Cấp số cộng đã cho có số hạng đầu \(u_1=3\), công sai \(d=3\).

Ta có \(u_4=12\), \(u_5=u_4+d=12+3=15\).

}

a) Dãy số: \(5; \ 10; \ 15; \ 20; \ 25 ; \ 30\) là cấp số cộng với công sai \(d=5\).

b) Dãy số: \(1;\ 2; \ 4; \ 8\) có \(u_2-u_1 \neq u_3-u_2\) nên không phải là cấp số cộng.

c) Dãy số: \(7;\ 7;\ 7; \ 7;\ 7\) là cấp số cộng với công sai \(d=0\).

}

a) Ta có \(-2-10=-14-(-2)=-26-(-14)=-38-(-24)\),

do đó dãy số \(10\); \(-2\); \(-14\); \(-26\); \(-38\) là cấp số cộng.

b) Ta có \(\displaystyle\frac{5}{4}-\displaystyle\frac{1}{2} \ne 2-\displaystyle\frac{5}{4}\) nên dãy số \(\displaystyle\frac{1}{2}\); \(\displaystyle\frac{5}{4}\); \(2\); \(\displaystyle\frac{11}{4}\); \(\displaystyle\frac{7}{2}\) không là cấp số cộng.

c) Ta có \(\sqrt{2}-\sqrt{1} \ne \sqrt{3}-\sqrt{2}\) nên dãy số \(\sqrt{1}\); \(\sqrt{2}\); \(\sqrt{3}\); \(\sqrt{4}\); \(\sqrt{5}\) không là cấp số cộng.

d) Ta có \(4-1=7-4=10-7=13-10\) nên dãy số \(1\), \(4\), \(7\), \(10\), \(13\) là cấp số cộng.

}

Ta có

\(-3-1=-7-(-3)=-11-(-7)=-15-(-11)=-4.\)

Do đó đãy số đã cho là cấp số cộng có công sai \(d=-4\).

}

a) \(3; \ 7; \ 11; \ 15; \ 19; \ 23.\)

Ta có \(7-3=11-7=15-11=19-15=23-19=4\).

Do đó dãy số đã cho là cấp số cộng có công sai \(d=4\).

b) Dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=9n-9\).

Ta có \(u_{n+1}=9\left(n+1\right)-9=\left(9n-9\right)+9=u_n+9, \ \forall n \in \mathbb{N^*}.\)

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng với công sai \(d=9\).

c) Dãy số \(\left(v_n\right)\) với \(v_n=an+b\), trong đó \(a\) và \(b\) là các hằng số.

Ta có \(v_{n+1}=a\left(n+1\right)+b=\left(an+b\right)+a=v_n+a, \ \forall n \in \mathbb{N^*}.\)

Vậy dãy số \(\left(v_n\right)\) là cấp số cộng với công sai \(d=a\).

}

Ta có \(u_n=u_1+(n-1)d=3+(n-1)\cdot 9=9n-6\).

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là \(u_n=9n-6\).

}

Năm số hạng đầu của cấp số cộng này là:

\(u_1=2, u_2=u_1+3=5, u_3=u_2+3=8, u_4=u_3+3=11, u_5=u_4+3=14.\)

}

a) Với số hạng đầu \(u_1=-3\), công sai \(d=5\), ta có công thức của số hạng tổng quát \(u_{n}\) là \(\)u_n=u_1+(n-1) d=-3+(n-1)\cdot 5 = -8+5n.\(\)

Vậy \(u_n=-8+5n\).

b) Ta có \(492=-8+5n \Leftrightarrow 5n=500 \Leftrightarrow n=100\). Vậy \(492\) là số hạng thứ \(100\) của cấp số cộng.

c) Xét \(300=-8+5n \Leftrightarrow n=\displaystyle\frac{308}{5}\). Do \(\displaystyle\frac{308}{5} \notin \mathbb{N}\) nên \(300\) không là số hạng nào của cấp số cộng trên.

