1. Tính đơn điệu của hàm số
+) Trên khoảng \((a;b)\), nếu đồ thị đi lên từ trái sang phải thì hàm số \(y=f(x)\) đồng biến trên khoảng \((a;b)\).
+) Trên khoảng \((a;b)\), nếu đồ thị đi xuống từ trái sang phải thì hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên khoảng \((a;b)\).
+) Nếu \(f'(x)>0,\ \forall x\in K\) thì \(f(x)\) đồng biến trên \(K\);
+) Nếu \(f'(x)<0,\ \forall x\in K\) thì \(f(x)\) nghịch biến trên \(K\).
+) Nếu hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên \(K\), \(f'(x) \geq 0\) với mọi \(x \in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên \(K\).
+) Nếu hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên \(K\), \(f'(x) \leq 0\) với mọi \(x \in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên \(K\).
2. Cực trị của hàm số
+) Nếu \(x_i\) thuộc khoảng xác định \((a;b)\) và \(f'(x)\) đổi dấu khi đi qua \(x_i\) thì \(x_i\) là điểm cực trị của hàm số \(y=f(x)\) (với \(i=1, 2, \ldots\)).
+) Nếu \(f'(x_i)=0\) nhưng \(f'(x)\) không đổi dấu khi qua điểm \(x_i\) thì hàm số không có cực trị tại điểm \(x_i\) (với \(i=1, 2, \ldots\)).
+) Nếu \(f'(x)\) không đổi dấu trên khoảng \((a;b)\) thì \(f(x)\) không có cực trị trên khoảng đó.
Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn
Câu 1:
Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị như sau:
Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?
Đáp án:
- Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((-\infty;0)\)
- Hàm số đã cho đồng biến trên đoạn \([1;2]\)
- Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((2;3)\)
Lời giải:
Câu 2:
Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị như sau:
Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?
Đáp án:
- Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm \(x=-3\), \(y_{_\text{CT}}=2\)
- \(y=-1\) là giá trị cực tiểu của hàm số đã cho
Lời giải:
Câu 3:
Cho hàm số \(f(x)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\), có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?
Đáp án:
- Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((0;2)\)
- Hàm số đã cho đạt cực đại tại hai điểm \(x=-1\) và \(x=5\)
Lời giải:
Câu 4:
Cho hàm số \(f(x)\) xác định và liên tục trên từng khoảng của tập \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\), có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?
Đáp án:
- Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((2;+\infty)\)
- Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm \(x=-1\)
- Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\)
Lời giải:
Câu 5:
Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị của hàm số \(f'(x)\) như sau:
Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?
Đáp án:
- Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((-1;1)\)
- Hàm số \(f(x)\) đạt cực tiểu tại điểm \(x=3\)
Lời giải:
Câu 6:
Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị như sau:
Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?
Đáp án:
- Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((-1;0)\)
- Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((3;+\infty)\)
Lời giải:
Câu 7:
Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị như sau:
Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?
Đáp án:
- Hàm số đã cho có đúng \(4\) điểm cực trị}
- Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm \(x=-2\)
Lời giải:
Câu 8:
Cho hàm số \(f(x)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\), có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.
Đáp án:
- Hàm số đã cho có đúng \(4\) điểm cực trị
- Hàm số đã cho có \(2\) điểm cực đại và \(2\) điểm cực tiểu
- \(x=2\) là điểm cực đại của hàm số đã cho
Lời giải:
Câu 9:
Cho hàm số \(f(x)\) xác định và liên tục trên từng khoảng của tập \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\), có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.
Đáp án:
- Hàm số đã cho nghịch biến trên \((-5;1)\) và \((3;6)\)
- Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((1;2)\)
Lời giải:
Câu 10:
Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị như sau:
Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?
Đáp án:
- Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-2)\) và \((4;+\infty)\)
- \(y=2\) là giá trị cực đại của hàm số đã cho
Lời giải:
Câu 11:
Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị của hàm số \(f'(x)\) như sau:
Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?
Đáp án:
- Hàm số đã cho có đúng \(3\) điểm cực trị
Lời giải:
Câu 12:
Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị của hàm số \(f'(x)\) như sau:
Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?
