{,}75^{2}+5\cdot 7{,}25^{2}\right)-6{,}35^{2}=0{,}2775 \).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm \(s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{0{,}2775}\approx 0{,}5268\).

Lĩnh vực \(A\)

Lĩnh vực \(B\)

a) Giá trị trung bình của hai lĩnh vực A và B là

\( \overline{x}_{A}=\displaystyle\frac{1}{25}\cdot (2\cdot7{,}5+5\cdot12{,}5+8\cdot17{,}5+6\cdot22{,}5+4\cdot27{,}5)=18{,}5 \) (triệu đồng).

\( \overline{x}_{B}=\displaystyle\frac{1}{25}\cdot (8\cdot7{,}5+4\cdot12{,}5+2\cdot17{,}5+5\cdot22{,}5+6\cdot27{,}5)=16{,}9 \) (triệu đồng).

Về độ trung bình đầu tư vào lĩnh vực \(A\) lãi hơn lĩnh vực \(B\).

b) Độ lệch chuẩn của hai lĩnh vực \(A\) và \(B\) là

\( s_{A}=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{25}\cdot (2\cdot7{,}5^{2}+5\cdot12{,}5^{2}+8\cdot17{,}5^{2}+6\cdot22{,}5^{2}+4\cdot27{,}5^{2})-18{,}5^{2}}=5{,}8 \).

\( s_{B}=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{25}\cdot (8\cdot7{,}5^{2}+4\cdot12{,}5^{2}+2\cdot17{,}5^{2}+5\cdot22{,}5^{2}+6\cdot27{,}5^{2})-16{,}9^{2}}=8{,}04 \).

Như vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thu tiền được hàng tháng khi đầu tư vào lĩnh vực \(B\) cao hơn lĩnh vực \(A\) nên đầu tư vào lĩnh vực \(B\) rủi ro hơn.

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, ta có

Tổng số người nam là \(n_1=2+3+5+3+2=15\).

Tổng số người nữ là \(n_2=2+7+12+7+2=30\).

Thay đổi cân nặng trung bình của người nam là:

\(\overline{x}_1=\frac{1}{15}[2 \cdot(-0{,}5)+3 \cdot 0{,}5+5 \cdot 1{,}5+3 \cdot 2{,}5+2 \cdot 3{,}5]=1{,}5~(\mathrm{kg}).\)

Thay đổi cân nặng trung bình của người nữ là:

\(\overline{x}_2=\displaystyle\frac{1}{30}[2 \cdot(-0{,}5)+7 \cdot 0{,}5+12 \cdot 1{,}5+7 \cdot 2{,}5+2 \cdot 3{,}5]=1{,}5~(\mathrm{kg}).\)

Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về thay đổi cân nặng của người nam là

\(s_1^2=\displaystyle\frac{1}{15}\left[2 \cdot(-0{,}5)^2+3 \cdot 0{,}5^2+5 \cdot 1{,}5^2+3 \cdot 2{,}5^2+2 \cdot 3{,}5^2\right]-1{,}5^2 \approx 1{,}21^2; s_1 \approx 1{,}21.\)

Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về thay đổi cân nặng của người nữ là

\(s_2^2=\displaystyle\frac{1}{30}\left[2 \cdot(-0{,}5)^2+7 \cdot 0{,}5^2+12 \cdot 1{,}5^2+7 \cdot 2{,}5^2+2 \cdot 3{,}5^2\right]-1{,}5^2 \approx 2{,}06^2; s_2 \approx 2{,}06.\)

Như vậy, sau ba tháng áp dụng chế độ ăn kiêng này, về trung bình sự thay đổi cân nặng của nam và nữ là như nhau. Tuy nhiên, sự biến động về thay đổi cân nặng của nữ nhiều hơn so với của nam.

Chọn điểm đại diện cho các nhóm số liệu ta tính được các số đặc trưng như sau

Lợi nhuận trung bình một tháng của các nhà đầu tư tương ứng là

\(\bar{x}_A=\displaystyle\frac{1}{20}(2 \cdot 15+\ldots+2 \cdot 55)=35\) (triệu đồng);

\(\bar{x}_B=\displaystyle\frac{1}{20}(4 \cdot 515+\ldots+4 \cdot 555)=535\) (triệu đồng).

Độ lệch chuẩn của lợi nhuận hàng tháng của hai nhà đầu tư tương ứng là

\(s_A=\sqrt{\displaystyle\frac 1{20}\left(2\cdot 15^2+\ldots+2\cdot 55^2\right)-(35)^2}\approx 10{,}95;\)

\(s_B=\sqrt{\displaystyle\frac 1{20}\left(4\cdot 515^2+\ldots+4\cdot 555^2\right)-(535)^2}\approx 13{,}78.\)

Độ lệch chuẩn cho lợi nhuận hàng tháng của nhà đầu tư lớn cao hơn của nhà đầu tư nhỏ. Lợi nhuận trung bình của hai nhà đầu tư khác nhau rất nhiều, do đó ta không nên dùng độ lệch chuẩn để so sánh mức độ rủi ro của hai nhà đầu tư này.

a) Mẫu số liệu hoàn thiện

b) Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc.