}

a) Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng, ta có

\(u_{20}=u_1+(20-1)d=\displaystyle\frac{1}{2}+19 \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)=-9.\)

b) Giả sử \(- 99\) là số hạng thứ \(n\) của cấp số cộng, ta có

\( n=\displaystyle\frac{u_n-u_1}{d}+1=\displaystyle\frac{-99-\displaystyle\frac{1}{2}}{-\displaystyle\frac{1}{2}}+1=200.\)

Vậy số \(- 99\) là số hạng thứ \(200\) của cấp số cộng \(\left(u_n\right)\).

}

Dãy các số tự nhiên lẻ liên tiếp \(1, 3, 5, \ldots, 2n-1, \ldots\) là cấp số cộng vì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng với số hạng đứng ngay trước nó cộng với \(2\).

Công sai của cấp số cộng này là \(2\).

}

Ba số hạng đầu của cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) là

\begin{eqnarray*}u_1&=&9;\\ u_2&=&u_1+d=9+(-2)=7;\\ u_3&=&u_2+d=7+(-2)=5.\end{eqnarray*}

}

a) Tìm \(u_{12}\).

Ta có \(u_{12}=u_1+11d=-3+11\cdot 2=19\).

b) Số \(195\) là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó?

Ta có \(u_n=u_1+(n-1)d=-3+(n-1)2=195\), suy ra \(n=100\).

Vậy \(195\) là số hạng thứ \(100\) của cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) đã cho.

}

Ta có \(u_n=u_1+(n-1)d=4+(n-1)(-10)=-10n+14\).

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho là \(u_n=-10n+14\).

}

Cấp số cộng này có số hạng đầu là \(u_1=10\) và công sai là \(d=-5\). Do đó,

+) Năm số hạng đầu của cấp số cộng là \(10,5,0,-5,-10\).

+) Số hạng thức \(100\) là \(u_{100}=u_1+99d=10+99\cdot (-5)=-485\).

}

a) Cấp số cộng với \(u_1=4\) công sai \(d=5\).

Số hạng thứ \(5\) là \(u_5= u_1+4d=4+4\cdot 5=24 \).

Số hạng tổng quát \(u_n=u_1+(n-1)\cdot d=4+5(n-1).\)

Số hạng thứ \(100\) là \(u_{100}=4+99\cdot 5= 499\).

b) Cấp số cộng với \(u_1=1\) công sai \(d=-2\).

Số hạng thứ \(5\) là \(u_5= 1+4\cdot (-2)=-7\).

Số hạng tổng quát là \(u_n= 1-2(n-1)\).

Số hạng thứ \(100\) là \(u_{100}=1-2\cdot 99=-197.\)

}

Do cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có \(u_1=4\), \(u_2=1\) nên cấp số cộng có công sai là \(d=u_2-u_1=1-4=-3\).

Khi đó \(u_{10}=u_1+9d=4+9 \cdot (-3) = -23\).

}

a) Năm số hạng đầu \( 8,13,18,23,28.\) Đây là một cấp số cộng. Công sai \(d=5\).

Số hạng tổng quát \(u_n=8+(n-1)\cdot 5.\)

b) Năm số hạng đầu \(2,8,14,20,26.\) Đây là một cấp số cộng với công sai \(d=6\).

Số hạng tổng quát \(u_n=2+(n-1)\cdot 6\).

c) Năm số hạng đầu \(2,4,7,11,16\). Đây không phải là cấp số cộng.

d) Năm số hạng đầu \(2,5,8,11,14.\) Đây là cấp số cộng với công sai \(d=3\).

Số hạng tổng quát \(u_n=2+(n-1)\cdot 3.\)

}

Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng \(\left(c_n\right)\).

Ta có \(\begin{cases}c_4=80\\c_6=40\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}c_1+3d=80\\c_1+5d=40\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}c_1=140\\d=-20.\end{cases}\)

Do đó \(c_n=c_1+(n-1)d=140+(n-1)(-20)=-20n+160\).