Đáp án:
- Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-1)\)
- Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((1;2)\)
- Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm \(x=2\)
Lời giải:
Câu 13:
Cho hàm số \(f(x)\) có bảng biến thiên của hàm số \(f'(x)\) trên \(\mathbb{R}\) như sau:
Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.
Đáp án:
- Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((2;4)\)
- Hàm số \(f(x)\) có đúng \(3\) điểm cực trị
Lời giải:
Câu 14:
Cho hàm số \(f(x)\) có \(f'(x)=x^2(x-1)(x-2)\), \(\forall x\in\mathbb{R}\). Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.
Đáp án:
- Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((-\infty;1)\)
- Hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên \((1;2)\)
Lời giải:
Câu 15:
Cho hàm số \(f(x)\) có \(f'(x)=(x+2)(x+1)^2(x-1)^3(3-x)^4\), \(\forall x\in\mathbb{R}\). Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.
Đáp án:
- Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((-2;1)\)
- Hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên \((1;+\infty)\)
Lời giải:
Câu 16:
Cho hàm số \(f(x)\) có \(f'(x)=(x+2)(x-1)^2(4-x)^3\), \(\forall x\in\mathbb{R}\). Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.
Đáp án:
- Hàm số \(f(x)\) có đúng \(2\) điểm cực trị
- Hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên \((-\infty;-2)\)
Lời giải:
Câu 17:
Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị như hình bên dưới.
Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.
Đáp án:
- Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((1;3)\)
- Hàm số đã cho có đúng \(3\) điểm cực trị
Lời giải:
Câu 18:
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình bên dưới.
Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.
Đáp án:
- Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \((-3;-1)\) và \((2;4)\)
- Hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x=-1\) và \(x=4\)
- \(x=2\) là điểm cực tiểu của hàm số đã cho
Lời giải:
Câu 19:
Cho hàm số \(f(x)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\), có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.
Đáp án:
- Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((-2;1)\) và \((7;+\infty)\)
- Hàm số đã cho đạt cực đại tại hai điểm \(x=1\)
Lời giải:
Câu 20:
Cho hàm số \(f(x)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\), có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.
Đáp án:
- Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm \(x=4\)
Lời giải:
Câu 21:
Cho hàm số \(f(x)\) xác định và liên tục trên từng khoảng của tập \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\), có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.
Đáp án:
- Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((-3;2)\) và \((5;8)\)
- Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm \(x=-3\) và \(x=5\)
Lời giải:
Câu 22:
Cho hàm số \(f(x)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\), có bảng biến thiên của đạo hàm như sau:
Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.
Đáp án:
- Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((2;+\infty)\)
- Hàm số đã cho có đúng \(3\) điểm cực trị
- Hàm số đã cho có đúng \(2\) điểm cực đại
Lời giải:
Câu 23:
Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị của hàm số \(f'(x)\) như hình bên dưới.
Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.
Đáp án:
- Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \((-2;0)\) và \((2;3)\)
- Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng \((0;2)\) và \((3;5)\)
Lời giải:
Câu 24:
Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị của hàm số \(f'(x)\) như hình bên dưới.
Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.
Đáp án:
- Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((0;+\infty)\)
- Hàm số đã cho có đúng \(2\) điểm cực trị
Lời giải:
Câu 25:
Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị của hàm số \(f'(x)\) như hình bên dưới.
Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.
Đáp án:
- Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((-\infty;-2)\)
- Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((0;3)\)
Lời giải:
Câu 26:
Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị của hàm số \(f'(x)\) như hình bên dưới.
Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.
Đáp án:
- Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((1;3)\)
- \(x=0\) là điểm cực tiểu của hàm số đã cho
Lời giải:
Phần 3. Tự luận
Câu 1:
Cho hàm số \(y= f(x)\) có đồ thị trên đoạn \([-2;8]\) như hình bên.
a) Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
b) Tìm các điểm cực trị của hàm số.
a) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-2;1)\) và \((5;8)\), nghịch biến trên khoảng \((1;5)\).
b) Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=1\) và đạt cực tiểu tại điểm \(x=5\).
Câu 2:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị được cho trên đoạn \([-1;7]\) như hình bên dưới.
a) Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
b) Tìm các điểm cực trị của hàm số.
c) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
a) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-1;1)\) và \((4;6)\), nghịch biến trên các khoảng \((1;4)\) và \((6;7)\).
b) Hàm số đạt cực đại tại hai điểm \(x=1\) và \(x=6\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=4\).
c) Đồ thị hàm số có hai điểm cực đại là \(A(1;5)\) và \(B(6;6)\) và một điểm cực tiểu là \(C(4;1)\).