Khối lượng trung bình của \(30\) bao xi măng là

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{48{,}6+...+51{,}4}{30}=\displaystyle\frac{1504{,}3}{30}=50{,}1433.\)

Phương sai \(s_x^2=\displaystyle\frac{1}{30}\)\(\left[(48{,}6-50{,}1433)^2+...+(51{,}4-50{,}1433)^2\right]=0{,}871789\).

Độ lệch chuẩn \(s_x=\sqrt{s_x^2}=\sqrt{0{,}871789}=0{,}933696\).

Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.

Khối lượng trung bình của \(30\) bao xi măng là

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{6\cdot48{,}75+2\cdot49{,}25+4\cdot49{,}75+4\cdot20{,}25+6\cdot50{,}75+8\cdot51{,}25}{30}=50{,}18.\)

Phương sai

\(s^2=\displaystyle\frac{1}{30}\left(6\cdot48{,}75^2+2\cdot49{,}25^2+4\cdot49{,}75^2+4\cdot20{,}25^2+6\cdot50{,}75^2+8\cdot51{,}25^2\right)-50{,}18^2=1{,}197.\)

Độ lệch chuẩn \(s_x=\sqrt{s_x^2}=\sqrt{1{,}197}=1{,}094\).

Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc.

Phương sai và độ lệch chuẩn của của số linh kiện ở phân xưởng \(1\).

Tuổi thọ trung bình của \(40\) linh kiện là

\(\overline{x}_1=\displaystyle\frac{1}{40}(4\cdot 1{,}75+9\cdot 2{,}25+13\cdot 2{,}75+8\cdot 3{,}25+6\cdot 3{,}75)=2{,}7875.\)

Phương sai và độ lệch chuẩn của nhóm linh kiện ở phân xưởng \(1\) là

\(s_1^2=\displaystyle\frac{1}{40}\left(4\cdot 1{,}75^2+9\cdot 2{,}25^2+13\cdot 2{,}75^2+8\cdot 3{,}25^2+6\cdot 3{,}75^2\right)-2{,}7875=0{,}35484. \)

Suy ra \(s_1=\sqrt{0{,}35484}=0{,}59569.\)

Phương sai và độ lệch chuẩn của của số linh kiện ở phân xưởng \(2\).

Tuổi thọ trung bình của \(40\) linh kiện là

\(\overline{x}_2=\displaystyle\frac{1}{40}(2\cdot 1{,}75+8\cdot 2{,}25+20\cdot 2{,}75+7\cdot 3{,}25+3\cdot 3{,}75)=2{,}7625.\)

Phương sai và độ lệch chuẩn của nhóm linh kiện ở phân xưởng \(2\) là

\(s_2^2=\displaystyle\frac{1}{40}\left(2\cdot 1{,}75^2+8\cdot 2{,}25^2+20\cdot 2{,}75^2+7\cdot 3,25^2+3\cdot 3{,}75^2\right)-2{,}7625^2=0{,}2186. \)

Suy ra \(s_2=\sqrt{0{,}2186}=0{,}4675.\)

a) Mẫu số liệu ghép nhóm của

Khối \(A00\)

Khối \(A01\)

b) Độ lệch chuẩn của các khối

Khối \(A00\)

Giá trị trung bình của số liệu

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{19{,}5\cdot 2 + 20{,}5 \cdot 5 + 21{,}5 \cdot 8 + 22{,}5 \cdot 3 + 23{,}5\cdot 2}{20}=21{,}4.\)

Trung bình cộng của các bình phương số liệu thống kê là

\(\overline{x^2}=\displaystyle\frac{19{,}5^2\cdot 2 + 20{,}5^2 \cdot 5 + 21{,}5^2 \cdot 8 + 22{,}5^2 \cdot 3 + 23{,}5^2\cdot 2}{20}=459{,}15.\)

Từ đó ta có độ lệch chuẩn của mấu số liệu là

\(s=\sqrt{\overline{x^2}-\left(\overline{x}\right)^2}= 1{,}19.\)

Khối \(A01\)

Giá trị trung bình của số liệu

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{19{,}5\cdot 4 + 20{,}5 \cdot 3 + 21{,}5 \cdot 5 + 22{,}5 \cdot 5 + 23{,}5\cdot 3}{20}=21{,}5.\)

Trung bình cộng của các bình phương số liệu thống kê là

\(\overline{x^2}=\displaystyle\frac{19{,}5^2\cdot 4 + 20{,}5^2 \cdot 3 + 21{,}5^2 \cdot 5 + 22{,}5^2 \cdot 5 + 23{,}5^2\cdot 3}{20}=464{,}05.\)

Từ đó ta có độ lệch chuẩn của mấu số liệu là

\(s=\sqrt{\overline{x^2}-\left(\overline{x}\right)^2}= 1{,}8.\)

Từ kết quả trên, ta thấy điểm chuẩn khối \(A00\) ổn định hơn khối \(A01\).

