Bài 2. ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

Lỗi khi trích xuất lý thuyết từ dữ liệu Lỗi khi tải dữ liệu từ BaitapSGK10/t10ch9b2sgk2.tex

Câu 1:

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(D(0;2)\) và hai véc-tơ \(\overrightarrow{n}=(1,-3)\), \(\overrightarrow{u}=(1;3)\).

\(\bullet\,\) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua \(D\) và nhận \(\overrightarrow{n}\) là một véc-tơ pháp tuyến.

\(\bullet\,\) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) đï qua \(D\) và nhận \(\overrightarrow{u}\) là một véc-tơ chỉ phương.

Image
Image

\(\bullet\,\) Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\)

\(1\cdot(x-0)-3\cdot(y-2)=0\Leftrightarrow x-3y+6=0.\)

\(\bullet\,\) Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\)\(\begin{cases}x=t\\y=2+3t.\end{cases}\)

}

Câu 2:

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho ba điểm \(A(1;2)\), \(B(0;-1)\)\(C(-2;3)\). Lập phương trình tổng quát của đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\).

Image
Image

Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua \(A\) và nhận véc-tơ \(\overrightarrow{BC}\) là một véc-tơ pháp tuyến. Ta có \(\overrightarrow{BC}=(-2;4)\)\(A(1;2)\).

Vậy phương trinh tổng quát của đường thẳng cần tìm là \(-2\cdot(x-1)+4\cdot(y-2)=0\) hay \(x-2y+3=0\).

}

Câu 3:

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(A(1;2)\)\(B(2;3)\). Tìm một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) và viết phương trình tham số của đường thẳng \(AB\).

Image
Image

Đường thẳng \(AB\) nhận véc-tơ \(\overrightarrow{AB}=(1;1)\) là một véc-tơ chỉ phương. Phương trình tham số của đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A(1;2)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{AB}=(1;1)\)\(\begin{cases}x=1+t\\ y=2+t.\end{cases}\)

}

Câu 4:

Cho tam giác \(A B C\)\(A(3 ; 7), B(-2 ; 2), C(6 ; 1)\). Viết phương trình tổng quát của các đường cao của tam giác \(A B C\).

Image
Image

Đường cao kẻ từ \(A(3 ; 7)\) nhận \(\overrightarrow{B C}=(8 ;-1)\) là véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình là \(8(x-3)-(y-7)=0.\)

Từ đó ta nhận được phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ \(A\)\(8 x-y-17=0\).

Tương tự, phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ \(B\)\(C\) lần lượt là

\(-3 x+6 y-18=0 \text { và } x+y-7=0.\)

}

Câu 5:

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta\colon 2x-y+5=0\). Tìm tất cả các véc-tơ pháp tuyến có độ dài \(2\sqrt{5}\) của đường thẳng \(\Delta\).

Image
Image

Đường thẳng \(\Delta\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(2;-1)\) nên các véc-tơ pháp tuyến của \(\Delta\) có dạng là \(\overrightarrow{n'}=(2t;-t)\).

Theo giả thiết, ta có \(\left|\overrightarrow{n'}\right|=\sqrt{(2 t)^2+(-t)^2}=2\sqrt{5}\), suy ra \(t_1=2, t_2=-2\).

Vậy các véc-tơ thoả mãn yêu cầu đề bài là \(\overrightarrow{n'}_1(4 ;-2)\), \(\overrightarrow{n'}_2(-4;2)\).

}

Câu 6:

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(y=-2x+3\). Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\).

Image
Image

Biến đổi tương đương phương trình ta có \(y=-2x+3\Leftrightarrow 2x+y-3=0\) nên phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\)\(2x+y-3=0\).

Đường thẳng \(d\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}(2;1)\) nên \(d\) nhận \(\overrightarrow{u}(1;-2)\) là một véc-tơ chỉ phương.

Thay \(x=0\) vào phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) ta được \(y=3\). Do đó \(d\) đi qua điểm \(M(0;3)\).

Vậy phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \(\begin{cases}x=t\\y=3-2 t.\end{cases}\)

}

Câu 7:

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(M(2;1)\) và đường thẳng \(\Delta\colon\begin{cases}x=2-t\\y=2t\end{cases}\). Tìm điểm \(N\) thuộc đường thẳng \(\Delta\) sao cho \(MN=\sqrt{2}\).

Image
Image

Do điểm \(N\) nằm trên đường thẳng \(\Delta\) nên \(N(2-t ;2t)\), với \(t\) là tham số.

Khi đó ta có \(\overrightarrow{MN}(-t;2t-1)\).

Từ giả thiết ta suy ra \(M N=\sqrt{(-t)^2+(2 t-1)^2}=\sqrt{2}\).

Giải phương trình trên ta được \(t_1=1 ; t_2=-\displaystyle\frac{1}{5}\).

Vậy các điểm cần tìm là \(N_1(1;2)\); \(N_2\left(\displaystyle\frac{11}{5} ;-\displaystyle\frac{2}{5}\right)\).

}

Câu 8:

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có toạ độ ba đỉnh \(A(0;-1)\), \(B(2 ; 3)\)\(C(-4;1)\). Lập phương trình tham số của đường trung bình ứng với cạnh \(BC\) của tam giác \(ABC\).

