Câu 1:
Một hộp chứa \(5\) quả bóng xanh, \(6\) quả bóng đỏ và \(2\) quả bóng vàng có cùng kích tước và khối lượng. Chọn ra ngẫu nhiên từ hộp \(3\) quả bóng. Tính xác suất của các biến cố:
\(\bullet\,\) Cả \(3\) quả bóng lấy ra đều có cùng màu;
\(\bullet\,\) Có ít nhất \(2\) quả bóng màu xanh trong \(3\) quả bóng lấy ra.
Xét phép thử Chọn ra ngẫu nhiên \(3\) quả bóng từ một hộp chứa \(13\) quả bóng.
Ta có số phần tử của không gian mẫu là \(n\left(\Omega\right)=\mathrm{C}_{13}^3=286\).
\(\bullet\,\) Gọi \(A\) là biến cố: Cả \(3\) quả bóng lấy ra đều có cùng màu \( \Rightarrow\) có \(2\) khả năng:
\(+)\,\) \(3\) quả bóng lấy ra đều có màu xanh: \(\mathrm{C}_5^3\) (cách).
\(+)\,\) \(3\) quả bóng lấy ra đều có màu đỏ: \(\mathrm{C}_6^3\) (cách).
\(\Rightarrow n\left(A\right)=\mathrm{C}_5^3+\mathrm{C}_6^3=30\).
Vậy \(\mathrm{P}\left(A\right)=\displaystyle\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}=\displaystyle\frac{30}{286}=\displaystyle\frac{15}{143}\).
\(\bullet\,\) Gọi \(B\) là biến cố: Có ít nhất \(2\) quả bóng màu xanh trong \(3\) quả bóng lấy ra \(\Rightarrow\) có \(2\) khả năng:
\(+)\,\) Lấy được \(3\) quả bóng màu xanh: \(\mathrm{C}_5^3\) (cách).
\(+)\,\) Lấy được \(2\) quả bóng màu xanh và \(1\) quả bóng màu đỏ hoặc vàng: \(\mathrm{C}_5^2\cdot \mathrm{C}_8^1\) (cách).
\(\Rightarrow n\left(B\right)=\mathrm{C}_5^3+\mathrm{C}_5^2\cdot \mathrm{C}_8^1=90\).
Vậy \(\mathrm{P}\left(B\right)=\displaystyle\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega\right)}=\displaystyle\frac{90}{286}=\displaystyle\frac{45}{143}\).
}
Câu 2:
Trên đường đi từ Hà Nội về thăm Đền Hùng ở Phú Thọ, Bình, Minh và \(5\) bạn khác ngồi vào \(7\) trên chiếc ghế trên một xe ôtô \(7\) chỗ. Khi xe quay lại Hà Nội, mỗi bạn lại chọn ngồi ngẫu nhiên một ghế. Tính xác suất của biến cố: Có ít nhất một trong hai bạn Bình và Minh vẫn ngồi đúng ghế cũ của mình.
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left(\Omega\right)=7!\cdot 7!\).
Gọi \(A\) là biến cố \({''}\)Có ít nhất một trong hai bạn Bình và Minh vẫn ngồi đúng ghế cũ của mình\({''}\)
\(\bullet\,\) Cả \(2\) bạn Bình và Minh vẫn ngồi đúng ghế cũ có \(7!\cdot 5!\) (cách).
\(\bullet\,\) Chỉ có \(1\) bạn Bình hoặc Minh vẫn ngồi đúng ghế cũ có \(2\cdot 6!\cdot 7!\) (cách).
\(\Rightarrow n\left(A\right)=7!\cdot 5!+2\cdot 6!\cdot 7!\).
Vậy \(\mathrm{P}\left(A\right)=\displaystyle\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}=\displaystyle\frac{13}{42}\).
}
Câu 3:
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập với nhau.
\(\bullet\,\) Biết \(\mathrm{P}(A)=0{,}3\) và \(\mathrm{P}(B)=0{,}2\). Tính xác suất của biến cố \(A\cup B\);
\(\bullet\,\) Biết \(\mathrm{P}(B)=0{,}5\) và \(\mathrm{P}(A\cup B)=0{,}7\). Tính xác suất của biến cố \(A\).
Vì hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập với nhau nên \(\begin{cases}\mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cdot B)\\ \mathrm{P}(A\cdot B)=\mathrm{P}(A)\cdot \mathrm{P}(B)\end{cases}\).
Khi đó
\(\bullet\,\) \(\mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A)\cdot \mathrm{P}(B)\) \(=0{,}3+0{,}2-0{,}3\cdot 0{,}2=0{,}44\).