Ta có cỡ mẫu \(N= 25+ 50+ 200+ 175 + 50=500\).

a) Ta có \(\displaystyle\frac{N}{4}= 125\).

Suy ra nhóm chứa \(Q_1\) là \([158; 162)\).

Khi đó \(Q_1 = 158 + \displaystyle\frac{125- 75}{200} \cdot 4= 159.\)

\(\displaystyle\frac{3N }{4 }= 475\).

Suy ra nhóm chứa \(Q_3\) là \([166; 170)\).

Khi đó \(Q_3= 166 +\displaystyle\frac{475-450}{50} \cdot 4=168\).

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \(\Delta _Q= Q_3 - Q_1=9\).

Chiều cao trung bình của học sinh là \(\overline{x}= \displaystyle\frac{152 \cdot 25 + 156 \cdot 50 + 160 \cdot 200 + 164 \cdot 175 + 168 \cdot 50}{500}= 161{,} 4 \text{ cm}.\)

Phương sai \(s^2 =\displaystyle\frac{1}{500} \left(152^2 \cdot 25 + 156^2 \cdot 50 + 160 ^2\cdot 200 + 164^2 \cdot 175 + 168 ^2\cdot 50 \right) - \left(161{,} 4 \right)^2=14{,} 84 \text{ cm}^2.\)

Độ lệch chuẩn: \(s=\sqrt{14{,} 84} \approx 3{,} 85 \) cm.

b) Ý nghĩa của các số liệu vừa tính được.

Do \(Q_1= 159\), \(Q_3 = 168\) và \(\Delta_Q= 9\) nên ta thấy có \(125\) học sinh có chiều cao trung bình không vượt quá \(159\) cm và có \(125\) học sinh có chiều cao trung bình ít nhất đạt \(168\) cm. Đồng thời \(250\) học sinh còn lại có chiều cao trung bình đạt từ \(159\) cm đến \(168\) cm và như vậy, chiều cao của \(250 \) học sinh này có thể chênh lệch nhau \(9\) cm.\\

Dựa vào các kết quả của chiều cao trung bình và độ lệch chuẩn, ta thấy chiều cao trung bình của \(500\) học sinh là \(161{,} 4\) cm và so với con số này thì chiều cao của mỗi học sinh chênh lệch trung bình khoảng \(3{,} 85\) cm.

a) Căn cứ vào giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mẫu số liệu, ta thấy khoảng biến thiên là \(R=9\) nên nếu muốn mỗi nhóm có độ dài bằng 2 và nhóm đầu tiên là \([5 ; 7)\) thì phải chia số liệu thành 5 nhóm, với 4 nhóm ghép tiếp theo là \([7 ; 9)\), \([9 ; 11)\), \([11 ; 13)\), \([13 ; 15)\). Đếm số lần xuất hiện các giá trị trong mỗi nhóm, ta lập được bảng sau:

b) Bổ sung thêm giá trị đại diện của mỗi nhóm vào bảng lập ở trên, ta có

\(\overline{x}_{N}=\displaystyle\frac{2\cdot6+4\cdot8+9\cdot10+6\cdot12+4\cdot14}{25}=\displaystyle\frac{262}{25}=10{,}48\) (giờ).

Suy ra phương sai \(s_{N}^{2}\) của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\begin{eqnarray*}s_{N}^{2} & =&\displaystyle\frac{2(6-10{,}48)^{2}+4(8-10{,}48)^{2}+9(10-10{,}48)^{2}+6(12-10{,}48)^{2}+4(14-10{,}48)^{2}}{25} \\ & =&\frac{130{,}24}{25}=5{,}2096 \approx 5{,}21.\end{eqnarray*}

Độ lệch chuẩn \(s_{N}\) của mẫu số liệu ghép nhóm là \(s_{N}=\sqrt{s_{N}^{2}} \approx 2{,}28\).

c) Gọi \(\overline{x}_{G}\), \(s_{G}^{2}\), \(s_{G}\) tương ứng là trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Để tính giá trị của các số đặc trưng này, ta lập bảng tần số:

Sử dụng các công thức tính trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu không ghép nhóm, ta có:

\(\overline{x}_{G}=\frac{5+6+7+3\cdot8+5\cdot9+4\cdot10+3\cdot11+3\cdot12+2\cdot13+2\cdot14}{25}=10.\)

Phương sai:

\begin{eqnarray*}s_{G}^{2} & =&\frac{1(5-10)^{2}+1(6-10)^{2}+1(7-10)^{2}+\ldots+3(12-10)^{2}+2(13-10)^{2}+2(14-10)^{2}}{25} \\ & =&\frac{132}{25}=5{,}28\end{eqnarray*}

Độ lệch chuẩn: \(s_{G}=\sqrt{s_{G}^{2}}=\sqrt{5{,}28} \approx 2{,}30\).