Câu 3:
Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số có đồ thị cho ở hình bên dưới.
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-3;-1)\) và \((1;3)\), nghịch biến trên khoảng \((-1;1)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\).
Câu 4:
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên các khoảng \(\left(-\infty;1\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\), có bảng biến thiên như sau
Xác định các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số đã cho.
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy
+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;1)\); \((2;4)\) và \((5;+\infty)\).
+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((1;2)\) và \((4;5)\).
+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((1;2)\) và \((4;5)\).
+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\) và \(x=5\), đạt cực đại tại \(x=4\).
Câu 5:
Dựa vào đồ thị hàm số \(y=-x^3+3x\) ở hình bên, hãy tìm các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số đó.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((1;+\infty)\), đồng biến trên khoảng \((-1;1)\).
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=-1\) và đạt cực đại tại điểm \(x=1\).
Câu 6:
Cho hai hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị được cho như hình. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và điểm cực trị của hàm số đã cho.
Hàm số \(y=f(x)\) đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\), \((0;1)\), \((2;+\infty)\); nghịch biến trên các khoảng \((-1;0)\), \((1;2)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), \(x=1\) và đạt cực tiểu tại \(x=0\), \(x=2\).
Câu 7:
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
Tìm các khoảng đơn điệu và xác định các điểm cực trị của hàm số \(f\left(x\right)\).
Hàm số đồng biến trên hai khoảng \((-\infty;0)\) và \((1;+\infty)\), nghịch biển trên khoảng \((0;1)\).
Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=1\).
Câu 8:
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên các khoảng \((-\infty;-1)\), \((-1;+\infty)\) và có bảng biến thiên như sau
Xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số đã cho.
Dựa vào bảng biến thiên đã cho ta có
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty;-1\right)\), \(\left( -1;2\right)\).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(2;+\infty\right)\).
Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=2\), \(y_{\text{CĐ}}=-2\).
Câu 9:
Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \(f(x)=x^3-3x^2+3x-4\).
Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).
Ta có \(f'(x)=3x^2-6x+3\); \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=1\).
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.
Câu 10:
Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \(f(x)=2x^3-9x^2-24x+1\).
Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).
Ta có \(f'(x)=6x^2-18x-24\); \(f'(x)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=-1\\& x=4.\end{aligned}\right.\)
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((4;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((-1;4)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), \(y_{\text{CĐ}}=f(-1)=14\) và đạt cực tiểu tại \(x=4\), \(y_{\text{CT}}=f(4)=-111\).
Câu 11:
Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của hàm số: \(y=4x^3+3x^2-36x+6\).
Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).
Ta có \(y'=12x^2+6x-36\); \(y'=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=-2\\& x=\displaystyle\frac{3}{2}.\end{aligned}\right.\)
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên \((-\infty;-2)\) và \(\left(\displaystyle\frac{3}{2};+\infty\right)\), nghịch biến trên \(\left(-2;\displaystyle\frac{3}{2}\right)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\), \(y_{\text{CĐ}}=58\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\displaystyle\frac{3}{2}\), \(y_{\text{CT}}=-\displaystyle\frac{111}{4}\).
Câu 12:
Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \(y=-\displaystyle\frac{1}{3}x^3+x^2-x+5.\)
Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Ta có: \(y'=-x^2+2x-1=(x-1)^2\);
\(y'\leq 0,\forall x\in \mathbb{R}\) và \(y'=0\Leftrightarrow x=1\).
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Hàm số không có cực trị
Câu 13:
Tìm cực trị của hàm số \(y=x^4-4x^2+2\).
Tập xác định của hàm số \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).
Ta có \(y'=4x^3-8x\); \(y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=\pm\sqrt{2}\).
Bảng biến thiên của hàm số
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-\sqrt{2}\) và \(x=\sqrt{2}\), \(y_{CT}=-2\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\) và \(y_{\text{CĐ}}=2\).
Câu 14:
Lập bảng biến thiên, tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: \(y=\displaystyle\frac{x-1}{x+2}\).
Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace -2\right\rbrace\).
