Câu 1:
Tính đạo hàm của các hàm số sau
\(\bullet\,\) \(y=2x^3-\displaystyle\frac{x^2}{2}+4x-\displaystyle\frac{1}{3}\);
\(\bullet\,\) \(y=\displaystyle\frac{-2x+3}{x-4}\);
\(\bullet\,\) \(y=\displaystyle\frac{x^2-2x+3}{x-1}\);
\(\bullet\,\) \(y=\sqrt{5x}\).
\(\bullet\,\) \(y=2x^3-\displaystyle\frac{x^2}{2}+4x-\displaystyle\frac{1}{3}\).
\begin{eqnarray*}y'&=&\left(2x^3-\displaystyle\frac{x^2}{2}+4x-\displaystyle\frac{1}{3}\right)' &=&2\left(x^3\right)'-\displaystyle\frac{1}{2} \left(x^2\right)'+4(x)'-0 &=&2\cdot 3x^2-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2x+4\cdot 1-0&=&6x^2-x+4.\end{eqnarray*}
\(\bullet\,\) \(y=\displaystyle\frac{-2x+3}{x-4}\).
\begin{eqnarray*}y'&=&\left(\displaystyle\frac{-2x+3}{x-4}\right)' &=&\displaystyle\frac{(-2x+3)'(x-4)-(-2x+3)(x-4)'}{(x-4)^2}=\displaystyle\frac{-2(x-4)-(-2x+3)1}{(x-4)^2} &=&\displaystyle\frac{5}{(x-4)^2}.\end{eqnarray*}
\(\bullet\,\) \(y=\displaystyle\frac{x^2-2x+3}{x-1}\).
\begin{eqnarray*}y'&=&\left(\displaystyle\frac{x^2-2x+3}{x-1}\right)' &=&\displaystyle\frac{\left(x^2-2x+3\right)'(x-1)-\left(x^2-2x+3\right)(x-1)'}{(x-1)^2} &=&\displaystyle\frac{(2x-2)(x-1)-\left(x^2-2x+3\right)1}{(x-1)^2} &=&\displaystyle\frac{\left(2x^2-4x+2\right)-(x^2-2x+3)}{(x-1)^2} &=&\displaystyle\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}.\end{eqnarray*}
\(\bullet\,\) \(y=\sqrt{5x}\).
\(y'=\left(\sqrt{5x}\right)'=\displaystyle\frac{(5x)'}{2\sqrt{5x}}\) \(=\displaystyle\frac{5}{2\sqrt{5x}}=\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{x}}\).
}
Câu 2:
Tính đạo hàm của các hàm số sau
\(\bullet\,\) \(y=\sin 3x\);
\(\bullet\,\) \(y=\cos^32x\);
\(\bullet\,\) \(y=\tan^2x\);
\(\bullet\,\) \(y=\cot(4-x^2)\).
\(\bullet\,\) \(y=\sin 3x\).
\(y'=\left(\sin 3x\right)'=\left(3x\right)'\cdot \cos 3x=3\cos 3x\).
\(\bullet\,\) \(y=\cos^32x\).
\(y'=\left[\left(\cos 2x\right)^3\right]^\prime\) \(=3\left(\cos 2x\right)^2\cdot \left(\cos 2x\right)'=3\cos^2 2x \cdot (2x)'\cdot\left(-\sin 2x\right)\) \(=-6\cos^2 2x\cdot \sin 2x\).
\(\bullet\,\) \(y=\tan^2x\).
\(y'=\left[\left(\tan x\right)^2\right]'\) \(=2\tan x\cdot \left(\tan x\right)'\) \(=2\tan x\cdot\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}=\displaystyle\frac{2\tan x}{\cos^2x}\).
\(\bullet\,\) \(y=\cot(4-x^2)\).
\(y'=\left[\cot (4-x^2)\right]'\) \(=-\displaystyle\frac{\left(4-x^2\right)'}{\sin^2(4-x^2)}=\displaystyle\frac{2x}{\sin^2(4-x^2)}\).
}
Câu 3:
Tính đạo hàm của các hàm số sau
\(\bullet\,\) \(y=\left(x^2-x\right)\cdot 2^x\);
\(\bullet\,\) \(y=x^2\cdot \log_3 x\);
\(\bullet\,\) \(y=\mathrm{e}^{3x+1}\).