Quan sát kết quả tìm được ở hai câu \(b\) và \(c\), ta thấy \(\overline{x}_{N} \approx \overline{x}_{G}\); \(s_{N}^{2} \approx s_{G}^{2}\); \(s_{N} \approx s_{G}\).

Như vậy số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm tương ứng xấp xỉ với số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ban đầu, khi chưa ghép nhóm. Nếu chỉ có mẫu số liệu ghép nhóm thì ta có thể kết luận là thời gian làm thêm trung bình hằng tuần của \(25\) bác sĩ được điều tra là \(10{,}48\) giờ và so với số này thì thời gian làm thêm của các bác sĩ chênh lệch trung bình khoảng \(2{,}28\) giờ.

Ta có bảng tần số tích luỹ như sau:

Ta có \(N=100; \displaystyle\frac{N}{4}=25; \displaystyle\frac{N}{2}=50; \displaystyle\frac{3N}{4}=75\).

Dựa vào bảng, nhóm chứa \(Q_1^A\) là \([60 ; 70)\).

\(Q_1^A=60+\displaystyle\frac{25-8}{20} \cdot 10 = 68,5 \).

Nhóm chứa \(Q_2^A\) là \([70 ; 80)\).

\(Q_2^A=70+\displaystyle\frac{50-28}{50} \cdot 10= 74{,}4\).

Nhóm chứa \(Q_3^A\) là \([70;80)\).

\(Q_3^A=70+\displaystyle\frac{75 -28}{50} \cdot 10=79{,}4 \).

Vậy khoảng tứ phân vị ghép nhóm diện tích căn hộ của địa phương A là

\(\Delta_{Q_A} =79{,}4-68{,}5=10{,}9\).

Dựa vào bảng, nhóm chứa \(Q_1^B\) là \([60 ; 70)\).

\(Q_1^B=60+\displaystyle\frac{25 -15}{20} \cdot 10=65\).

Nhóm chứa \(Q_2^B\) là \([70 ; 80)\).

\(Q_2^B=70+\displaystyle\frac{50-35}{30} \cdot 10= 75\).

Nhóm chứa \(Q_3^B\) là \([80;90)\).

\(Q_3^B=80+\displaystyle\frac{75 -65}{20} \cdot 10= 85\).

Vậy khoảng tứ phân vị ghép nhóm diện tích căn hộ của địa phương B là là \(\Delta_{Q_B} =85-65=20\).

Qua khoảng tứ phân vị về diện tích căn hộ người dân hai địa phương, ta thấy địa phương B phân tán hơn.

Cỡ mẫu \(N= 45+ 190 + 500+ 250 + 15=1\, 000\).

a) Khoảng biến thiên là \(60-30=30\).\\

Ta có \(\displaystyle\frac{N}{4}= 250\).\\

Nhóm chứa \(Q_1\) là nhóm \([42; 48)\).\\

Suy ra \(Q_1= 42 + \displaystyle\frac{250- 235}{500} \cdot 16=42{,} 48\).\\

\(\displaystyle\frac{3N}{4}= 750\).\\

Nhóm chứa \(Q_3\) là nhóm \([48; 54)\).\\

Khi đó \(Q_3 =48 +\displaystyle\frac{750- 735 }{250} \cdot 16 = 48{,} 96\).\\

Suy ra khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1= 6{,} 48\).

Khối lượng trung bình \(\overline{x}= \displaystyle\frac{33 \cdot 45 + 39 \cdot 190 + 45 \cdot 500 + 51 \cdot 250 + 57 \cdot 15}{1\, 000}= 45\text{ gam}.\)

Độ lệch chuẩn \(s= \sqrt{\displaystyle\frac{33^2 \cdot 45 + 39^2 \cdot 190 + 45^2 \cdot 500 + 51^2 \cdot 250 + 57^2 \cdot 15}{1\, 000} - 45^2} \approx 4{,} 95 \text{ gam}.\)

b) Hãy phân tích sự đồng đều về khối lượng các quả trứng của trang trại.\\

Ta có khối lượng trung bình của \(1000\) quả trứng là \(45\) gam và do \(s \approx 4{,} 95\) gam nên khối lượng của mỗi quả chênh lệch so với giá trị \(45\) gam trung bình khoảng \(4{,} 95\) gam.