Ta có \(y'=\displaystyle\frac{3}{\left(x+2\right)^{2}}>0\) với mọi \(x\in \mathscr{D}\).
Bảng biến thiên
Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(-2;+\infty\right)\).
Câu 15:
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x+1}{x-3}\).
Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{3\}\).
Ta có \(y'=-\displaystyle\frac{7}{(x-3)^2}<0\), \(\forall x\in\mathscr{D}\).
Bảng biến thiên
Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng \((\infty;3)\) và \((3;+\infty)\).
Câu 16:
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-1}{x+2}\).
Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\setminus\{-2\}\).
Ta có: \(y'=\frac{5}{\left(x+2\right)^2}>0,\,\forall x\neq -2\).
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;-2)\) và \(\left(-2;+\infty\right)\).
Câu 17:
Tìm các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2+x+1}{x+1}\).
Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).
Ta có: \(y'=\displaystyle\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\) với \(x\neq -1\);
\(y'= 0\Leftrightarrow x^2+2x=0\Leftrightarrow x=-2\) hoặc \(x=0\).
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\) và \((-1;0)\), nghịch biến trên \((-2;-1)\) và \((0;+\infty)\);
Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\) và đạt cực tiểu tại \(x=0\).
Câu 18:
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2+4}{x}\).
Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\).
Ta có: \(y'=\displaystyle\frac{x^2-4}{x^2}\) với \(x\neq 0\);
\(y'= 0\Leftrightarrow x^2-4=0\Leftrightarrow x=-2\) hoặc \(x=2\).
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;-2)\) và \((2;+\infty)\); nghịch biến trên mỗi khoảng \((-2;0)\) và \((0;2)\).
Câu 19:
Tìm các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2-8x+10}{x-2}\).
Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{2\}\).
Ta có \(y=x-6-\displaystyle\frac{2}{x-2} \Rightarrow y'=1+\displaystyle\frac{2}{(x-2)^2}>0\), \(\forall x\in\mathscr{D}\).
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\);
Hàm số không có cực trị.
Câu 20:
Tìm cực trị của hàm số \(y=x-\displaystyle\frac{1}{x}\).
Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\).
Ta có: \(y'=1+\displaystyle\frac{1}{x^2}>0,\,\forall x\neq 0\).
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số không có cực trị.
Câu 21:
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x}{x^2+4}\).
Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).
Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-x^2+4}{(x^2+4)^2}\); \(y'=0\Leftrightarrow x=\pm 2\)
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((-2;2)\), nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\), \((2;+\infty)\).
Câu 22:
Xét chiều biến thiên của hàm số \(y=\sqrt{4-x^2}\).
Tập xác định \(\mathscr{D}=\left[-2; 2\right]\).
Ta có: \(y'=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}\).
\(y'=0\Leftrightarrow x=0\).
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-2;0\right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left(0;2\right)\).
Câu 23:
Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \(y=\sqrt{4x-x^2}\).
Tập xác định \(\mathscr{D}=[0;4]\).
\(y'=\displaystyle\frac{2-x}{\sqrt{4x-x^2}}\), \(y'=0\Leftrightarrow x=2\).
Bảng biến thiên
Hàm số nghịch biến trên khoảng \((2;4)\), đồng biến trên khoảng \(\left(0;2\right)\); Hàm số đạt cực đại tại \(x=2\).
Câu 24:
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm là \(y'=f'\left(x\right)=x\left(x-1\right)^2\left(x+3\right)\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến và điểm cực trị của hàm số \(f\left(x\right)\) đã cho.
Ta có \(y'=f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\\&x=1\\&x=-3.\end{aligned}\right.\)
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty,-3\right)\) và \(\left(0,+\infty\right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left(-3,0\right)\). Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=-3\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\).
Câu 25:
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)=(x+1)^2(x-1)^3(x-2)\), \(\forall x\in\mathbb{R}\). Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \(f(x)\).
Ta có \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1;\ x=1;\ x=2\).
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;1)\) và \((2;+\infty)\), nghịch biến trên \((1;2)\). Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=1\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=2\).
Câu 26:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)=\left(x^2-9\right)x^2\left(x-2\right)^3\left(x-1\right)^4\), \(\forall x\in \mathbb{R}\). Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \(f(x)\).