Image
Image

Gọi \(d\) là đường trung bình ứng với cạnh \(BC\), khi đó \(d\) đi qua trung điểm \(M(1;1)\) của cạnh \(AB\) và song song với \(BC\).

Suy ra \(d\) nhận \(\overrightarrow{BC}(-6 ;-2)\) là một véc-tơ chỉ phương.

Vậy phương trình tham số của \(d\)\(\begin{cases}x=1-6t\\y=1-2t.\end{cases}\)

}

Câu 9:

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hình vuông \(ABCD\)\(A(-1;0)\)\(B(1;2)\).

\(\bullet\,\) Lập phương trình đường thẳng \(BC\).

\(\bullet\,\) Tìm toạ độ của điểm \(C\) biết rằng hoành độ của điểm \(C\) là số dương.

Image
Image

\(\bullet\,\) Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(BC\) vuông góc với \(AB\). Do đó, đường thẳng \(BC\) đi qua điểm \(B(1,2)\) và nhận véc-tơ \(\overrightarrow{AB}(2;2)\) là một véc-tơ pháp tuyến.

Phương trình của \(BC\)\(x+y-3=0\).

\(\bullet\,\) Ta có \(C\) thuộc đường thẳng \(BC\) nên toạ độ điểm \(C\) có dạng \(C(t;3-t)\), \(t>0\).

Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(BC=AB\).

Do đó, ta có phương trình \(\sqrt{(t-1)^2+(1-t)^2}=\sqrt{2^2+2^2}\).

Giải phương trình trên ta được \(t_1=-1\); \(t_2=3\).

Kết hợp điều kiện ta có \(C(3;0)\).

}

Câu 10:

Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong các trường hợp sau:

\(\bullet\,\) \(A(-3;1)\)\(\Delta_{1}\colon 2x+y-4=0\);

\(\bullet\,\) \(B(1;-3)\)\(\Delta_{2}\colon \begin{cases} x=-3+3t \\ y= 1-t\end{cases}\).

Image
Image

\(\bullet\,\) \(\mathrm{d}(A,\Delta_1)=\displaystyle\frac{|2.(-3)+1-4|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\displaystyle\frac{9\sqrt{5}}{5}\).

\(\bullet\,\) Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta_{2}\) là: \(x+3y=0\).

Vậy \(\mathrm{d}(B,\Delta_2)=\displaystyle\frac{|1+3.(-3)|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\displaystyle\frac{4\sqrt{10}}{5}\).

}

Câu 11:

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau

\(\bullet\,\) \(m\colon x+y-2=0\)\(k\colon 2 x+2 y-4=0\).

\(\bullet\,\) \(a\colon \begin{cases}x=1+2 t \\ y=4\end{cases}\)\(b\colon \begin{cases}x=3 t' \\ y=1+t'\end{cases}\).

\(\bullet\,\) \(d_{1}\colon x-2 y-1=0\)\(d_{2}\colon \begin{cases}x=1-2 t \\ y=2-t\end{cases}\).

Image
Image

\(\bullet\,\) Từ giả thiết ta có \(\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{-2}{-4}\) nên hai đường thẳng này trùng nhau.

\(\bullet\,\) Từ giả thiết ta có \(\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{-2}{-4}\) nên hai đường thẳng này trùng nhau.

\(\bullet\,\) Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow{u_{a}}=(2; 0), \overrightarrow{u_{b}}=(3; 1)\). Khi đó hai véc-tơ chỉ phương của hai đường thẳng không cùng phương với nhau nên hai đường thẳng cắt nhau.

\(\bullet\,\) Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow{n_{d_{1}}}=(1;-2), \overrightarrow{u_{d_{2}}}=(-2;-1)\). Khi đó véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng \(d_{2}\)\(\overrightarrow{n_{d_{2}}}=(1;-2)=\overrightarrow{n_{d_{1}}}\), mà điểm \(M(1; 2)\) thuộc \(d_{2}\) nhưng không thuộc \(d_{1}\) nên hai đường thẳng song song với nhau.

}

Câu 12:

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau

\(\bullet\,\) \(d\colon y-1=0\)\(k\colon x-y+4=0\);

\(\bullet\,\) \(a\colon \begin{cases}x=3+t \\ y=2 t\end{cases}\)\(b\colon 3 x+y+1=0\);

\(\bullet\,\) \(m\colon \begin{cases}x=1-t \\ y=2-\sqrt{3} t\end{cases}\)\(n\colon \begin{cases}x=4-t' \\ y=\sqrt{3} t'\end{cases}\).

Image
Image

\(\bullet\,\) Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\)\(k\). Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow{n_d}=(0; 1)\), \(\overrightarrow{n_k}=(1;-1)\). Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì

\(\cos \varphi=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_d}, \overrightarrow{n_k}\right)\right|=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n_d} \cdot \overrightarrow{n_k}\right|}{\left|\overrightarrow{n_d}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n_k}\right|}=\displaystyle\frac{|0 \cdot 1+1 \cdot(-1)|}{1 \cdot \sqrt{2}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(\Rightarrow \varphi=45^{\circ}.\)

Vậy góc giữa hai đường thẳng là \(\varphi=45^{\circ}\).

\(\bullet\,\) Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai đường thẳng \(a\)\(b\).

Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow{u}_a=(1; 2)\), \(\overrightarrow{n_{b}}=(3; 1)\) nên \(\overrightarrow{u}_b=(1;-3)\). Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì

\(\cos \alpha=\left|\cos \left(\overrightarrow{u}_a, \overrightarrow{u}_b\right)\right|=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{u}_a \cdot \overrightarrow{u}_b\right|}{\left|\overrightarrow{u}_a\right| \cdot\left|\overrightarrow{u}_b\right|}\) \(=\displaystyle\frac{|1 \cdot 1+2 \cdot(-3)|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\Rightarrow \alpha=45^{\circ}.\)

Vậy góc giữa hai đường thẳng \(a\)\(b\)\(\alpha=45^{\circ}\).

\(\bullet\,\) Gọi \(\beta\) là góc giữa hai đường thẳng \(m\)\(n\).

Từ giả thiết ta có \(\overline{u_m}=(1; \sqrt{3})\), \(\overrightarrow{u}_n=(-1; \sqrt{3})\). Do đó theo công thức tính góc giữa hai đường thẳng thì

\(\cos \beta=\left|\cos \left(\overrightarrow{u}_m, \overrightarrow{u}_n\right)\right|=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{u}_m \cdot \overrightarrow{u}_n\right|}{\left|\overrightarrow{u}_m\right| \cdot\left|\overrightarrow{u}_n\right|}=\displaystyle\frac{|1 \cdot(-1)+\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}|}{2 \cdot 2}=\displaystyle\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow \beta=60^{\circ}.\)

Vậy góc giữa hai đường thẳng \(m\)\(n\)\(\beta=60^{\circ}\).

}

Câu 13:

Cho hai đường thẳng \(d\colon 2 x+y+1=0\)\(k\colon 2 x+5 y-3=0\).

\(\bullet\,\) Chứng minh rằng hai đường thẳng cắt nhau. Tìm giao điểm của hai đường thẳng đó.

\(\bullet\,\) Tính tang của góc giữa hai đường thẳng.

Image
Image

\(\bullet\,\) Do \(\displaystyle\frac{2}{2} \neq \displaystyle\frac{1}{5}\) nên hai đường thẳng này cắt nhau.

Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường thẳng. Khi đó toạ độ \(I\) là nghiệm của hệ

\(\begin{cases}2 x + y + 1 = 0 \\ 2 x + 5 y - 3 = 0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=-1 \\y=1.\end{cases}\)

Vậy \(I(-1;1)\).

\(\bullet\,\) Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\)\(k\).

Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow{n_d}=(2; 1), \overrightarrow{n_k}=(2; 5)\). Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì

\(\cos \varphi=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_d}, \overrightarrow{n_k}\right)\right|=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n_d} \cdot \overrightarrow{n_k}\right|}{\left|\overrightarrow{n_d}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n_k}\right|}\) \(=\displaystyle\frac{|2 \cdot 2+1 \cdot 5|}{\sqrt{5} \sqrt{29}}=\displaystyle\frac{9}{\sqrt{145}}.\)

Do đó \(\tan ^{2} \varphi=\displaystyle\frac{1}{\cos ^{2} \varphi}-1=\displaystyle\frac{145}{81}-1=\displaystyle\frac{64}{81}\) \(\Rightarrow \tan \varphi=\displaystyle\frac{8}{9}\).

}

Câu 14:

Trong mặt phẳng \(Oxy\), tìm điểm \(M\) thuộc trục \(Ox\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(\Delta\colon 3 x+y-3=0\) bằng \(\sqrt{10}\).

Image
Image

Do \(M\) thuộc \(Ox\) nên toạ độ của \(M\) có dạng \(M(m; 0)\).

Từ giả thiết ta có \(\mathrm{\,d}(M, \Delta) =\displaystyle\frac{|3 m+0-3|}{\sqrt{3^{2}+1^{2}}}=\sqrt{10}\).

Giải phương trình ta được \(m_1=\displaystyle\frac{13}{3}; m_2=-\displaystyle\frac{7}{3}\).

Vậy có hai điểm thoả mãn là \(M_1\left(\displaystyle\frac{13}{3}; 0\right); M_2\left(-\displaystyle\frac{7}{3}; 0\right)\).

}

Câu 15:

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta\colon 2 x+y-5=0\).

\(\bullet\,\) Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(3; 1)\) và song song với đường thẳng \(\Delta\).

\(\bullet\,\) Viết phương trình đường thẳng \(k\) đi qua điểm \(B(-1; 0)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta\).

\(\bullet\,\) Lập phương trình đường thẳng \(a\) song song với đường thẳng \(\Delta\) và cách điểm \(O\) một khoảng bằng \(\sqrt{5}\).

Image
Image

\(\bullet\,\) \(\Delta\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}(2; 1)\). Do \(d\) song song với \(\Delta\) hên \(d\) nhận \(\overrightarrow{n}(2; 1)\) là một véc-tơ pháp tuyến.

Đường thẳng \(d\) đi qua \(A(3; 1)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}(2; 1)\) nên có phương trình tổng quát là \(2 x+y-7=0\).

\(\bullet\,\) \(\Delta\) có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u_{\Delta}}=(1;-2)\).