\(\bullet\,\) \(y=\left(x^2-x\right)\cdot 2^x\).
\begin{eqnarray*}y'&=&\left[\left(x^2-x\right)\cdot 2^x\right]'\\ &=&\left(x^2-x\right)'\cdot 2^x+\left(x^2-x\right)\cdot\left( 2^x\right)'\\ &=&(2x-1)\cdot 2^x+\left(x^2-x\right)\cdot 2^x\cdot \ln 2\\ &=&2^x\left[(2x-1)+(x^2-x)\ln 2\right].\end{eqnarray*}
\(\bullet\,\) \(y=x^2\cdot \log_3 x\).
\begin{eqnarray*}y'&=&\left[x^2\cdot \log_3 x\right]'\\ &=&\left(x^2\right)'\cdot \log_3x+x^2\cdot \left(\log_3 x\right)'\\ &=&2x\cdot \log_3x+x^2\cdot \displaystyle\frac{1}{x\cdot \ln 3}\\ &=&2x\cdot \log_3x+\displaystyle\frac{x}{\ln 3}\\ &=&x \left(2\log_3x+\displaystyle\frac{1}{\ln 3}\right).\end{eqnarray*}
\(\bullet\,\) \(y=\mathrm{e}^{3x+1}\).
\(y'=\left(\mathrm{e}^{3x+1}\right)'\) \(=(3x+1)'\cdot \mathrm{e}^{3x+1}\) \(=3\cdot \mathrm{e}^{3x+1}\).
}
Câu 4:
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau
\(\bullet\,\) \(y=2x^4-5x^2+3\);
\(\bullet\,\) \(y=x\cdot \mathrm{e}^x\).
\(\bullet\,\) \(y=2x^4-5x^2+3\).
Ta có \(y'=\left(2x^4-5x^2+3\right)'=8x^3-10x\); \(y^{\prime\prime}=\left(8x^3-10x\right)'=24x^2-10\).
\(\bullet\,\) \(y=x\cdot \mathrm{e}^x\).
Ta có \(y'=\left(x\cdot \mathrm{e}^x\right)'\) \(=x'\cdot \mathrm{e}^x+x \cdot \left(\mathrm{e}^x\right)'\) \(=1\cdot \mathrm{e}^x+x\cdot \mathrm{e}^x\) \(=(1+x)\cdot \mathrm{e}^x\).
\(y^{\prime\prime}=\left[(1+x)\cdot \mathrm{e}^x\right]'\) \(=(1+x)'\cdot \mathrm{e}^x+(1+x)\cdot \left(\mathrm{e}^x\right)'\) \(=\mathrm{e}^x+(1+x)\mathrm{e}^x=(2+x)\mathrm{e}^x\).
}
Câu 5:
Cân nặng trung bình của một bé gái trong độ tuổi từ \(0\) đến \(36\) tháng có thể được tính gần đúng bởi hàm số \(w(t)=0,000758t^3-0,0596t^2+1,82t+8,15\), trong đó \(t\) được tính bằng tháng và \(w\) được tính bằng pound. Tính tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm \( 10\) tháng tuổi.
baitapsgk11/t11ch7b2sgkh1.png
Ta có \(w'(t)=0,000758\cdot 3t^2-0,0596\cdot 2t+1,82\).
Tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm \( 10\) tháng tuổi là \(w'(10)=0,8554\) pound/tháng.
}
Câu 6:
Một công ty xác định rằng tổng chi phí của họ, tính theo nghìn đô-la, để sản xuất \(x\) mặt hàng là \(C(x)=\sqrt{5x^2+60}\) và công ty lên kế hoạch nâng sản lượng trong \(t\) tháng kể từ nay theo hàm số \(x(t)=20t+40\). Chi phí sẽ tăng thế nào sau \(4\) tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó?
Ta có \(C'(x)=\displaystyle\frac{(5x^2+60)'}{2\sqrt{2x^2=60}}=\displaystyle\frac{5x}{\sqrt{5x^2+50}}\).
Công ty thực hiện kế hoạch nâng sản lượng sau \(4\) tháng có sản lượng là \(x(4)=20\cdot 4+40=120\).
Chi phí sẽ tăng sau \(4\) tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch là \(C'(120)\simeq 2,235\).
}
Câu 7:
Trên Mặt Trăng, quãng đường rơi tự đo của một vật được cho bởi công thức \(s(t)=0,81t^2\), trong đó \(t\) là thời gian được tính bằng giây và \(s\) tính bằng mét. Một vật thả rơi từ độ cao \(200~m\) phía trên Mặt Trăng. Tại thời điểm \(t=2\) sau khi thả vật đó, tính:
\(\bullet\,\) Quãng đường vật đã rơi;
\(\bullet\,\) Gia tốc của vật.
Ta có \(s'(t)=1,62t\), \(s''(t)=1,62\).
\(\bullet\,\) Quãng đường vật đã rơi tại thời điểm \(t=2\) sau khi thả vật rơi từ độ cao \(200\) m phía trên Mặt Trăng là \(s(2)=0,81\cdot 2^2=3,24\) m.
\(\bullet\,\) Gia tốc của vật thời điểm \(t=2\) là \(s''(2)=1,62\) m/s\(^2\).
}