Ta có \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=3;\ x=-3;\ x=0;\ x=2;\ x=1.\)
Bảng biến thiên
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-3)\) và \((2;3)\), đồng biến trên các khoảng \((-3;2)\) và \((3;+\infty)\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=-3\) và \(x=3\), đạt cực đại tại điểm \(x=2\).
Câu 27:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\), có đồ thị của hàm số \(y=f'(x)\) có dạng như hình bên dưới. Tìm các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số đã cho.
Từ đồ thị suy ra \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=-1\), \(x=1\) và \(x=3\).
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((1;3)\), nghịch biến trên các khoảng \((-1;1)\) và \((3;+\infty)\). Hàm số đạt cực đại tại hai điểm \(x=-1\) và \(x=3\), đạt cực tiểu tại \(x=1\).
Câu 28:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số \(y=f'(x)\). Tìm các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số đã cho.
Từ đồ thị của \(y=f'(x)\) ta thấy \(f'(x)=0\) có hai nghiệm \(x=-1\) và \(x=2\).\\
Bảng biến thiên
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;2)\), đồng biến trên khoảng \((2;+\infty)\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=2\).
Câu 29:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), và đồ thị của \(f'(x)\) trên \(\mathbb{R}\) như hình vẽ. Tìm các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số đã cho.
Từ đồ thị của \(y=f'(x)\) ta thấy \(f'(x)=0\) có hai nghiệm \(x=-2\) và \(x=1\).
Bảng biến thiên
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-2)\), đồng biến trên khoảng \((-2;+\infty)\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=-2\).
Câu 30:
Cho hàm số \(y=f(x)\). Hàm số \(y=f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ sau. Tìm các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số đã cho.
Từ đồ thị của hàm số \(f'(x)\) ta thấy \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=-1\), \(x=1\) và \(x=4\).
Bảng biến thiên
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((1;4)\), đồng biến trên các khoảng \((-1;1)\) và \((4;+\infty)\). Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=1\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=-1\) và \(x=4\).
Câu 31:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị của hàm \(y=f'(x)\) như hình vẽ bên. Tìm các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số đã cho.
Từ đồ thị của hàm số \(f'(x)\) ta thấy \(f'(x)=0\) có các nghiệm \(x=1\) và \(x=3\).
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;1)\) và \((3;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((1;3)\). Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=1\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=3\).
Câu 32:
Đồ thị của đạo hàm bậc nhất \(y=f'(x)\) của hàm số \(f(x)\) được cho trong hình bên.
a) Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.
b) Tại giá trị nào của \(x\) thì \(f(x)\) có cực đại và cực tiểu? Giải thích.
a) Từ đồ thị hàm số, ta có \(f'(x)>0\Leftrightarrow\begin{cases}x\in(2;4)\\ x\in(6;+\infty).\end{cases}\) và liên tục trên hai khoảng đó.
Do đó hàm số \(f(x)\) đồng biến trên \((2;4)\) và \((6;+\infty)\).
b) Từ đồ thị hàm số, ta có \(f'(x)=0\Leftrightarrow \begin{cases}x=2\\x=4\\x=6\end{cases}\) và qua các điểm đó thì \(f'(x)\) đổi dấu.
Vậy tại các điểm \(x=2\), \(x=4\), \(x=6\) thì hàm số \(f(x)\) có cực đại hoặc cực tiểu.
Câu 33:
Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở \(R_1\) và \(R_2\) thì điện tương đương \(R\) của mạch điện được tính theo công thức \(R=\displaystyle\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\) (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).
Giả sử một điện trở \(8\Omega\) được mắc song sogn với một biến trở như hình vẽ. Nếu điện trở đó được kí hiệu là \(x (\Omega)\) thì điện trở tương đương \(R\) là hàm số của \(x\). Vẽ đồ thị của hàm số \(y=R(x)\), \(x>0\) và dựa vào đồ thị đã vẽ, hãy cho biết
a) Điện trở tương đương của mạch thay đổi thế nào khi \(x\) tăng.
b) Tại sao điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá \(8\Omega\).
a) Ta có
\[ R(x)=\displaystyle\frac{8x}{x+8}\Rightarrow R'(x)=\frac{64}{(x+8)^2}>0,\ \forall x>0.\]
Do đó \(R(x)\) là một hàm đồng biến trên \((0;+\infty)\). Vậy \(R(x)\) tăng khi \(x\) tăng.
b) Dễ thấy \(\lim\limits_{x\to +\infty}R(x)=8\), kết hợp \(R(x)\) là hàm đồng biến nên khi \(x\) tăng thì \(R(x)\) không bao giờ vượt quá \(8\).