Cỡ mẫu \(N= 4+ 12+ 16+ 14+ 2 + 2= 50\).

a) Khoảng biến thiên là \(20-8=12\).

\(\displaystyle\frac{N}{4}= 12{,}5\).

Nhóm chứa \(Q_1\) là nhóm \([10; 12)\).

Suy ra \(Q_1= 10 + \displaystyle\frac{12{,}5- 4}{12} \cdot 2\approx 11{,} 42\).

\(\displaystyle\frac{3N}{4}= 37{,}5\).

Nhóm chứa \(Q_3\) là nhóm \([14; 16)\).

Khi đó \(Q_3 =14 +\displaystyle\frac{37{,}5- 32 }{14} \cdot 2 \approx 14{,} 79\).

Suy ra khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1\approx 3{,} 37\).

Hàm lượng protein trung bình là

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{9 \cdot 4 + 11 \cdot 12 + 13 \cdot 16 + 15 \cdot 14 + 17 \cdot 12 + 19 \cdot 2 }{50}= 13{,} 16\) gam.

Phương sai

\(s=\sqrt{\displaystyle\frac{9^2 \cdot 4 + 11^2 \cdot 12 + 13^2 \cdot 16 + 15^2 \cdot 14 + 17^2 \cdot 12 + 19^2 \cdot 2 }{50} - 13{,} 16^2}\approx 2{,} 33\) gam.

b) Nêu ý nghĩa của các kết quả tìm được.

Ta có \(25\%\) loại thực phẩm (khoảng \(12\) loại) có hàm lượng protein không vượt quá \(11{,} 42\) gam và \(25\%\) loại thực phẩm có hàm lượng protein đạt ít nhất \(14{,} 79\) gam. Đồng thời có \(50\%\) loại thực phẩm còn lại có hàm lượng protein từ \(11{,} 42\) gam đến \(14{,} 79\) gam và hàm lượng protein của các loại thực phẩm này chênh lệch nhau khoảng \(3{,} 37\) gam.

Hàm lượng protein trung bình của \(50\) loại thực phẩm là \(13{,} 16\) gam và do \(s \approx 2{,} 33\) gam nên so với số này thì hàm lượng protein của mỗi loại thực phẩm chênh lệch khoảng \(2{,} 33\) gam.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là \(300-50=250\).

Cỡ mẫu \(n=30\).

Gọi \(x_1\); \(x_2\);\(\ldots\); \(x_{30}\) là mẫu số liệu gốc gồm thời gian của \(30\) ngày mà bác tài xế đã lái xe mỗi ngày được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có \(x_1\), \(\ldots\), \(x_5\in [50;100)\); \(x_6\); \(\ldots\); \(x_{15}\in [100;150)\); \(x_{16}\); \(\ldots\); \(x_{24}\in [150;200)\); \break\(x_{25}\); \(\ldots\); \(x_{28}\in [200;250)\); \(x_{29}\); \(x_{30}\in [250;300)\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(x_8\in [100;150)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_1=100+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{30}{4}-5}{10}(150-100)=112{,}5.\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(x_{23}\in [150;200)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_3=150+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot 30}{4}-(5+10)}{9}(200-150)=\displaystyle\frac{575}{3}.\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\Delta_Q=\displaystyle\frac{575}{3}-112{,}5=\displaystyle\frac{475}{6}.\)

Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau

Số trung bình của mẫu số liệu là

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{1}{30}\cdot (75\cdot 5+125\cdot 10+175\cdot 9+225\cdot 4+275\cdot 2)=155.\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S^2=\displaystyle\frac{1}{30}\left(5\cdot 75^2+10\cdot 125^2+9\cdot 175^2+4\cdot 225^2+2\cdot 275^2\right)-155^2=3100.\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \(S=\sqrt{3100}=10\sqrt{31}\approx 55{,}68\).

a) Có tất cả \(n=3+4+6+5+5+2=25\) thửa ruộng được khảo sát.

b) Lập bảng tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm tương ứng của mẫu số liệu trên.

c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là \(6{,}7-5{,}5=1{,}2\).

Cỡ mẫu \(n=25\).

