Câu 1:
Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai \(y=f(x)\) trong mỗi Hình \(a, b, c\), hãy viết tập nghiệm các bất phương trình sau: \(f(x)>0 ; f(x)<0 ; f(x) \geq 0 ; f(x) \leq 0\).
baitapsgk10/t10ch7b2sgkh1.png
\(\bullet\,\) Từ đồ thị hàm số \(y=f(x)\) trong Hình \(a)\), ta thấy
+) Tập nghiệm của bất phương trình \(f(x)>0\) là \(T_1=\varnothing\).
+) Tập nghiệm của bất phương trình \(f(x)<0\) là \(T_2=\mathbb{R}\).
+) Tập nghiệm của bất phương trình \(f(x)\geq 0\) là \(T_3=\varnothing\).
+) Tập nghiệm của bất phương trình \(f(x)\leq 0\) là \(T_4=\mathbb{R}\).
\(\bullet\,\) Từ đồ thị hàm số \(y=f(x)\) trong Hình \(b)\), ta thấy
+) Tập nghiệm của bất phương trình \(f(x)>0\) là \(T_1=(1;3)\).
+) Tập nghiệm của bất phương trình \(f(x)<0\) là \(T_2=(-\infty;1)\cup (3:+\infty)\).
+) Tập nghiệm của bất phương trình \(f(x)\geq 0\) là \(T_3=[1;3]\).
+) Tập nghiệm của bất phương trình \(f(x)\leq 0\) là \(T_4=(-\infty;1]\cup [3:+\infty)\).
\(\bullet\,\) Từ đồ thị hàm số \(y=f(x)\) trong Hình \(c)\), ta thấy
+) Tập nghiệm của bất phương trình \(f(x)>0\) là \(T_1=\varnothing\).
+) Tập nghiệm của bất phương trình \(f(x)<0\) là \(T_2=\mathbb{R}\backslash\{2\}\).
+) Tập nghiệm của bất phương trình \(f(x)\geq 0\) là \(T_3=\{2\}\).
+) Tập nghiệm của bất phương trình \(f(x)\leq 0\) là \(T_4=\mathbb{R}\).
}
Câu 2:
Giải các bất phương trình sau
+) \(3x^2-36x+108>0\);
+) \(-x^2+2x-2\ge 0\);
+) \(x^4-3x^2+2\le 0\);
+) \(\displaystyle\frac{1}{x^2-x+1}\le \displaystyle\frac{1}{2x^2+x+2}\).
+) Tam thức \(3x^2-36x+108\) có hệ số \(a=3>0\) và \(\Delta=0\) nên \(3x^2-36x+108>0\) với mọi \(x\ne 6\) và bằng \(0\) tại \(x=6\). Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\setminus \{6\}\).
+) Tam thức \(-x^2+2x-2\) có hệ số \(a=-1<0\) và biệt thức thu gọn \(\Delta'=-1<0\) nên \(-x^2+2x-2<0\) với mọi \(x\). Suy ra bất phương trình vô nghiệm.
+) Đặt \(t=x^2\ge 0\), ta được bất phương trình \(t^2-3t+2\le 0\). Từ đó \(1\le t\le 2\) hay \(1\le x^2\le 2\).
Giải bất phương trình \(1\le x^2\) ta được \(x\le -1\) hoặc \(x\ge 1\).
Giải bất phương trình \(x^2\le 2\) ta được \(-\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}\).
Kết hợp nghiệm ta được tập nghiệm của bất phương trình \([-\sqrt{2};-1]\cup [1;\sqrt{2}]\).
+) Dễ thấy \(x^2-x+1>0\) với mọi \(x\) (vì \(a=1>0\) và biệt thức \(\Delta<0\)); \(2x^2+x+2>0\) với mọi \(x\) (vì \(a=2>0\) và biệt thức \(\Delta<0\)). Do đó
\(\displaystyle\frac{1}{x^2-x+1}\le \displaystyle\frac{1}{2x^2+x+2}\Leftrightarrow 2x^2+x+2\le x^2-x+1\Leftrightarrow x^2+2x+1\le 0.\)
Tam thức \(x^2+2x+1\) có hệ số \(a=1>0\) và biệt thức \(\Delta=0\) nên \(x^2+2x+1>0\) với mọi \(x\ne 1\) và bằng \(0\) tại \(x=-1\). Suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(\{-1\}\).
}
Câu 3:
Giải các bất phương trình bậc hai sau:
+) \(3x^2-8x+5>0\);
+) \(-2x^2-x+3 \leq 0\);
+) \(25x^2-10x+1<0\);
+) \(-4x^2+5x+9 \geq 0\).
+) \(3x^2-8x+5>0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x<1\\&x>\displaystyle\frac{5}{3}.\end{aligned}\right.\)
+) \(-2x^2-x+3 \leq 0\left[\begin{aligned}&x\leq -\displaystyle\frac{3}{2}\\&x\geq 1.\end{aligned}\right.\)
+) \(25x^2-10x+1<0\Leftrightarrow (5x-1)^2<0\Leftrightarrow x\in\varnothing\).