Câu 34:
Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự \(f\) (tham khảo hình bên dưới). Khoảng cách \(p\) từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách \(q\) từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức: \(\displaystyle\frac{1}{p}+\displaystyle\frac{1}{q}=\displaystyle\frac{1}{f}\).
a) Viết công thức tính \(q=g\left(p \right)\) như một hàm số của biến \(p\in \left(f;+\infty \right)\).
b) Tính các giới hạn \(\underset{p\to +\infty}{\mathop{\lim}}g(p)\), \(\underset{p\to{f^{+}}}{\mathop{\lim}}g(p)\) và giải thích ý nghĩa các kết quả này.
c) Lập bảng biến thiên của hàm số \(q=g \left(p \right)\) trên khoảng \(\left(f;+\infty \right)\).
a) Ta có \(\displaystyle\frac{1}{p}+\displaystyle\frac{1}{q}=\displaystyle\frac{1}{f} \Rightarrow q=\displaystyle\frac{pf}{p-f}\). Do đó, \(q=g \left(p \right)=\displaystyle\frac{pf}{p-f}\) với \(p\in (f;+\infty)\).
b) \(\underset{p\to +\infty}{\mathop{\lim}}g(p)=\underset{p\to +\infty}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{pf}{p-f}=\underset{p\to +\infty}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{f}{1-\displaystyle\frac{f}{p}}=f\), \(\underset{p\to{f^{+}}}{\mathop{\lim}}g(p)=\underset{p\to{f^{+}}}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{pf}{p-f}=+\infty\).
Ý nghĩa của \(\underset{p\to +\infty}{\mathop{\lim}}g(p)=f\): Khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến ra vô cùng thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính xấp xỉ tiêu cự.
Ý nghĩa của \(\underset{p\to{f^{+}}}{\mathop{\lim}}g(p)=+\infty\): Khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến gần về tiêu cự \(f\) thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính là càng lớn.
c) Ta có \(q'=g' \left(p \right)=- \displaystyle\frac{f^2}{(p-f)^2}<0\) với mọi \(p\in \left(f;+\infty \right)\) nên hàm số nghịch biến trên \( \left(f;+\infty \right)\).
Bảng biến thiên
Câu 35:
Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời điểm \(t=0\) (s) cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi tại thời điểm \(t=126\) (s), cho bởi công thức sau: \(v(t)=0{,}001302t^3-0{,}09029t^2+23\), (\(v\) được tính bằng ft/s, 1 feet \(=0{,}3048 \mathrm{~m}\))
Hỏi gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian nào tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi?
Gia tốc của tàu con thoi là \(a(t)=v'(t)=0{,}003906t^2-0{,}18058t\).
Xét hàm số \(a(t)=0{,}003906t^2-0{,}18058t\) với \(t\in [0;126]\).
Ta có \(a'(t)=0{,}007812t-0{,}18058\);
\(a'(t)=0\Leftrightarrow t=23{,}11571941=t_0\).
Bảng biến thiên của hàm số \(a(t)\) như sau
Từ bảng biến thiên suy ra, gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian từ \(23{,}11571941\) s đến \(126\) s.
Câu 36:
Điện trở \(R\, (\Omega)\) của một đoạn dây dẫn hình trụ được làm từ vật liệu có điện trở suất \(\rho\) \((\Omega\mathrm{m})\), chiều dài \(\ell\) m và tiết diện \(S\) (m\(^2\)) được cho bởi công thức \(R=\rho\cdot\displaystyle\frac{\ell}{S}\).