Gọi \(x_1\); \(x_2\);\(\ldots\); \(x_{25}\) là mẫu số liệu gốc gồm năng suất của \(25\) thửa ruộng được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\in [5{,}5;5{,}7)\); \(x_4\); \(\ldots\); \(x_7\in [5{,}7;5{,}9)\); \(x_8\); \(\ldots\); \(x_{13}\in [5{,}9;6{,}1)\); \break\(x_{14}\); \(\ldots\); \(x_{18}\in [6{,}1;6{,}3)\); \(x_{19}\); \(\ldots\); \(x_{23}\in [6{,}3;6{,}5)\); \(x_{24}\); \(x_{25}\in [6{,}5;6{,}7)\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\displaystyle\frac{1}{2}(x_6+x_7)\in [5{,}7;5{,}9)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_1=5{,}7+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{25}{4}-3}{4}(5{,}9-5{,}7)=5{,}8625.\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\displaystyle\frac{1}{2}(x_{19}+x_{20})\in [6{,}3;6{,}5)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_3=6{,}3+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot 25}{4}-(3+4+6+5)}{5}(6{,}5-6{,}3)=6{,}33.\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\Delta_Q=6{,}33-5{,}8625=0{,}4675.\)

Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau

Số trung bình của mẫu số liệu là

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{1}{25}\cdot (5{,}6\cdot 3+5{,}8\cdot 4+6\cdot 6+6{,}2\cdot 5+6{,}4\cdot 5+6{,}6\cdot 2)=6{,}088.\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S^2=\displaystyle\frac{1}{25}\cdot (5{,}6^2\cdot 3+5{,}8^2\cdot 4+6^2\cdot 6+6{,}2^2\cdot 5+6{,}4^2\cdot 5+6{,}6^2\cdot 2)-6{,}088^2=0{,}086656.\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \(S=\sqrt{0{,}086656}\approx 0{,}294\).

a) Ta có bảng thống kê thời gian ghi bài của hoc sinh lớp 4 ở hai trường theo giá trị đại diện

Xét mẫu số liệu của học sinh trường \(X\).

Cỡ mẫu là \(n_X=8+10+13+10+9=50\).

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\overline{x}_X=\displaystyle\frac{1}{50}\left(8\cdot 6{,}5+10\cdot 7{,}5+13\cdot 8{,}5+10\cdot 9{,}5+9\cdot 10{,}5\right)=8{,}54.\)

Xét mẫu số liệu của học sinh trường \(Y\).

Cỡ mẫu là \(n_Y=8+10+13+10+9=50\).

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\overline{x}_Y=\displaystyle\frac{1}{50}\left(4\cdot 6{,}5+12\cdot 7{,}5+17\cdot 8{,}5+14\cdot 9{,}5+3\cdot 10{,}5\right)=8{,}5.\)

Nếu so sánh theo số trung bình thì học sinh trường \(Y\) viết nhanh hơn.

b) Xét mẫu số liệu của học sinh trường \(X\).

Cỡ mẫu \(n=50\).

Gọi \(x_1\); \(x_2\);\(\ldots\); \(x_{50}\) là mẫu số liệu gốc gồm thời gian của \(50\) học sinh ghi bài được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có \(x_1\), \(\ldots\), \(x_8\in [6;7)\); \(x_9\); \(\ldots\); \(x_{18}\in [7;8)\); \(x_{19}\); \(\ldots\); \(x_{31}\in [8;9)\); \(x_{32}\); \(\ldots\); \(x_{41}\in [9;10)\); \(x_{42}\); \(\ldots\); \(x_{50}\in [10;11)\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(x_{13}\in [7;8)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_1=7+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{50}{4}-8}{10}(8-7)=7{,}45.\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(x_{38}\in [9;10)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_3=9+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot 50}{4}-(8+10+13)}{10}(10-9)=9{,}65.\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\Delta_Q=9{,}65-7{,}45=2{,}2.\)

Xét mẫu số liệu của học sinh trường \(Y\).

Cỡ mẫu \(n=50\).

Gọi \(x_1\); \(x_2\);\(\ldots\); \(x_{50}\) là mẫu số liệu gốc gồm thời gian của \(50\) học sinh ghi bài được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có \(x_1\), \(\ldots\), \(x_4\in [6;7)\); \(x_5\); \(\ldots\); \(x_{16}\in [7;8)\); \(x_{17}\); \(\ldots\); \(x_{33}\in [8;9)\); \(x_{34}\); \(\ldots\); \(x_{47}\in [9;10)\); \(x_{48}\); \(\ldots\); \(x_{50}\in [10;11)\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(x_{13}\in [7;8)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_1=7+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{50}{4}-4}{12}(8-7)=\displaystyle\frac{185}{24}.\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(x_{38}\in [9;10)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_3=9+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot 50}{4}-(4+12+17)}{14}(10-9)=\displaystyle\frac{261}{28}.\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\Delta_Q=\displaystyle\frac{261}{28}-\displaystyle\frac{185}{24}=\displaystyle\frac{271}{168}\approx 1{,}613.\)

Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh trường \(Y\) có tốc độ viết đồng đều hơn.

c) Xét mẫu số liệu của học sinh trường \(X\).