+) \(-4x^2+5x+9 \geq 0\Leftrightarrow -1\leq x\leq \displaystyle\frac{9}{4}\).
}
Câu 4:
Tìm giao các tập nghiệm của hai bất phương trình \(-3x^2+7x+10 \geq 0\) và \(-2x^2-9 x+11>0.\)
Bất phương trình \(-3x^2+7x+10 \geq 0\) có tập nghiệm \(T_1=\left[ -1;\displaystyle\frac{10}{3}\right]\).
Bất phương trình \(-2x^2-9 x+11>0\) có tập nghiệm \(T_2=\left(-\infty;-\displaystyle\frac{11}{2}\right)\cup (1:+\infty)\).
Vậy \(T_1\cap T_2=\left(1;\displaystyle\frac{10}{3}\right]\).
}
Câu 5:
Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(x^2-2(m-1)x+4m^2-m=0\).
+) có hai nghiệm phân biệt;
+) có hai nghiệm trái dấu.
Phương trình đã cho có biệt thức thu gọn \(\Delta'=-3m^2-m+1\).
+) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
\(\Delta'>0\Leftrightarrow -3m^2-m+1>0\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{-1-\sqrt{13}}{6}
+) Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
\(ac=4m^2-m<0\Leftrightarrow 0
}
Câu 6:
Tìm \(m\) để phương trình \(-x^2+(m+2)x+2m-10=0\) có nghiệm.
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
\begin{eqnarray*}\Delta&=&(m+2)^2+4(2m-10)\geq 0\\&\Leftrightarrow&m^2+12m-36\geq 0\\&\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&m\leq -6-6\sqrt{2}\\&m\geq -6+6\sqrt{2}.\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}
}
Câu 7:
Tìm các giá trị của tham số \(m\) để
+) \(-x^2+(m+1)x-2m+1\le 0,\forall x\in\mathbb{R}\);
+) \(x^2-(2m+1)x+m+2>0,\forall x\in\mathbb{R}\).
+) Tam thức \(-x^2+(m+1)x-2m+1\) có \(a=-1<0\) nên
\begin{eqnarray*}&&-x^2+(m+1)x-2m+1\le 0,\forall x\in\mathbb{R}\\&\Leftrightarrow& \Delta =(m+1)^2-4(2m-1)\le 0\\&\Leftrightarrow& m^2-6m+5\le 0\\&\Leftrightarrow& m\in [1;5].\end{eqnarray*}
Vậy \(m\in [1;5]\).
+) Tan thức \(x^2-(2m+1)x+m+2\) có \(a=1>0\) nên
\begin{eqnarray*}&&x^2-(2m+1)x+m+2>0,\forall x\in\mathbb{R}\\&\Leftrightarrow& \Delta =(2m+1)^2-4(m+2)< 0\\&\Leftrightarrow& 4m^2-7<0\\&\Leftrightarrow& m\in \left(-\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{2};\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{2}\right).\end{eqnarray*}
Vậy \(m\in \left(-\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{2};\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{2}\right)\).
}
Câu 8:
Một công ty đồ gia dụng sản xuất bình đựng nước thấy rằng khi đơn giá của bình đựng nước là \(x\) nghìn đồng thì doanh thu \(R\) (tính theo đơn vị nghìn đồng) sẽ là \(R(x)=-560x^2+50000x\).
+) Theo mô hình doanh thu này, thì đơn giá nào là quá cao dẫn đến doanh thu từ việc bán bình đựng nước bằng \(0\) (tức là sẽ không có người mua)?
+) Với khoảng đơn giá nào của bình đựng nước thì doanh thu từ việc bán bình đựng nước vượt mức \(1\) tỉ đồng?
+) Doanh thu từ việc bán bình đựng nước bằng \(0\) tức là
\(R(x)=-560x^2+50000x=0\) hay \(x=0\) hoặc \(x\approx 89\).
Vậy theo mô hình đã cho, với đơn giá \(89\) nghìn đồng thì công ty sẽ không có doanh thu (đơn giá cao quá dẫn đến không có ai mua hàng).
+) Doanh thu vượt mức \(1\) tỉ đồng tức là
\begin{eqnarray*}&&R(x)=-560x^2+50000x>1000000\\&\Leftrightarrow& 56x^2-5000x+100000<0\\&\Leftrightarrow& 30{,}25
Vậy đơn giá của bình đựng nước từ khoảng \(31\) nghìn đồng đến \(59\) nghìn đồng thì doanh thu từ việc bán bình đựng nước vượt mức \(1\) tỉ đồng.
}
Câu 9:
Một viên đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu \(500\) m/s, hợp với phương ngang một góc bằng \(45^\circ\). Biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí, quỹ đạo chuyển động của một vật ném xiên sẽ tuân theo phương trình \(y=\displaystyle\frac{-g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2+x\tan \alpha,\) trong đó \(x\) là khoảng cách (tính bằng mét) vật bay được theo phương ngang, vận tốc ban đầu \(v_0\) của vật hợp với phương ngang một góc \(\alpha\) và \(g=9{,}8\) m/s\(^2\) là gia tốc trọng trường.