Giả sử người ta khảo sát sự biến thiên của điện trở \(R\) theo tiết diện \(S\) (ở nhiệt độ \(20^\circ\)C) của một sợi dây điện dài \(10\) m làm từ kim loại có điện trở suất \(\rho\) và thu được đồ thị hàm số như hình.
a) Có nhận xét gì về sự biến thiên của điện trở \(R\) theo tiết diện \(S\)?
b) Từ đồ thị, hãy giải thích ý nghĩa của toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng \(R=0{,}001\).
c) Tính điện trở suất \(\rho\) của dây điện. Từ đó, hãy cho biết dây điện được làm bằng kim loại nào trong số các kim loại được cho ở bảng sau.
a) Ta thấy điện trở \(R\) tỉ lệ nghịch với tiết diện \(S\), do đó khi \(R\) càng giảm thì \(S\) càng tăng.
b) Từ đồ thị, toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng \(R=0{,}001\) là điểm \((0{,}000169; 0{,}001)\), tức là khi \(R=0{,}001\) \((\Omega)\) thì \(S=0{,}000169\) (m\(^2\)).
c) Thay tọa độ điểm \((0{,}000169; 0{,}001)\) vào \(R=\rho\cdot\displaystyle\frac{\ell}{S}\) (với \(\ell=10\) m), ta có
\(0{,}001=\rho\cdot\displaystyle\frac{\ell}{0{,}000169} \Leftrightarrow \rho=1{,}69 \cdot 10^{-8} \,(\Omega\mathrm{m}).\)
Vậy dây điện được làm bằng kim loại đồng.
Câu 37:
Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam trong các năm từ \(2010\) đến \(2017\) có thể được tính xấp xỉ bằng công thức \(f(x)=0{,}01x^3-0{,}04x^2+0{,}25x+0{,}44\) (tỉ USD) với \(x\) là số năm tính từ \(2010\) đến \(2017\) \((0\leq x\leq 7)\).
a) Tính đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\).
b) Chứng minh rằng kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ \(2010\) đến \(2017\).
a) Ta có \(f'(x)=0{,}03x^2-0{,}08x+0{,}25\).
b) Xét \(f'(x)=0 \Leftrightarrow 0{,}03x^2-0{,}08x+0{,}25=0\) (vô nghiệm).
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên trên, ta thấy \(f(x)>0\), \(\forall x\in [0;7]\).
Vậy kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ \(2010\) đến \(2017\).
Câu 38:
Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục \(Ox\). Toạ độ của chất điểm tại thời điểm \(t\) được xác định bởi hàm số \(x(t)=t^3-6t^2+9t\) với \(t\geq 0\). Khi đó \(x'(t)\) là vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t\), kí hiệu \(v(t)\); \(v'(t)\) là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm \(t\), kí hiệu \(a(t)\).
a) Tìm các hàm \(v(t)\) và \(a(t)\).
b) Trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm?
a) Ta có \(v(t)=x'(t)=3t^2-12t+9\) và \(a(t)=v'(t)=6t-12\).
b) Xét \(v(t)=0 \Leftrightarrow t=1\) hoặc \(t=3.\)
Bảng xét dấu
Suy ra vận tốc của chất điểm tăng khi \(t\in (0;1) \cup (3;+\infty)\), và giảm khi \(t\in (1;3)\).
Câu 39:
Thể tích \(V\) (đơn vị: centimét khối) của \(1\) kg nước tại nhiệt độ \(T\left(0^{\circ}\mathrm{C}\leq T \leq 30^{\circ}\mathrm{C}\right)\) được tính bởi công thức sau: \(V(T)=999{,}87-0{,}06426T+0{,}0085043T^2-0{,}0000679T^3.\) Hỏi thể tích \(V(T), 0^{\circ}\mathrm{C}\leq T \leq 30^{\circ}\mathrm{C}\), giảm trong khoảng nhiệt độ nào?
Xét hàm số \(V(T)=999{,}87-0{,}06426T+0{,}0085043T^2-0{,}0000679T^3\), với \(T\in [0;30]\).
Ta có \(V'(T)=-0{,}0002037T^2+0{,}0170086T-0{,}06426\).
\(V'(T)=0\Leftrightarrow T=3{,}966514624=T_1\) hoặc \(T=79{,}53176716\not\in [0;30]\).
Bảng biến thiên của hàm số \(V(T)\) như sau
Từ bảng biến thiên suy ra, thể tích \(V(T)\), \(0^{\circ}\mathrm{C}\leq T \leq 30^{\circ}\mathrm{C}\), giảm trong khoảng nhiệt độ từ \(0^\circ\)C đến \(3{,}966514624^\circ\)C.