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là \(c_n=-20n+160\).

}

a) Dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=2n+1\).

Ta có \(u_1=2\cdot 1+1=3\),

\(u_{n+1}=2\left(n+1\right)+1=\left(2n+1\right)+2=u_n+2, \ \forall n \in \mathbb{N^*}.\)

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1=3\) và công sai \(d=2\).

b) Dãy số \(\left(v_n\right)\) với \(u_n=-3n+5\).

Ta có \(v_1=(-3)\cdot 1+5=2\),

\(v_{n+1}=(-3)\left(n+1\right)+5=\left(-3n+5\right)-3=v_n+(-3), \ \forall n \in \mathbb{N^*}.\)

Vậy dãy số \(\left(v_n\right)\) là cấp số cộng với số hạng đầu \(v_1=2\) và công sai \(d=-3\).

}

a) Cấp số cộng \(\left(a_n\right)\) có \(a_1=5\) và \(d=-5\).

Ta có \(a_n=a_1+(n-1)d=5+(n-1)\cdot (-5)=-5n+10\).

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là \(a_n=-5n+10\).

b) Cấp số cộng \(\left(b_n\right)\) có \(b_1=2\) và \(b_{10}=20\).

Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng \(\left(b_n\right)\).

Ta có \(b_{10}=b_1+9d\Leftrightarrow 20=2+9d\Leftrightarrow d=2\).

Do đó \(b_n=b_1+(n-1)d=2+(n-1)\cdot 2=2n\).

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là \(b_n=2n\).

}

Ta có

\(u_n-u_{n-1}=4n-3-(4(n-1)-3)=4,\)

với mọi \(n\ge 2\). Do đó, \((u_n)\) là cấp số cộng có số hạng đầu là \(u_1=4\cdot 1-3=1\) và công sai \(d=4 \).

Số hạng tổng quát \(u_n=u_1+(n-1)d=1+(n-1)\cdot 4.\)

}

Giả sử \(u_1\), \(d\) lần lượt là số hạng đầu tiên, công sai của cấp số cộng thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó, theo giả thiết, ta có

\(\begin{cases}u_{10}=u_1+9d=48\\u_{18}=u_1+17d=88.\end{cases}\)

Giải hệ này ta được \(u_1=3\) và \(d=5\).

Vậy số hạng thức \(100\) của cấp số cộng này là \(u_{100}=u_1+99d=3+99\cdot 5=498\).

}

Ta có

\(u_n-u_{n-1}=-2n+3-(-2(n-1)+3)=-2, \text{ với mọi } n\ge 2.\)

Do đó, \((u_n)\) là cấp số cộng có số hạng đầu là \(u_1=-2\cdot 1+3=1\) và công sai \(d=-2\).

}

Ta có

\(u_n-u_{n-1}=5n-1-\left(5(n-1)-1\right)=5,\)

với mọi \(n\ge 2\). Do đó, \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng có số hạng đầu là \(u_1=5-1=4\) và công sai \(d=5\).

}

a) Ta có

\(\begin{cases}u_1=\displaystyle\frac{1}{3}\\ u_1+u_2+u_3=-1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}u_1=\displaystyle\frac{1}{3}\\ u_1+(u_1+d)+(u_1+2d)=-1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}u_1=\displaystyle\frac{1}{3}\\ 3u_1+3d=-1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}u_1=\displaystyle\frac{1}{3}\\ d=-\displaystyle\frac{2}{3}.\end{cases}\)

Vậy công sai \(d=-\displaystyle\frac{2}{3}\) và công thức của số hạng tổng quát là

\(u_n=u_1+(n-1)d=1-\displaystyle\frac{2n}{3}\).

b) Ta có \(-67=1-\displaystyle\frac{2n}{3} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{2n}{3}=68 \Leftrightarrow n=102\).