Do \(k\) vuông góc với \(\Delta\) nên \(k\) nhận véc-tơ \(\overrightarrow{u_{\Delta}}=(\uparrow;-2)\) là một véc-tơ pháp tuyến.

Đường thẳng \(k\) đi qua \(B(-1; 0)\) và có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_k}=(\uparrow;-2)\) nên có phương trình tổng quát là \(x-2 y+1=0\).

\(\bullet\,\) Đường thẳng \(a\) song song với \(\Delta\) nên phương trình đường thẳng \(a\) có dạng \(2 x+y+c=0\) với \(c \neq-5\).

Theo công thức tính khoảng cách ta có \(\mathrm{\,d}(O, a) =\displaystyle\frac{|2 \cdot 0+0+c|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\sqrt{5}\).

Giải phương trình ta được \(c=\pm 5\).

Kết hợp điều kiện ta có \(c=5\).

Vậy phương trình đường thẳng \(a\)\(2 x+y+5=0\).

}

Câu 16:

Trong mặt phẳng \(O x y\), cho tam giác \(ABC\)\(A(2;-1), B(2;-2)\)\(C(0;-1)\).

\(\bullet\,\) Tính độ dài đường cao của tam giác \(ABC\) kẻ từ \(A\).

\(\bullet\,\) Tính diện tích tam giác \(ABC\).

\(\bullet\,\) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).

Image
Image

\(\bullet\,\) Độ dài đường cao của tam giác \(ABC\) kẻ từ \(A\) chính là khoảng cách từ điểm \(A\) đến cạnh \(BC\).

Đường thẳng \(BC\) nhận \(\overrightarrow{BC}=(-2; 1)\) là một véc-tơ chỉ phương. Do đó \(\overrightarrow{n}=(1; 2)\) là một véc-tơ pháp tuyến của \(BC\). Đường thẳng \(BC\) đi qua điểm \(B(2;-2)\) và có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(1; 2)\) nên có phương trình tổng quát là \(x+2 y+2=0\).

Theo công thức tính khoảng cách, ta có \(d(A, BC) =\displaystyle\frac{|2+2 \cdot(-1)+2|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}\).

\(\bullet\,\) Ta có \(BC=\sqrt{5}\) nên \(S_{ABC}=\displaystyle\frac{1}{2} d(A; BC) \cdot BC=\displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{5}=1\).

\(\bullet\,\) Ta có \(AB=1, BC=\sqrt{5}, AC=2\).

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\)

\(r=\displaystyle\frac{S_{ABC}}{p}=\displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}+2}{2}\right)}\) \(=\displaystyle\frac{2}{3+\sqrt{5}}=\displaystyle\frac{3-\sqrt{5}}{2}.\)

}

Câu 17:

Cho đường thẳng \(d\colon x-2 y+1=0\) và điểm \(A(-2; 2)\).

\(\bullet\,\) Chứng minh \(A\) không thuộc đường thẳng \(d\).

\(\bullet\,\) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của \(A\) trên đường thẳng \(d\).

\(\bullet\,\) Xác định điểm đối xứng của \(A\) qua đường thẳng \(d\).

Image
Image

\(\bullet\,\) Thay toạ độ điểm \(A\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta có \(-2-2 \cdot 2+1=-5 \neq 0\).

Vậy điểm \(A\) không thuộc đường thẳng \(d\).

\(\bullet\,\) Gọi \(\Delta\) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(d\).

Khi đó \(\Delta\) nhận véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{d}}=(2; 1)\) của đường thẳng \(d\) là một véc-tơ pháp tuyến nên phương trình \(\Delta\)\(2(x+2)+1(y-2)=0 \Leftrightarrow 2 x+y+2=0\).

Hình chiếu vuông góc \(H\) của điểm \(A\) trên đường thẳng \(d\) là giao điểm của đường thẳng \(d\)\(\Delta\).

Do đó, toạ độ của điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình \(\begin{cases}x-2 y+1=0 \\ 2 x+y+2=0.\end{cases}\)

Giải hệ phương trình ta được \(x=-1, y=0\).

Vậy \(H(-1; 0)\).

\(\bullet\,\) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(d\).

Khi đó \(H\) là trung điểm của \(AA'\). Từ đó ta có \(A'(0;-2)\).

}

Câu 18:

Trong mặt phẳng \(O x y\), cho hai điểm \(A(-3; 0), B(1;-2)\) và đường thẳng \(d\colon x+y-1=0\)

\(\bullet\,\) Chứng minh rằng hai điểm \(A\)\(B\) nằm cùng phía so với đường thẳng \(d\).

\(\bullet\,\) Điểm \(M\) thay đổi trên đường thẳng \(d\). Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác \(A B M\).

Image
Image

\(\bullet\,\) Ta có \((-3+0-1) \cdot(1-2-1)=8>0\) nên theo tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ta có \(A\), \(B\) nằm cùng phía so với đường thẳng \(d\).

\(\bullet\,\) Do \(M \in d\) nên toạ độ của điểm \(M\) có dạng \(M(t; 1-t)\). Chu vi tam giác \(AB M\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(M A+M B\) nhỏ nhất.

Lấy \(A'\) đối xứng với \(A\) qua đường thẳng \(d\). Khi đó ta có \(M A+M B=MA'+MB \geq A' B\). Dấu bằng xảy ra khi \(M=A'B \cap d\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(d\).