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S^2_X=\displaystyle\frac{1}{50}\left(8\cdot 6{,}5^2+10\cdot 7{,}5^2+13\cdot 8{,}5^2+10\cdot 9{,}5^2+9\cdot 10{,}5^2\right)-8{,}54^2=1{,}7584.\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

\(S_X=\sqrt{1{,}7584}\approx 1{,}326.\)

Xét mẫu số liệu của học sinh trường \(Y\).

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S^2_Y=\displaystyle\frac{1}{50}\left(4\cdot 6{,}5^2+12\cdot 7{,}5^2+17\cdot 8{,}5^2+14\cdot 9{,}5^2+3\cdot 10{,}5^2\right)-8{,}5^2=1{,}08.\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

\(S_Y=\sqrt{1{,}08}\approx 1{,}039.\)

Do \(S_X>S_Y\) nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh trường \(Y\) có tốc độ viết đồng đều hơn.

a) Xét mẫu số liệu ở Nha Trang.

Cỡ mẫu \(n=20\).

Gọi \(x_1\); \(x_2\);\(\ldots\); \(x_{20}\) là mẫu số liệu gốc gồm số giờ nắng trong tháng \(6\) ở Nha Trang được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có \(x_1\in [130;160)\); \(x_2\in [160;190)\); \(x_3\in [190;220)\); \(x_4\); \(\ldots\); \(x_{11}\in [220;250)\);\break \(x_{12}\); \(\ldots\); \(x_{18}\in [250;280)\); \(x_{19}\); \(x_{20}\in [280;310)\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\displaystyle\frac{1}{2}(x_5+x_6)\in [220;250)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_1=220+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{20}{4}-(1+1+1)}{8}(250-220)=227{,}5.\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\displaystyle\frac{1}{2}(x_{15}+x_{16})\in [250;280)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_3=250+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot 20}{4}-(1+1+1+8)}{7}(280-250)=\displaystyle\frac{1870}{7}.\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\Delta_Q=\displaystyle\frac{1870}{7}-227{,}5=\displaystyle\frac{555}{14}\approx 39{,}643.\)

b) Xét mẫu số liệu ở Quy Nhơn.

Cỡ mẫu \(n=20\).

Gọi \(x_1\); \(x_2\);\(\ldots\); \(x_{20}\) là mẫu số liệu gốc gồm số giờ năng trong tháng \(6\) ở Quy Nhơn được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có \(x_1\in [160;190)\); \(x_2\); \(x_3\in [190;220)\); \(x_4\); \(\ldots\); \(x_7\in [220;250)\); \(x_{8}\); \(\ldots\); \(x_{17}\in [250;280)\); \(x_{18}\); \(x_{19}\); \(x_{20}\in [280;310)\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\displaystyle\frac{1}{2}(x_5+x_6)\in [220;250)\).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_1=220+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{20}{4}-(1+2)}{4}(250-220)=235.\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\displaystyle\frac{1}{2}(x_{15}+x_{16})\in [250;280)\).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_3=250+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot 20}{4}-(1+2+4)}{10}(280-250)=274.\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \(\Delta_Q=274-235=39.\)

Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.

c) Ta có bảng thống kê tổng số giờ nắng trong tháng 6 ở hai địa phương theo giá trị đại diện.

Xét mẫu số liệu ở Nha Trang.

Cỡ mẫu là \(n_X=20\).

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\overline{x}_X=\displaystyle\frac{1}{20}\left(1\cdot 145+1\cdot 175+1\cdot 205+8\cdot 235+7\cdot 265+2\cdot 295\right)=242{,}5.\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S^2_X=\displaystyle\frac{1}{20}\left(1\cdot 145^2+1\cdot 175^2+1\cdot 205^2+8\cdot 235^2+7\cdot 265^2+2\cdot 295^2\right)-242{,}5^2=1248{,}75.\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

\(S_X=\sqrt{1248{,}75}\approx 33{,}338.\)

Xét mẫu số liệu ở Quy Nhơn.

Cỡ mẫu là \(n_Y=20\).

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\overline{x}_Y=\displaystyle\frac{1}{20}\left(0\cdot 145+1\cdot 175+2\cdot 205+4\cdot 235+10\cdot 265+3\cdot 295\right)=253.\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S^2_Y=\displaystyle\frac{1}{20}\left(0\cdot 145^2+1\cdot 175^2+2\cdot 205^2+4\cdot 235^2+107\cdot 265^2+3\cdot 295^2\right)-253^2=936.\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

\(S_Y=\sqrt{936}\approx 30{,}594.\)

Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.

a) Hãy xác định giá trị đại diện cho mỗi nhóm và lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên.

b) Xét mẫu số liệu của học sinh trường \(A\).

Cỡ mẫu \(n=18\).