Vậy \(-67\) là số hạng thứ \(102\) của cấp số cộng trên.

c) Xét \(7=1-\displaystyle\frac{2n}{3} \Leftrightarrow 18=-2n \Leftrightarrow n = -9\).

Do \(-9\ \notin \mathbb{N}\) nên \(7\) không là số hạng nào của cấp số cộng trên.

}

a) Với \(u_n=3-2 n\) ta có \(u_{n+1}=3-2(n+1)\), khi đó \(u_{n+1}-u_n=3-2(n+1)-(3-2n)=-2, \forall n \in \mathbb{N}\).

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng, có số hạng đầu \(u_1=1\) và công sai \(d=-2\).

b) Với \(u_n=\displaystyle\frac{3 n+7}{5}\) ta có \(u_{n+1}=\displaystyle\frac{3(n+1)+7}{5}=\displaystyle\frac{3n+10}{5}\).

Khi đó \(u_{n+1}-u_n=\displaystyle\frac{3n+10}{5}-\displaystyle\frac{3n+7}{5}=\displaystyle\frac{3}{5}, \forall n \in \mathbb{N}\).

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng, có số hạng đầu \(u_1=2\) và công sai \(d=\displaystyle\frac{3}{5}\).

c) Với \(u_n=3^n\), ta có \(u_1=3; u_2=9; u_3=27\), khi đó \(u_3-u_2 \ne u_2-u_1\).

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) không là cấp số cộng.

}

a) \(\begin{cases} u_3-u_1=20\\ u_2+u_5=54\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} \left(u_1+2d\right)-u_1=20\\ \left(u_1+d\right)+\left(u_1+4d\right)=54\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 2d=20\\ 2u_1+5d=54.\end{cases}\)

Giải hệ phương trình này ta được \(u_1=2\) và \(d=10\).

b) \(\begin{cases} u_2+u_3=0\\ u_2+u_5=80\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} \left(u_1+d\right)+\left(u_1+2d\right)=0\\ \left(u_1+d\right)+\left(u_1+4d\right)=80\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 2u_1+3d=0\\ 2u_1+5d=80.\end{cases}\)

Giải hệ phương trình này ta được \(u_1=-60\) và \(d=40\).

c) \(\begin{cases} u_5-u_2=3\\ u_8\cdot u_3=24\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} \left(u_1+4d\right)-\left(u_1+d\right)=3\\ \left(u_1+7d\right)\left(u_1+2d\right)=24\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 3d=3 \quad (1)\\ \left(u_1+7d\right)\left(u_1+2d\right)=24.\quad (2)\end{cases}\)

Từ \(3d=3\), suy ra \(d=1\). Thay \(d=1\) vào \((2)\) ta được

\(\left(u_1+7\cdot 1\right)\left(u_1+2\cdot 1\right)=24\Leftrightarrow u^2_1+9u_1-10=0.\)

Giải phương trình này ta được \(u_1=1\), \(u_1=-10\).

Vậy \(\begin{cases} u_1=1\\ d=1\end{cases}\) và \(\begin{cases} u_1=-10\\ d=1.\end{cases}\)

}

a) Ta có:

\(\begin{cases}5u_1+10u_5 =0\\ S_4=14\end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases}5u_1+10u_1+40d=0\\ 4u_1+6d =14\end{cases}\\ \Leftrightarrow \begin{cases}15u_1+40d =0\\ 4u_1+6d=14\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}u_1=8\\ d=-3.\end{cases}\)

Vậy \(u_1=8\); \(d=-3\).

b) Ta có:

\begin{align*}\begin{cases}2u_1+20d=60\\(u_1+3d)^2+(u_1+11d)^2=1170\end{cases} & \Leftrightarrow \begin{cases}u_1=30-10d\\(30-7d)^2+(30+7d)^2=1170\end{cases}\\ &\Leftrightarrow\begin{cases}u_1=30-7d\\5d^2-36d+63=0\end{cases}\\ & \Leftrightarrow \begin{cases}u_1=0\\d=3\end{cases} \text{hoặc} \begin{cases}u_1=36\\d=-\displaystyle\frac{3}{5}.\end{cases}\end{align*}

}

Giả sử \(u_1\), \(d\) lần lượt là số hạng đầu tiên, công sai của cấp số cộng thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó, theo giả thiết, ta có

\(\begin{cases}u_{5}=u_1+4d=18\\u_{12}=u_1+11d=32.\end{cases}\)

Giải hệ này ta được \(u_1=10\) và \(d=2\).