Khi đó \(A H\) đi qua điểm \(A(-3; 0)\) và nhận véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{d}}=(1;-1)\) của đường thẳng \(d\) là véc-tơ pháp tuyến nên phương trình của \(A H\)\(x-y+3=0\).

Vậy toạ độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình \(\begin{cases}x+y-1=0 \\ x-y+3=0.\end{cases}\)

Giải hệ phương trình ta được \(x=-1, y=2\). Suy ra \(H(-1; 2)\).

Mặt khác, \(H\) là trung điểm của \(A A'\) nên \(A'(1; 4)\).

Ta có \(\overrightarrow{A' B}=(0;-6)\) là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(A' B\).

Do đó \(A' B\) là đường thẳng đi qua điểm \(A'(1; 4)\) và nhận \(\overrightarrow{n}(1; 0)\) là một véc-tơ pháp tuyến.

Phương trình của đường thẳng \(A' B\)\(x=1\).

Vậy toạ độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình \(\begin{cases}x+y-1=0 \\ x=1.\end{cases}\)

Do đó ta có \(M(1; 0)\).

}

Câu 19:

Cho tam giác \(A B C\), biết toạ độ trung điểm các cạnh \(B C, C A, A B\) lần lượt là \(M(-1 ; 1)\), \(N(3 ; 4)\), \(P(5 ; 6)\).

\(\bullet\,\) Viết phương trình tham số của các đường thẳng \(A B, B C, C A\).

\(\bullet\,\) Viết phương trình tổng quát của các đường trung trực của tam giác \(A B C\).

Image
Image

\(\bullet\,\) Do \(M, N, P\) lần lượt là trung điểm của \(B C, C A, A B\) nên \(M N \parallel A B, N P \parallel B C\), \(M P \parallel A C\).

Ta có \(\overrightarrow{M N}=(4 ; 3)\) là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(A B\), mà \(P(5 ; 6)\) thuộc \(A B\).

Suy ra phương trình tham số của \(A B\)\(\left\{\begin{array}{l}x=5+4 t_1 \\ y=6+3 t_1.\end{array}\right.\)

Tương tự, phương trình tham số của \(B C\)\(C A\) lần lượt là

\(\left\{\begin{array}{l} x = - 1 + t_2 \\ y = 1 + t_2\end{array}\right.\)\(\left\{\begin{array}{l}x=3-6 t_3 \\ y=4-5 t_3.\end{array}\right.\)

\(\bullet\,\) Gọi \(d\) là đường trung trực của \(A B\).

Ta có \(\overrightarrow{M N}=(4 ; 3)\) là véc-tơ pháp tuyến của \(d\)\(P(5 ; 6)\) thuộc \(d\).

Suy ra phương trình của \(d\)\(4(x-5)+3(y-6)=0\).

Từ đó ta nhận được phương trình tổng quát của \(d\)\(4 x+3 y-38=0\).

Tương tự, phương trình tổng quát của đường trung trực cạnh \(B C\)\(C A\) lần lượt là

\(x+y=0\)\(-6 x-5 y+38=0.\)

}

Câu 20:

Cho đường thẳng \(\Delta \colon\left\{\begin{array}{l}x=4+t \\ y=-1+2 t\end{array}\right.\) và điểm \(A(2 ; 1)\). Hai điểm \(M, N\) nằm trên \(\Delta\).

\(\bullet\,\) Tim toạ độ điểm \(M\) sao cho \(A M=\sqrt{17}\).

\(\bullet\,\) Tìm toạ độ điểm \(N\) sao cho đoạn thẳng \(A N\) ngắn nhất.

Image
Image

\(\bullet\,\) \(M\) nằm trên \(\Delta\) nên ta lấy toạ độ của \(M\)\((4+m ;-1+2 m)\) (\(m\) là số thực).

Ta có

\(A M=\sqrt{17} \Leftrightarrow(m+2)^2+(2 m-2)^2=17 \Leftrightarrow 5 m^2-4 m-9=0.\)

Giải phương trình trên ta có \(m=\displaystyle\frac{9}{5}\) hoặc \(m=-1\).

Vậy có 2 trường hợp là \(M\left(\displaystyle\frac{29}{5};\displaystyle\frac{13}{5}\right)\)\(M(3 ;-3)\).

\(\bullet\,\) \(N\) nằm trên \(\Delta\) nên ta lấy toạ độ của \(N\)\((4+n ;-1+2 n\)) (\(n\) là số thực).

Ta có \(\overrightarrow{A N}=(n+2 ; 2 n-2)\)\(\overrightarrow{u}=(1 ; 2)\) là véc-tơ chỉ phương của \(\Delta\).

Đoạn thẳng \(A N\) ngắn nhất khi và chỉ khi \(N\) là hình chiếu của \(A\) lên \(\Delta\).

Suy ra \(A N\) vuông góc với \(\Delta\) hay

\(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{A N}=0 \Leftrightarrow 1(n+2)+2(2 n-2)=0 \Leftrightarrow n=\displaystyle\frac{2}{5}.\)

Vậy \(N\left(\displaystyle\frac{22}{5};-\displaystyle\frac{1}{5}\right)\).