Câu 40:
Xét phản ứng hóa học tạo ra chất \(C\) từ hai chất \(A\) và \(B\): \(A+B\longrightarrow C\). Giả sử nồng độ của hai chất \(A\) và \(B\) bằng nhau \([A]=[B]=a\) (mol/l). Khi đó, nồng độ của chất \(C\) theo thời gian \(t\) (\(t>0\)) được cho bởi công thức: \([C]=\displaystyle\frac{a^2Kt}{aKt+1}\) (mol/l), trong đó \(K\) là hằng số dương.
a) Tìm tốc độ phản ứng ở thời điểm \(t>0\).
b) Chứng minh nếu \(x=[C]\) thì \(x'(t)=K(a-x)^2\).
c) Nêu hiện tượng xảy ra với nồng độ các chất khi \(t\longrightarrow +\infty\).
d) Nêu hiện tượng xảy ra với tốc độ phản ứng khi \(t\longrightarrow +\infty\).
a) Tìm tốc độ phản ứng ở thời điểm \(t>0\).
Tốc độ của phản ứng là đạo hàm của \([C]=\displaystyle\frac{a^2Kt}{aKt+1}\) theo biến \(t\). Do đó
\[[C]^\prime =\left(\displaystyle\frac{a^2Kt}{aKt+1}\right)^\prime=\displaystyle\frac{a^2K\left(aKt+1\right)-a^2Kt\cdot aK}{\left(aKt+1\right)^2}=\displaystyle\frac{a^2K}{\left(aKt+1\right)^2}.\]
b) Chứng minh nếu \(x=[C]\) thì \(x'(t)=K(a-x)^2\).
Theo câu trên, nếu nếu \(x=[C]\) thì \(x^\prime(t)=\displaystyle\frac{a^2K}{\left(aKt+1\right)^2}\).
Ta lại có
\[K(a-x)^2=K \left(a-\displaystyle\frac{a^2Kt}{aKt+1}\right)^2=\displaystyle\frac{a^2K}{\left(aKt+1\right)^2}.\]
Vậy \(x'(t)=K(a-x)^2\).
c) Nêu hiện tượng xảy ra với nồng độ các chất khi \(t\longrightarrow +\infty\).
Ta có \(\lim\limits_{t\to +\infty}[C]=\lim\limits_{t\to +\infty}\displaystyle\frac{a^2Kt}{aKt+1}=a\) (mol/l).
Vậy nồng độ của chất \(C\) dần đến \(a\) (mol/l).
d) Nêu hiện tượng xảy ra với tốc độ phản ứng khi \(t\longrightarrow +\infty\).
Ta có \(\lim\limits_{t\to +\infty}x^\prime(t)=\lim\limits_{t\to +\infty}\displaystyle\frac{a^2K}{\left(aKt+1\right)^2}=0\).
Vậy tốc độ của phản ứng dần đến \(0\).
Câu 41:
Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất \(2\) m với vận tốc ban đầu \(24{,}5\) m/s là \(h(t)=2+24{,}5t-4{,}9t^2\) (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, \(2016\)).
a) Tìm vận tốc của vật sau \(2\) giây.
b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu?
c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?
a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc của vật là \(v=h'(t)=24{,}5-9{,}8t\) m/s.
Do đó, vận tốc của vật sau \(2\) giây là \(v(2)=24{,}5-9{,}8\cdot 2=4{,}9\) m/s.
b) Vì \(h(t)\) là hàm số bậc hai có hệ số \(a=-4{,}9< 0\) nên \(h(t)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(t=-\displaystyle\frac{b}{2a}=\displaystyle\frac{24{,}5}{2\cdot 4{,}9}=2{,}5\) (giây).
Khi đó, độ cao lớn nhất của vật là \(h(2{,}5)=32{,}625\) m.
c) Vật chạm đất khi độ cao bằng 0, tức là \(h=2+24{,}5t-4{,}9t^2=0\), hay \(t \approx 5{,}08\) (giây).
Vận tốc của vật lúc chạm đất là \(v(5{,}08)=24{,}5-9{,}8\cdot 5{,}08=-25{,}284\) m/s.
Vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyển động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn (khi lập phương trình chuyển động của vật).