1. Khái niệm lôgarit
Với \(a\) dương và khác 1, ta có
\(\alpha=\log_a b\Leftrightarrow a^{\alpha}=b.\)
+) \(\log_{10}b=\log b\).
+) \(\log_eb=\ln b\).
2. Tính chất của phép toán lôgarit
Với cơ số \(0
+) \(\log_a 1=0\).
+) \(\log_a a=1\).
+) \(a^{\log_a b}=b\).
+) \(\log_a(a^{\alpha})=\alpha\).
+) \(\log_a(b^{\alpha})=\alpha\cdot \log_ab\).
+) \(\log_{a^{\alpha}}b=\displaystyle\frac{1}{\alpha}\cdot\log_ab\).
+) \(\log_{a^n}(b^m)=\displaystyle\frac{m}{n}\cdot \log_a b\).
+) \(\log_a (m\cdot n)=\log_am+\log_a n\ (m,n>0)\).
+) \(\log_a\left(\displaystyle\frac{m}{n}\right)=\log_am-\log_an\ (m,n>0)\).
+) \(a^{\log_bc}=c^{\log_b a}\ (b\neq 1)\).
+) \(\log_ab=\displaystyle\frac{1}{\log_ba}\ (b\neq 1)\).
+) \(\log_ab=\displaystyle\frac{\log_cb}{\log_ca}\ (c\neq 1)\).
+) \(\log_ab=\log_ac\cdot \log_cb\ (c\neq 1)\).
+) \(\log_ax\cdot \log_by=\log_ay\cdot\log_bx\ (b\neq 1)\).
\(\log_a[f(x)]^{2n}=2n\cdot\log_a|f(x)|\)
Câu 1:
Tính giá trị các biểu thức sau:
\(\bullet\,\) \( \log_{2} 16\);
\(\bullet\,\) \( \log_3 27\);
\(\bullet\,\) \( \log 1000 \);
\(\bullet\,\) \( 9^{\log_3 12} \).
\(\bullet\,\) \( \log_{2} 16=\log_2 2^4=4\cdot \log_2 2=4\cdot 1=4\);
\(\bullet\,\) \( \log_3 27=\log_3 3^3=3 \cdot \log_3 3=3\cdot 1=3\);
\(\bullet\,\) \( \log 1000=\log 10^3=3\cdot \log 10=3\cdot 1=3 \);
\(\bullet\,\) \( 9^{\log_3 12} =\left(3^2\right)^{\log_3 12}\) \(=\left(3^{\log_3 12}\right)^2=12^2=144\).
}
Câu 2:
Tìm các giá trị của \( x \) để biểu thức sau có nghĩa
\(\bullet\,\) \( \log_3 (1-2x)\);
\(\bullet\,\) \( \log_{x+1} 5\).
\(\bullet\,\) \( \log_3 (1-2x)\) có nghĩa khi \( 1-2x>0\Leftrightarrow x<\displaystyle\frac{1}{2} \);
\(\bullet\,\) \( \log_{x+1} 5\) có nghĩa khi \( 0
}
Câu 3:
Tính giá trị các biểu thức sau:
\(\bullet\,\) \( \log_{6} 9+\log_6 4\);
\(\bullet\,\) \( \log_5 2-\log_5 50\);
\(\bullet\,\) \( \log_3 \sqrt{5}-\displaystyle\frac{1}{2}\log_3 15 \).
\(\bullet\,\) \( \log_{6} 9+\log_6 4=\log_6 (9\cdot 4)\) \(=\log_6 36=\log_6 6^2=2\log_6 6=2\cdot 1=2\);
\(\bullet\,\) \( \log_5 2-\log_5 50=\log_5 \displaystyle\frac{2}{50}\) \(=\log_5 \displaystyle\frac{1}{25}=\log_5 5^{-2}=-2\cdot \log_5 5=-2\cdot 1=-2\);
\(\bullet\,\) \( \log_3 \sqrt{5}-\displaystyle\frac{1}{2}\log_3 15=\log_3 \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}}\) \(=\log_3 \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}=\log_3 1-\log_3 3^{\frac{1}{2}}\) \(=0-\displaystyle\frac{1}{2}\log_3 3=0-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 1=-\displaystyle\frac{1}{2} \).