+) Viết phương trình chuyển động của viên đạn.
+) Để viên đạn bay qua một ngọn núi cao \(4000\) mét thì khẩu pháo phải đặt cách chân núi một khoảng cách bao xa?
+) Pương trình chuyển động của viên đạn là
\(y=\left(\displaystyle\frac{-9{,}8}{2\cdot 500^2\cdot \cos^245^\circ}\right)x^2+(\tan 45^\circ)x\) hay \(y=\displaystyle\frac{-9{,}8}{250000}x^2+x\).
+) Để viên đạn bay qua một ngọn núi cao \(4000\) mét thì
\begin{eqnarray*}&&y=\displaystyle\frac{-9{,}8}{250000}x^2+x>4000\\&\Leftrightarrow &9{,}8x^2-250000x+1000000000<0\\&\Leftrightarrow& 4967{,}17
Vậy khẩu pháo phải đặt cách chân núi trong khoảng từ \(4967\) m đến \(20543\) m (tất nhiên là phải tính đến tầm bắn của khẩu pháo nữa) thì viên đạn sẽ bay qua đỉnh núi.
}
Câu 10:
Xét hệ toạ độ \(Oth\) trong mặt phẳng, trong đó trục \(Ot\) biểu thị thời gian \(t\) (tính bằng giây) và trục \(Oh\) biểu thị độ cao \(h\) (tính bằng mét). Một quả bóng được đá lên từ điểm \(A(0; 0{,}3)\) và chuyển động theo quỹ đạo là một cung parabol. Quả bóng đạt độ cao \(8 \mathrm{~m}\) sau 1 giây và đạt độ cao \(6 \mathrm{~m}\) sau \(2\) giây. Trong khoảng thời gian nào (tính bằng giây) thì quả bóng ở độ cao lớn hơn \(5 \mathrm{~m}\) và nhỏ hơn \(7 \mathrm{~m}\) (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn)?
Quỹ đạo quả bóng là một cung parabol nên phương trình chuyển động có dạng \(h=at^2+ex+c\).
Parabol đi qua các điểm \(A(0;0{,}3)\), \(B(1;8)\), \(C(2;6)\) nên ta có hệ phương trình
\(\begin{cases}c=0{,}3\\a+b+c=8\\4a+2b+c=6\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=-\displaystyle\frac{97}{20}\\b=\displaystyle\frac{251}{20}\\c=\displaystyle\frac{10}{3}.\end{cases}\)
Do đó parabol có phương trình \(h=-\displaystyle\frac{97}{20}t^2+\displaystyle\frac{251}{20}t+\displaystyle\frac{10}{3}\).
Quả bóng ở độ cao lớn hơn \(5 \mathrm{~m}\) và nhỏ hơn \(7 \mathrm{~m}\) nên có
\(\begin{cases}-\displaystyle\frac{97}{20}t^2+\displaystyle\frac{251}{20}t+\displaystyle\frac{10}{3}>5\\-\displaystyle\frac{97}{20}t^2+\displaystyle\frac{251}{20}t+\displaystyle\frac{10}{3}<7\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}0{,}45
Vậy trong khoảng thời gian \(t\) là \(0{,}45
}
Câu 11:
Một tình huống trong huấn luyện pháo binh được mô tả như sau: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) (đơn vị trên hai trục tính theo mét), một viên đạn được bắn từ vị trí \(O(0; 0)\) theo quỹ đạo là đường parabol \(y=-\displaystyle\frac{9}{1000000} x^2+\displaystyle\frac{3}{100}x\). Tìm khoảng cách theo trục hoành của viên đạn so với vị trí bắn khi viên đạn đang ở độ cao lớn hơn \(15 \mathrm{~m}\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị mét).
Viên đạn ở độ cao lớn hơn \(15 \mathrm{~m}\) nên có \(y=-\displaystyle\frac{9}{1000000} x^2+\displaystyle\frac{3}{100}x>15\Leftrightarrow 612{,}57
Vậy khoảng cách \(x\) theo trục hoành của viên đạn so với vị trí bắn là \(612{,}57
}
Câu 12:
Cho \(a\), \(b\), \(c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
\(b^2x^2-(b^2+c^2-a^2)x+c^2>0, \forall x\in\mathbb{R}.\)
Biệt thức của tam thức bậc hai \(f(x)=b^2x^2-(b^2+c^2-a^2)x+c^2\) bằng
\begin{eqnarray*}\Delta&=& (b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2=(b^2+c^2-a^2-2bc)(b^2+c^2-a^2+2bc)\\&=&\left[(b-c)^2-a^2\right] \left[(b+c)^2-a^2\right]\\&=&(a+b+c)(a+b-c)(b-c-a)(b+c-a).\end{eqnarray*}
Vì \(a\), \(b\), \(c\) là ba cạnh của tam giác nên tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ ba, suy ra \(a+b-c>0\), \(b+c-a>0\) và \(b-c-a<0\), do đó \(\Delta <0\).
Theo định lí dấu tam thức bậc hai ta có \(f(x)=b^2x^2-(b^2+c^2-a^2)x+c^2>0\) với mọi \(x\).
}