Gọi \(x_1\); \(x_2\);\(\ldots\); \(x_{18}\) là mẫu số liệu gốc gồm điểm trung bình của \(18\) học sinh trường \(A\) được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có \(x_1\); \(\ldots\); \(x_4\in [5;6)\); \(x_5\); \(\ldots\); \(x_9\in [6;7)\); \(x_{10}\); \(x_{11}\); \(x_{12}\in [7;8)\); \(x_{13}\); \(\ldots\); \(x_{16}\in \in [8;9)\); \(x_{17}\); \(x_{18}\in [9;10)\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(x_5\in [6;7)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_1=6+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{18}{4}-4}{5}(7-6)=6{,}1.\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(x_{14}\in [8;9)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_3=8+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot 18}{4}-(4+5+3)}{4}(9-8)=8{,}375.\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\Delta_Q=8{,}375-6{,}1=2{,}275.\)

b) Xét mẫu số liệu ở trường \(B\).

Cỡ mẫu \(n=15\).

Gọi \(x_1\); \(x_2\);\(\ldots\); \(x_{15}\) là mẫu số liệu gốc gồm điểm trung bình của \(15\) học sinh trường \(B\) được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có \(x_1\); \(x_2\in [5;6)\); \(x_3\); \(\ldots\); \(x_7\in [6;7)\); \(x_8\); \(x_{9}\); \(x_{10}\); \(x_{11}\in [7;8)\); \(x_{12}\); \(x_{13}\); \(x_{14}\in \in [8;9)\); \(x_{15}\in [9;10)\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(x_4\in [6;7)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_1=6+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{18}{4}-2}{5}(7-6)=6{,}5.\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(x_{12}\in [8;9)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_3=8+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot 18}{4}-(2+5+4)}{3}(9-8)=\displaystyle\frac{53}{6}.\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\Delta_Q=\displaystyle\frac{53}{6}-6{,}5=\displaystyle\frac{7}{3}\approx 2{,}333.\)

Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh trường \(A\) có điểm trung bình đồng đều hơn.

c) Ta có bảng thống kê điểm trung bình của học sinh ở hai trường theo giá trị đại diện.

Xét mẫu số liệu học sinh trường \(A\).

Cỡ mẫu là \(n_A=18\).

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\overline{x}_A=\displaystyle\frac{1}{18}\left(4\cdot 5{,}5+5\cdot 6{,}5+3\cdot 7{,}5+4\cdot 8{,}5+2\cdot 9{,}5\right)=\displaystyle\frac{65}{9}.\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S^2_A=\displaystyle\frac{1}{18}\left(4\cdot 5{,}5^2+5\cdot 6{,}5^2+3\cdot 7{,}5^2+4\cdot 8{,}5^2+2\cdot 9{,}5^2\right)-\left(\displaystyle\frac{65}{9}\right)^2=1{,}756.\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

\(S_A=\sqrt{1{,}756}\approx 1{,}325.\)

Xét mẫu số liệu học sinh trường \(B\).

Cỡ mẫu là \(n_B=15\).

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\overline{x}_B=\displaystyle\frac{1}{15}\left(2\cdot 5{,}5+5\cdot 6{,}5+4\cdot 7{,}5+3\cdot 8{,}5+1\cdot 9{,}5\right)=\displaystyle\frac{217}{30}.\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S^2_B=\displaystyle\frac{1}{15}\left(2\cdot 5{,}5^2+5\cdot 6{,}5^2+4\cdot 7{,}5^2+3\cdot 8{,}5^2+1\cdot 9{,}5^2\right)-\left(\displaystyle\frac{217}{30}\right)^2=1{,}262.\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

\(S_B=\sqrt{1{,}262}\approx 1{,}123.\)

Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh trường \(B\) có điểm trung bình đồng đều hơn.

Ta có bảng thống kê giá đóng cửa theo giá trị đại diện

Xét mẫu số liệu của cổ phiếu A

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\overline{x}_1=\displaystyle\frac{8\cdot121+9\cdot123+12\cdot125+10\cdot127+11\cdot129}{50}=125{,}28.\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S_1^2=\displaystyle\frac{1}{50}\left(8\cdot121^2+9\cdot123^2+12\cdot125^2+10\cdot127^2+11\cdot129^2 \right)-125{,}28^2=7{,}5216.\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \(S_1=\sqrt{7{,}5216}.\)

Xét mẫu số liệu của cổ phiếu B

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\overline{x}_2=\displaystyle\frac{16\cdot121+4\cdot123+3\cdot125+6\cdot127+21\cdot129}{50}=125{,}48. \)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(S_2^2=\displaystyle\frac{1}{50}\left(16\cdot121^2+4\cdot123^2+3\cdot125^2+6\cdot127^2+21\cdot129^2 \right)-125{,}48^2=12{,}4096.\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là \(S_2=\sqrt{12{,}4096}.\)

Vậy nếu đánh giá độ rủi ro theo phương sai và độ lệch chuẩn thì cổ phiếu \(A\) có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu \(B\).