}

Câu 21:

Cho ba điểm \(A(-2 ; 2), B(7 ; 5), C(4 ;-5)\) và đường thẳng \(\Delta \colon 2 x+y-4=0\).

\(\bullet\,\) Tìm toạ độ điểm \(M\) thuộc \(\Delta\) và cách đều hai điểm \(A\)\(B\).

\(\bullet\,\) Tìm toạ độ điểm \(N\) thuộc \(\Delta\) sao cho \(\left|\overrightarrow{N A}+\overrightarrow{N B}+\overrightarrow{N C}\right|\) có giá trị nhỏ nhất.

Image
Image

\(\bullet\,\) \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta\) nên \(M(m ; 4-2 m)\) (\(m\) là số thực). Ta có

\(\begin{aligned}&M A=\sqrt{(-2-m)^2+(-2+2 m)^2}, M B=\sqrt{(7-m)^2+(1+2 m)^2}. \\ &M A=M B \Leftrightarrow \sqrt{(-2-m)^2+(-2+2 m)^2}=\sqrt{(7-m)^2+(1+2 m)^2} \Leftrightarrow m=7.\end{aligned}\)

Vậy \(M(7 ;-10)\).

\(\bullet\,\) \(N\) thuộc đường thẳng \(\Delta\) nên \(N(n ; 4-2 n)\) (\(n\) là số thực).

Ta có \(\overrightarrow{N A}+\overrightarrow{N B}+\overrightarrow{N C}=(9-3 n ;-10+6 n)\).

\(\begin{aligned}&\left|\overrightarrow{N A}+\overrightarrow{N B}+\overrightarrow{N C}\right| =\sqrt{(9-3 n)^2+(-10+6 n)^2}=\sqrt{45 n^2-174 n+181} \\ =\ &\sqrt{45\left(n-\displaystyle\frac{29}{15}\right)^2+\displaystyle\frac{64}{5}} \geq \sqrt{\displaystyle\frac{64}{5}}=\displaystyle\frac{8 \sqrt{5}}{5}.\end{aligned}\)

Vậy \(\left| \overrightarrow{N A}+\overrightarrow{N B}+\overrightarrow{N C}\right|\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(\displaystyle\frac{8 \sqrt{5}}{5}\) khi \(N\left(\displaystyle\frac{29}{15} ; \displaystyle\frac{2}{15}\right)\).

}

Câu 22:

Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

\(\bullet\,\) \(d_{1}\colon 2x-3y+5=0\)\(d_{2}\colon 2x+y-1=0\);

\(\bullet\,\) \(d_{3}\colon \begin{cases} x=-1-3t \\ y=3+t\end{cases}\)\(d_{4}\colon x+3y-5=0\);

\(\bullet\,\) \(d_{5}\colon \begin{cases} x=2-2t \\ y=-1+t\end{cases}\)\(d_{6}\colon \begin{cases} x=-2+2t' \\ y=1-t'\end{cases}\).

Image
Image

\(\bullet\,\)\(\displaystyle\frac{2}{2}\neq\displaystyle\frac{-3}{1}\) nên \(d_{1}\) cắt \(d_2\).

\(\bullet\,\) Ta có véc-tơ pháp tuyến \(d_{3}\), \(d_{4}\) cùng phương nên \(d_{3}\parallel d_{4}\) hoặc \(d_{3}\equiv d_{4}\).

\(A(-1;3)\in d_3\)\(A(-1;3)\notin d_4\) nên nên \(d_{3}\parallel d_{4}\).

\(\bullet\,\) Ta có véc-tơ chỉ phương \(d_{5}\), \(d_{6}\) cùng phương nên \(d_{5}\parallel d_{6}\) hoặc \(d_{5}\equiv d_{6}\).

\(B(2;-1)\in d_5\)\(B(2;-1)\in d_6\) nên \(d_{5}\equiv d_{6}\).

}

Câu 23:

Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng của mỗi cặp đường thẳng sau:

\(\bullet\,\) \(\Delta_{1}\colon 3x+y-5=0\)\(\Delta_{2}\colon x+2y-3=0\);

\(\bullet\,\) \(\Delta_{3}\colon \begin{cases} x=2+\sqrt{3}t \\ y=-1+3t\end{cases}\)\(\Delta_{4}\colon \begin{cases} x=3-\sqrt{3}t' \\ y=-t'\end{cases}\);

\(\bullet\,\) \(\Delta_{5}\colon -\sqrt{3}x+3y+2=0\)\(\Delta_{6}\colon \begin{cases} x=3t \\ y=1-\sqrt{3}t\end{cases}\).

Image
Image

\(\bullet\,\) \(\cos(\Delta_{1},\Delta_{2})=\displaystyle\frac{|3.1+1.2|}{\sqrt{3^2+1^2}.\sqrt{1^2+2^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Vậy \((\Delta_{1},\Delta_{2})=45^\circ\).

\(\bullet\,\) \(\cos(\Delta_{3},\Delta_{4})=\displaystyle\frac{|\sqrt{3}.(-\sqrt{3})+3(-1)|}{\sqrt{3+9}.\sqrt{3+1}}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Vậy \((\Delta_{3},\Delta_{4})=30^\circ\).

\(\bullet\,\) \(d_{6}\) có véc-tơ pháp tuyến \((\sqrt{3};3)\).