}
Câu 4:
Tính giá trị các biểu thức sau:
\(\bullet\,\) \( \log_{2} 9 \cdot \log_3 4\);
\(\bullet\,\) \( \log_{25} \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}\);
\(\bullet\,\) \( \log_2 3 \cdot \log_9 \sqrt{5}\cdot \log_5 4\).
\(\bullet\,\) \( \log_{2} 9 \cdot \log_3 4=\log_2 9 \cdot \displaystyle\frac{\log_2 4}{\log_2 3}\) \(=\log_2 3^2 \cdot \displaystyle\frac{2\log_2 2}{\log_2 3}=2\log_2 3 \cdot \displaystyle\frac{2\cdot 1}{\log_2 3}=2\cdot 2=4\);
\(\bullet\,\) \( \log_{25} \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}=\log_{5^2} (5^{\frac{-1}{2}})\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \displaystyle\frac{-1}{2}\log_5 5=-\displaystyle\frac{1}{4}\cdot 1=-\displaystyle\frac{1}{4}\);
\(\bullet\,\) \(\log_2 3 \cdot \log_9 \sqrt{5}\cdot \log_5 4=\log_2 3\cdot \displaystyle\frac{\log_2 \sqrt{5}}{\log_2 9}\cdot \log_5 2^2\) \(=\log_2 3\cdot \displaystyle\frac{1}{2}\cdot \displaystyle\frac{\log_2 5}{2\log_2 3}\cdot 2\log_5 2\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\log_2 5\cdot \log_5 2=\displaystyle\frac{1}{2}\).
}
Câu 5:
Đặt \( \log 2=a \), \( \log 3=b \). Biểu thị các biểu thức sau theo \( a \) và \( b \).
\(\bullet\,\) \( \log_4 9=\displaystyle\frac{\log 9}{\log 4}=\displaystyle\frac{\log 3^2}{\log 2^2}\) \(=\displaystyle\frac{2\log 3}{2\log 2}=\displaystyle\frac{b}{a}\);
\(\bullet\,\) \( \log_6 12=\displaystyle\frac{\log 12}{\log 6}=\displaystyle\frac{2\log 2+\log 3}{\log 2+\log 3}\) \(=\displaystyle\frac{2a+b}{a+b}\);
\(\bullet\,\) \( \log_5 6=\displaystyle\frac{\log 6}{\log 5}=\displaystyle\frac{\log 2+\log 3}{\log (2+3)}\).
Lại có \( \log 2=a\Rightarrow 10^a=2 \) và \( \log 3=b\Rightarrow 10^b=3 \).
Do đó \( \log_5 6=\displaystyle\frac{\log 6}{\log 5}\) \(=\displaystyle\frac{\log 2+\log 3}{\log 10 -\log 2}=\displaystyle\frac{a+b}{1-a}.\)
}
Câu 6:
\(\bullet\,\) Nước cất có nồng độ H\(^+ \) là \( 10^{-7} \) mol/L. Tính nồng độ pH của nước cất.
\(\bullet\,\) Một dung dịch có nồng độ H\(^+ \) gấp \( 20 \) lần nồng độ H\(^+ \) của nước cất. Tính pH của dung dịch đó.
\(\bullet\,\) Ta có \( \text{pH}=-\log[\text{H}^+]=-\log 10^{-7} =7 \).
\(\bullet\,\) Nồng độ \( \text{H}^+ \) của dung dịch là \( 20\cdot 10^{-7} \) mol/L.
Độ pH của dung dịch là \( \text{pH}=-\log[20\cdot 10^{-7}]\approx 5{,}7.\)
}