Vậy số hạng thức \(50\) của cấp số cộng này là \(u_{50}=u_1+49d=10+49\cdot 2=108\).

}

Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng, ta có \(d=b-a=c-b\). Do đó \(b=\displaystyle\frac{a+c}{2}\).

}

Giả sử tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có số đo ba góc \( \ 90^\circ; \ B; \ C\) lập thành cấp số cộng. Khi đó

\(\begin{cases}90^\circ+ B+C=180^\circ\\ \displaystyle\frac{90^\circ+C}{2}=B\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}B+C=90^\circ\\2B-C=90^\circ\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}B=60^\circ\\C=30^\circ.\end{cases}\)

Vậy số đo ba góc cần tìm là \(90^\circ; \ 60^\circ; \ 30^\circ\).

}

Cấp số cộng này có số hạng đầu là \(u_1=5\) và công sai là \(d=2\). Gọi \(n\) là số các số hạng đầu của cấp số cộng cần lấy tổng, ta có

\(2700=S_n=\displaystyle\frac{n}{2}\left(2u_1+(n-1)d\right)=\displaystyle\frac{n}{2}\left(2\cdot 5+(n-1)\cdot 2\right)=\displaystyle\frac{n}{2}\left(2n+8\right).\)

Do đó \(2n^2+8n-5400=0\). Giải phương trình bậc hai này ta được \(n=-54 \text{(loại)}\) và \(n=50\). Vậy phải lấy tổng của \(50\) số hạng đầu của cấp số cộng đã cho để được tổng bằng \(2700\).

}

Cấp số cộng này có số hạng đầu là \(u_1=2\) và công sai là \(d=3\). Gọi \(n\) là số các số hạng đầu của cấp số cộng cần lấy tổng, ta có

\(345=S_n=\displaystyle\frac{n}{2}\left(2u_1+(n-1)d\right)=\displaystyle\frac{n}{2}\left(2\cdot 2+(n-1)\cdot 3\right)=\displaystyle\frac{n}{2}\left(3n+1\right).\)

Do đó \(3n^2+n-390=0\). Giải phương trình bậc hai này ta được \(n=-\displaystyle\frac{230}{15}\text{(loại)}\) và \(n=15\). Vậy phải lấy tổng của \(15\) số hạng đầu của cấp số cộng đã cho để được tổng bằng \(345\).

}

Ta thấy dãy số \(1, 5, 9, \ldots , 97\) là cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1=1\), số hạng cuối \(u_n=97\), công sai \(d=4\). Vì thế, số các số hạng của cấp số cộng trên là

\(n=\displaystyle\frac{u_n-u_1}{d}+1=\displaystyle\frac{97-1}{4}+1=25.\)

Vậy \(S=\displaystyle\frac{(1+97) \cdot 25}{2}=1225\).

}

a) Tính tổng của \(50\) số tự nhiên chẵn đầu tiên.

Ta có thể sắp xếp \(50\) số tự nhiên chẵn đầu tiên thành cấp số cộng có \(u_1=2\), \(u_{50}=100\).

Suy ra \(S_{50}=\displaystyle\frac{50\left(2+100\right)}{2}=2550\).

b) Cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có \(u_3+u_{28}=100\). Tính tổng \(30\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

Ta có \(u_3+u_{28}=\left(u_1+2d\right)+\left(u_1+27d\right)=2u_1+29d=100\).