\(\bullet\,\) \(\mathrm{P}(A)= \displaystyle\frac{\mathrm{P}(A\cup B)-\mathrm{P}(B)}{1-\mathrm{P}(B)}\) \(=\displaystyle\frac{0{,}7-0{,}5}{1-0{,}5}=0{,}4\).
}
Câu 4:
Lan gieo một đồng xu không cân đối \(3\) độc lập với nhau. Biết xác suất xuất hiện mặt sắp trong mỗi lần gieo đều bằng \(0{,}4\). Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của biến cố \({''}\)Có đúng \(1\) lần gieo được mặt sấp trong \(3\) lần gieo\({''}\).
Vì xác suất xuất hiện mặt sắp trong mỗi lần gieo đều bằng \(0{,}4\) nên xác suất xuất hiện mặt ngửa trong mỗi lần gieo đều bằng \(0{,}6\).
Do đó xác suất của biến cố \({''}\)Có đúng \(1\) lần gieo được mặt sấp trong \(3\) lần gieo\({''}\) là \(0{,}4\cdot 0{,}6^2\cdot\mathrm{C}_5^1=0{,}72\).
}
Câu 5:
Một hộp chứa \(50\) tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ \(1\) đến \(50\). Lấy ngẫu nhiên đồng thời \(2\) thẻ từ hộp. Tính xác suất của các biến cố:
\(\bullet\,\) \(A:{''}\)Tổng các số ghi trên \(2\) thẻ lấy ra là số chẳn\({''}\);
\(\bullet\,\) \(B:{''}\)Tích các số ghi trên \(2\) thẻ lấy rachia hết cho \(4{''}\).
Xét phép thử \({''}\)Lấy ngẫu nhiên đồng thời \(2\) thẻ từ hộp chứa \(50\) tấm thẻ\({''}\).
Ta có số phần tử của không gian mẫu là \(n\left(\Omega\right)=\mathrm{C}_{50}^2=1225\).
\(\bullet\,\) Xét biến cố \(A:{''}\)Tổng các số ghi trên \(2\) thẻ lấy ra là số chẳn\({''}\)
Từ số \(1\) đến số \(50\) có \(25\) số chẳn và \(25\) số lể.
Do đó để tổng các số ghi trên \(2\) thẻ lấy ra là số chẳn, ta xét hai trường hợp:
\(\bullet\,\) Trường hợp 1: lấy được \(2\) thẻ mang số chẳn có \(\mathrm{C}_{25}^2=300\) (cách).
\(\bullet\,\) Trường hợp 2: lấy được \(2\) thẻ mang số lẻ có \(\mathrm{C}_{25}^2=300\) (cách).
Do đó số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left(A\right)=600\).
Vậy \(\mathrm{P}\left(A\right)=\displaystyle\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}=\displaystyle\frac{24}{49}\).
\(\bullet\,\) Xét biến cố \(B:{''}\)Tích các số ghi trên \(2\) thẻ lấy ra chia hết cho \(4{''}\).
Chia \(50\) thẻ thành \(3\) nhóm:
\(\bullet\,\) Nhóm 1: gồm \(25\) thẻ mang số lẻ.
\(\bullet\,\) Nhóm 2: gồm \(12\) thẻ mang số chia hết cho \(4\).
\(\bullet\,\) Nhóm 3: gồm \(13\) thẻ mang số chia hết cho \(2\).
\noindent Do đó để tích các số ghi trên \(2\) thẻ lấy ra chia hết cho \(4\) ta lấy như sau:
\(\bullet\,\) Lấy \(2\) thẻ thuộc nhóm \(2\) có \(\mathrm{C}_{12}^2=66\) (cách).
\(\bullet\,\) Lấy \(1\) thẻ thuộc nhóm \(2\) và \(1\) thẻ thuộc nhóm \(1\) có \(\mathrm{C}_{12}^1\cdot \mathrm{C}_{25}^1=300\) (cách).
\(\bullet\,\) Lấy \(1\) thẻ thuộc nhóm \(2\) và \(1\) thẻ thuộc nhóm \(3\) có \(\mathrm{C}_{12}^1\cdot \mathrm{C}_{13}^1=156\) (cách).
\(\bullet\,\) Lấy \(2\) thẻ thuộc nhóm \(3\) có \(\mathrm{C}_{13}^2=78\) (cách).
Do đó số phần tử của biến cố \(B\) là \(n\left(B\right)=600\).
Vậy \(\mathrm{P}\left(A\right)=\displaystyle\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}=\displaystyle\frac{24}{49}\).
}