\(\cos(\Delta_{5},\Delta_{6})=\displaystyle\frac{|-\sqrt{3}.\sqrt{3}+3.3|}{\sqrt{3+9}.\sqrt{3+9}}=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Vậy \((\Delta_{5},\Delta_{6})=60^\circ\).

}

Câu 24:

Cho hai đường thẳng song song \(\Delta_{1}\colon ax+by+c=0\)\(\Delta_{2}\colon ax+by+d=0\). Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta_{1}\)\(\Delta_{2}\) bằng \(\displaystyle\frac{|d-c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\).

Image
Image

Lấy \(M(x_0;y_0)\in\Delta_{1}\), suy ra \(ax_0+by_0+c=0\).

Khi đó ta có:

\begin{eqnarray*}&&\mathrm{d}(\Delta_{1},\Delta_{2})=\mathrm{d}(M,\Delta_{2})=\displaystyle\frac{|ax_0+by_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ &=&\displaystyle\frac{|(ax_0+by_0+c)+(d-c)|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\displaystyle\frac{|d-c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\end{eqnarray*}

}

Câu 25:

Cho hai đường thẳng \(\Delta_{1}\colon mx-2y-1=0\)\(\Delta_{2}\colon x-2y+3=0\). Với giá trị nào của tham số \(m\) thì:

\(\bullet\,\) \(\Delta_{1}\parallel\Delta_{2}\)?

\(\bullet\,\) \(\Delta_{1}\perp\Delta_{2}\)?

Image
Image

Ta có: \(\overrightarrow{u_1}=(2;m)\)\(\overrightarrow{u_2}=(2;1)\) lần lượt là véc-tơ chỉ phương của \(\Delta_{1}\)\(\Delta_{2}\).

\(\bullet\,\) \(\Delta_{1} \parallel \Delta_{2}\) nếu \(\overrightarrow{u_1}\)\(\overrightarrow{u_2}\) cùng phương, tức là \(\displaystyle\frac{2}{2}=\displaystyle\frac{m}{1}\Leftrightarrow m=1\).

\(\bullet\,\) \(\Delta_{1} \perp \Delta_{2}\) nếu \(\overrightarrow{u_1}\perp\overrightarrow{u_2}\), tức là \(\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}=0\Leftrightarrow2.2+m.1+0\Leftrightarrow m=-4\).

}

Câu 26:

Cho ba điểm \(A(-2;2), B(4;2), C(6;4)\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(B\) đồng thời cách đều \(A\)\(C\).

Image
Image

Trường hợp 1: \(A, C\) ở cùng phía so với \(\Delta\). Khi đó \(\Delta\parallel AC\), phương trình đường thẳng \(\Delta\) là: \(x-4y+4=0\).

Trường hợp 2: \(A, C\) ở khác phía so với \(\Delta\). Khi đó \(\Delta\) đi qua trung điểm của \(AC\), phương trình đường thẳng \(\Delta\) là: \(x+2y-8=0\).

}

Câu 27:

Có hai tàu điện ngầm \(A\)\(B\) chạy trong nội đô thành phố cùng xuất phát từ hai ga, chuyển động đều theo đường thẳng. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát \(t\) (giờ) (\(t\geq0\)), vị trí của tàu \(A\) có tọa độ được xác định bởi công thức \(\begin{cases} x=7+36t \\ y=-8+8t\end{cases}\), vị trí của tàu \(B\) có tọa độ là \((9+8t;5-36t)\).

\(\bullet\,\) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu \(A\)\(B\).

\(\bullet\,\) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?

Image
Image

\(\bullet\,\) Tàu \(A\) di chuyển theo hướng cùng hướng với véc-tơ \(\overrightarrow{u_1}=(36;8)\), tàu \(B\) di chuyển theo hướng cùng hướng với véc-tơ \(\overrightarrow{u_2}=(8;-36)\). Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai đường đi của hai tàu.

Ta có \(\cos\varphi=\lvert \cos\left(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right)\lvert=\displaystyle\frac{|\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}|.|\overrightarrow{u_2}|}\) \(=\displaystyle\frac{|36.8+8.(-36)|}{\sqrt{36^2+8^2}.\sqrt{8^2+(-36)^2}}=0\).

\(\bullet\,\) Vị trí của tàu \(A\) sau khi xuất phát \(t\)(giờ) là điểm \(M\) có tọa độ là \((7+36t;-8+8t)\).

Vị trí của tàu \(B\) sau khi xuất phát \(t\)(giờ) là điểm \(N\) có tọa độ là \((9+8t;5-36t)\).

Do đó \(\overrightarrow{MN}=(2-28t;13-44t)\).

Suy ra \(MN=\sqrt{(2-28t)^2+(13-44t)^2}\) \(=\sqrt{2720\left(t-\displaystyle\frac{157}{680}\right)^2+\displaystyle\frac{4761}{170}}\) \(\geq\sqrt{\displaystyle\frac{4761}{170}}\approx 5,29 \mathrm{~(km).}\)

\(MN\) nhỏ nhất bằng xấp xỉ \(5{,}29\) khi \(t=\displaystyle\frac{157}{680}\) (giờ).

Như vậy, sau \(\displaystyle\frac{157}{680}\) giờ di chuyển thì hai tàu gần nhau nhất và cách nhau khoảng \(5{,}29\) km.