Suy ra \(S_{30}=\displaystyle\frac{30\left(2u_1+29d\right)}{2}=\displaystyle\frac{30\cdot 100}{2}=1500\).

c) Cho cấp số cộng \(\left(v_n\right)\) có \(S_6=18\) và \(S_{10}=110\). Tính \(S_{20}\).

Ta có \(S_6=\displaystyle\frac{6\left(2v_1+5d\right)}{2}=18\), suy ra \(2v_1+5d=6\).

Lại có \(S_{10}=\displaystyle\frac{10\left(2v_1+9d\right)}{2}=110\), suy ra \(2v_1+9d=22\).

Do đó ta có hệ phương trình

\(\begin{cases}2v_1+5d=6\\2v_1+9d=22.\end{cases}\)

Giải hệ phương trình này ta được \(v_1=-7\) và \(d=4\).

Do đó \(S_{20}=\displaystyle\frac{20\left(2v_1+19d\right)}{2}=\displaystyle\frac{20\left[2\cdot (-7)+19\cdot 4\right]}{2}=620\).

Vậy \(S_{20}=620\).

}

a) Tính tổng của \(100\) số nguyên dương đầu tiên.

Ta có thể sắp xếp \(100\) số nguyên dương đầu tiên thành cấp số cộng có \(u_1=1\), \(u_{100}=100\).

Suy ra \(S_{100}=\displaystyle\frac{100\left(1+100\right)}{2}=5050\).

b) Cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có \(u_4+u_6=20\). Tính tổng \(9\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

Ta có \(u_4+u_6=\left(u_1+3d\right)+\left(u_1+5d\right)=2u_1+8d=20\).

Suy ra \(S_9=\displaystyle\frac{9\left(2u_1+8d\right)}{2}=\displaystyle\frac{9\cdot 20}{2}=90\).

c) Cho cấp số cộng \(\left(v_n\right)\) có \(S_3=-3\) và \(S_5=-15\). Tính \(S_{50}\).

Ta có \(S_3=\displaystyle\frac{3\left(2v_1+2d\right)}{2}=-3\), suy ra \(v_1+d=-1\).

Lại có \(S_5=\displaystyle\frac{5\left(2v_1+4d\right)}{2}=-15\), suy ra \(v_1+2d=-3\).

Do đó ta có hệ phương trình

\(\begin{cases}v_1+d=-1\\ v_1+2d=-3.\end{cases}\)

Giải hệ phương trình này ta được \(v_1=1\) và \(d=-2\).

Do đó \(S_{50}=\displaystyle\frac{50\left(2v_1+49d\right)}{2}=\displaystyle\frac{50\left[2\cdot 1+49(-2)\right]}{2}=-2400\).

}

Dãy số có \(u_n=0{,}3n+5\) là cấp số cộng, khi đó \(u_1=5{,}3\) và \(u_{100}=35\).

Do đó tổng \(100\) số hạng đầu của dãy số \((u_n)\) là \(S_{100}=\displaystyle\frac{100 \cdot (u_1+u_{100})}{2}=50 \cdot (5{,}3+35)=2015\).

}

Ta thấy

+) Hàng \(1\) có \(1\) hình tròn.

+) Hàng \(2\) có \(2\) hình tròn.

+) Hàng \(3\) có \(3\) hình tròn.

+) Hàng \(4\) có \(4\) hình tròn.

Vậy ta dự đoán công thức tổng quát của dãy số \((u_n)\) là \(u_n = n\) với mọi \(n\in\mathbb{N}^*\).

}

a) Mỗi bậc thang cao \(16\) cm = \(0{,}16\) m \(\Rightarrow n\) bậc thang cao \(0{,}16\cdot n\) (m).

Vì mặt bằng sàn cao hơn mặt sân \(0{,}5\) m nên công thức tính độ cao của bậc \(n\) so với mặt sân sẽ là \(h_n = (0{,} 5 + 0{,}16n)\) (m).

b) Độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân ứng với \(n = 25\) là \(h_{25} = 0{,}5 + 0{,}16.25 = 4,5\) (m)

}

a) Kí hợp đồng lao động \(3\) năm.

Phương án 1: Ta có \(u_1=120\) và \(d=18\).

Khi đó trong \(3\) năm sẽ nhận được \(\displaystyle\frac{3\cdot(2\cdot 120+2\cdot 18)}{2}=414\) (triệu đồng).

Phương án 2: Ta có \(u_1=24\) triệu và \(d=1{,}8\).

Khi đó trong \(3\) năm (tương ứng \(12\) quý) sẽ nhận được \(\displaystyle\frac{12\cdot(2 \cdot 24+ 11\cdot 1{,}8)}{2}=406{,}8\) (triệu đồng).

Vậy lựa chọn phương án \(1\).

b) Kí hợp đồng lao động \(10\) năm.

Phương án 1: Ta có \(u_1=120\) và \(d=18\).

Khi đó trong \(10\) năm sẽ nhận được \(\displaystyle\frac{10\cdot(2\cdot 120+9\cdot 18)}{2}=2~010\) (triệu đồng).

Phương án 2: Ta có \(u_1=24\) triệu và \(d=1{,}8\).

Khi đó trong \(10\) năm (tương ứng \(40\) quý) sẽ nhận được \(\displaystyle\frac{40\cdot(2 \cdot 24+ 39\cdot 1{,}8)}{2}=2~364\) (triệu đồng).

Vậy lựa chọn phương án \(2\).

}

a) Ta có \(x_3=75+5\cdot(3-1)=85\), do đó một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm \(3\) tuổi là \(85\) centimét.

b) Ta có \(x_n=75+5(n-1)\) nên \(x_{n+1}=75+5(n+1-1)=75+5n\),\\ do đó \(u_{n+1}-u_n=5\) nên dãy số \((x_n)\) có là một cấp số cộng.

Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên \(5\) centimét.

}

Lúc \(1\) giờ đồng hồ đánh \(1\) tiếng chuông.

Lúc \(2\) giờ đồng hồ đánh \(2\) tiếng chuông.

......

Lúc \(12\) giờ trưa đồng hồ đánh \(12\) tiếng chuông.

Do đó, từ \(0\) giờ đến \(12\) giờ trưa, đồng hồ đánh số tiếng chuông là

\(1+ 2+ 3+ \cdots + 11+ 12\).

Đây là tổng \(12\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1= 1\), công sai \(d = 1\).

Vậy tổng số tiếng chuông đồng hồ trong khoảng thời gian từ \(0\) đến \(12\) giờ trưa là \(\displaystyle\frac{12\cdot (1+12)}{2}=78\).

}

Ta thấy dân số của thành phố này qua các năm lập thành cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1=1200000\) và \(d=30000\).

Vào năm 2030 dân số thành phố này tương ứng với năm thứ 11 kể từ năm 2020.

Do đó \(u_{11}=1200000+10\cdot 30000=1500000\).

Vậy dân số thành phố này vào năm 2030 là 1,5 triệu người.

}

Số ghế ở mỗi hàng của nhà hát lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1=15\) và công sai \(d=3\). Gọi \(n\) là số hàng ghế trong hội trường. Tổng các số hạng này là

\(S_{n}=\displaystyle\frac{n}{2}\left[2u_1+(n-1)d\right]=\displaystyle\frac{n}{2}\left[2\cdot 15+(n-1)\cdot 3\right]=\displaystyle\frac{n}{2}(3n+27)\ge 870.\)

Do đó \(3n^2+27n-1740\ge0\).

Giải bất phương trình bậc hai này ta được \(n\le-29 \text{\ (loại)}\) và \(n\ge 20\).

Vậy phải thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế.

}

Sau mỗi năm giá của chiếc ô tô giảm \(55\) triệu đồng, do đó ta có thể xem giá của chiếc ô tô đó là một cấp số cộng với \(u_1=680\) và công sai \(d=-55\).