}

Câu 28:

Trong một hoạt động ngoại khoá của trường, lớp Việt định mở một gian hàng bán bánh mì và nước khoáng. Biết rằng giá gốc một bánh mì là \(15\,000\) đồng, một chai nước là \(5\,000\) đồng. Các bạn dự kiến bán bánh mì với giá \(20\,000\) đồng/\(1\) bánh mì và nước giá \(8\,000\) đồng/\(1\) chai. Dựa vào thống kê số người tham gia hoạt động và nhu cầu thực tế các bạn dự kiến tổng số bánh mì và số chai nước không vượt qua \(200\). Theo quỹ lớp thì số tiền lớp Việt được dùng không quá \(2\,000\,000\) đồng. Hỏi lớp Việt có thể đạt được tối đa lợi nhuận là bao nhiêu?

Image
Image

Gọi \(x, y\) lần lượt là số chiếc bánh mì và chai nước khoáng mà lớp Việt định mua để bán.

Khi đó từ giả thiết ta có \(x, y \in \mathbb{N}\).

Mặt khác từ giả thiết ta có

\(\begin{cases}x+y \leq 200 \\ 15\,000 x+5\,000 y \leq 2\,000\,000\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x+y \leq 200 \\ 3 x+y \leq 400.\end{cases}\)

Nếu bán hết thì lợi nhuận lớp Việt có được là \(T=5x+3y\) (nghìn đồng).

Để tìm lợi nhuận lớn nhất ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(d=5x+3y\).

Trước hết, ta biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình

\(\begin{cases}x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x+y \leq 200 \\ 3 x+y \leq 400\end{cases}\)

trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), là miền tứ giác \(OABC\).

Khi đó các cặp \((x; y)\) thoả mãn đề bài là các cặp số tự nhiên sao cho điểm \(M(x; y)\) nằm trong miền tứ giác \(OABC\).

Ta có \(d=5 x+3 y=\sqrt{34} \cdot \displaystyle\frac{|5 x+3 y|}{\sqrt{5^{2}+3^{2}}}=\sqrt{34} \cdot \mathrm{\,d}(M, \Delta)\) với \(\Delta\) là đường thẳng có phương trình \(5 x+3 y=0\).

Gọi \(k\) là đường thẳng qua \(M\) và song song với \(\Delta\).

Khi đó ta có \(\mathrm{\,d}(M, \Delta) =\mathrm{\,d}(k, \Delta) \).

Do đó \(d\) lớn nhất tương ứng với khoảng cách giữa \(k\)\(\Delta\) lớn nhất.

Từ hình vẽ ta có khoảng cách giữa \(k\)\(\Delta\) lớn nhất khi \(M\) trùng \(B\).

Do đó giá trị lớn nhất của \(d\)\(\sqrt{34} \cdot \displaystyle\frac{|5 \cdot 100+3 \cdot 100|}{\sqrt{5^{2}+3^{2}}}=800\).

Vậy lợi nhuận tối đa mà lớp Việt có thể đạt được là 800 nghìn đồng khi các bạn mua và bán được 100 chiếc bánh mì và 100 chai nước.

}

Câu 29:

Nhà bạn Nam định đổi tủ lạnh và dự định kê vào vị trí dưới cầu thang. Biết vị trí định kê tủ lạnh có mặt cắt là một hình thang vuông với hai đáy lần lượt là \(150\)cm và \(250\)cm, chiều cao là \(150\)cm (như hình vẽ). Bố mẹ bạn Nam định mua một tủ lạnh \(2\) cánh (Side by side) có chiều cao là \(183\)cm và bề ngang \(90\)cm. Bằng cách sử dụng toạ độ trong mặt phẳng, em hãy giúp Nam tính xem bố mẹ bạn Nam có thể kê vừa chiếc tủ lạnh vào vị trí cần kê không?

baitapsgk10/t10ch9b2sgkh1.png

baitapsgk10/t10ch9b2sgkh2.png

Gắn hệ trục toạ độ \(Oxy\) như hình vẽ. Khi đó để tận dụng tối đa chiều cao có thể khi kê tủ lạnh thì bố mẹ bạn Nam sẽ kê tủ sát vào trục \(Oy\). Do đó để kê được một chiếc tủ lạnh \(2\) cánh với bề ngang \(90\)cm thì chiều cao của tủ phải nhỏ hơn tung độ của điểm \(E\) thuộc đường thẳng \(BC\) với hoành độ điểm \(E\) bằng \(90\).

Ta có

\(\begin{aligned}&B(150;150), C(0;250) \\ \Rightarrow\ &\overrightarrow{BC}=(-150;100)\Rightarrow \overrightarrow{n}_{BC}=(100;150)\end{aligned}\)

Phương trình đường thẳng \(BC\)

\(100\cdot(x-0)+150\cdot(y-250)=0 \Leftrightarrow 2x+3y-750=0.\)

Điểm \(E\) thuộc \(BC\) có hoành độ bằng \(90\) nên tung độ của \(E\) tính theo công thức \(2\cdot90+3y_E-750=0\Rightarrow y_E=190\).

Do \(183\)cm\(<190\)cm nên bố mẹ bạn Nam có thể kê chiếc tủ lạnh có bề ngang là \(90\)cm và chiều cao \(183\)cm.

}