Vậy giá của chiếc ô tô sau \(5\) năm sử dụng là \( u_5=680+4\cdot (-55)=460\) triệu đồng.

}

Số tiền lương của anh Nam qua các năm lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1=100\) và công sai \(d=20\).

Khi đó \(u_{10}=u_1+9d=100+9\cdot 20=280\).

Vậy sau 10 năm làm việc cho công ty số tiền lương mà anh Nam sẽ nhận là \(280\) triệu đồng.

}

Số ô trên mỗi vòng ong thợ tạo ra

Vòng \(1\) có \(6\) ô.

Vòng \(2\) có \(12\) ô.

Vòng \(3\) có \(18\) ô.

\(\ldots\)

Số ô trên các vòng \(1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\) theo thứ tự có tạo thành cấp số cộng có công sai \(d=6\).

}

a) Tính số ghế có ở hàng cuối cùng.

Số ghế của hàng thứ nhất, thứ hai, thứ ba, .... được xếp thành cấp số cộng

\(17;\ 20; \ 23; \ \ldots \) có \(u_1=17\) và công sai \(d=3\).

Số ghế có ở hàng thứ \(20\) là

\(u_{20}=u_1+19d=17+19\cdot 3=74\ \text{(ghế)}.\)

b) Tính tổng số ghế có ở trong rạp.

Tổng số ghế có ở trong rạp là tổng số ghế của \(20\) hàng

\(S_{20}=\displaystyle\frac{20\left(u_1+u_{20}\right)}{2}=\displaystyle\frac{20\left(17+74\right)}{2}=910 \ \text{(ghế)}.\)

}

Tính trạng chiều cao cây do hai gene không alen là \(A\) và \(B\) cùng quy định theo kiểu tương tác cộng gộp.

Khi thêm mỗi alen trội \(A\) hay \(B\) thì chiều cao cây tăng thêm \(5\) cm.

Khi trưởng thành, cây thấp nhất của loài này với kiểu gene \(aabb\) có chiều cao \(100\) cm.

Cây cao nhất với kiểu gene \(AABB\) có chiều cao là \(100+5+5+5+5=120\) (cm).

}

a) Tính công sai của cấp số cộng trên.

Ta có \(48-16=80-48=112-80=144-112=\cdots =32\).

Do đó cấp số cộng trên có công sai \(d=32\).

b) Tính tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong \(10\) giây đầu tiên.

Tổng quãng đường người đó rơi tự do trong \(10\) giây đầu tiên là tổng của \(10\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng: \(16\); \(48\); \(80\); \(112\); \(144\); \(\ldots\).

\(S=\displaystyle\frac{10(2u_1+9d)}{2}=\displaystyle\frac{10(2\cdot 16+9\cdot 32)}{2}=1600\ \text{(feet)}.\)

}

a) Cái thang đó có bao nhiêu bậc?

Số bậc của cái thang bằng số thanh ngang có chiều dài lần lượt là \(45\) cm, \(43\) cm, \(41\) cm, \(\ldots\), \(31\) cm (gồm có \(8\) thanh ngang).

Vậy cái thang có \(8\) bậc.

b) Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều dài các mối nối (phần gỗ bị cắt thành mùn cưa) là không đáng kể.

Chiều dài của thang gỗ cần mua bằng tổng chiều dài của các thanh ngang

\(45+43+41+39+37+35+33+31=\displaystyle\frac{8\left(45+31\right)}{2}=304 ~\text{(cm)}.\)

}

Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1=20\), công sai \(d=1\). Cấp số cộng này có \(20\) số hạng. Do đó, tổng số ghế trong nhà thi đấu là \(S_{20}=\displaystyle\frac{[2 \cdot 20+(20-1) \cdot 1] \cdot 20}{2}=590.\)

Vì số vé bán ra bằng số ghế dành cho khán giả của nhà thi đấu nên số vé bán ra là \(590\).

Vậy giá tiền của một vé là \(\displaystyle\frac{70~800~000}{590} = 120~000\) (đồng).

}