a) Vì các đường thẳng \(AA'\), \(BB'\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\), nên \(\overrightarrow{AA'}\) và \(\overrightarrow{BB'}\) đều là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABCD)\).

b) Đường thẳng \(BD\) vuông góc với hai đường thẳng \(AC\) và \(AA'\), nên vuông góc với mặt phẳng \((ACCA')\).

Vậy \(\overrightarrow{BD}\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ACCA')\).

c) Đường thẳng \(A'C'\) không vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\), nên vectơ \(\overrightarrow{A'C'}\) không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

Vậy các khẳng định a và b là đúng, khẳng định c là sai.

Vì \((\alpha)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn \(AB\) nên \(AB\perp(\alpha)\).

Do đó \(\overrightarrow{AB}=(-4;2;-2)\) là một véc-tơ pháp tuyến của \((\alpha)\).

Ta có \([\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]=\left( \begin{vmatrix}-2&0\\1&-4\end{vmatrix};\begin{vmatrix}0&1\\-4&3\end{vmatrix};\begin{vmatrix} 1& -2\\3 & 1\end{vmatrix} \right)=(8;4;7)\).

Ta có \(\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{u}\), suy ra \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) cùng phương.

Do đó \([\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}]=\overrightarrow{0}=(0;0;0)\).

Ta có \(\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}]=\left(\begin{vmatrix}-1&0\\-1&2\end{vmatrix};\begin{vmatrix}0&2\\2&1\end{vmatrix};\begin{vmatrix} 2& -1\\1 & -1\end{vmatrix} \right)=(-2;-4;-1)\ne\overrightarrow{0}\). Do đó \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\) là cặp véc-tơ chỉ phương và \(\overrightarrow{n}\) là một véc-tơ pháp tuyến của \((\alpha)\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-3;3;-1)\), \(\overrightarrow{BC}=(0;2;2)\) là cặp véc-tơ chỉ phương của \((ABC)\).

Do đó \(\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}]=\left(\begin{vmatrix}3&-1\\2&2\end{vmatrix};\begin{vmatrix}-1&-3\\2&0\end{vmatrix};\begin{vmatrix} -3& 3\\0 & 2\end{vmatrix} \right)=(8;6;-6)\) là một véc-tơ pháp tuyến của \((ABC)\).

Trong các phương trình trên, chỉ có phương trình \(y+1=0\) có dạng \(Ax+By+Cz+D=0\) và thỏa mãn \(A,B,C\) không đồng thời bằng \(0\) (\(A=0\), \(B=1\), \(C=0\)).

Vì vậy, trong các phương trình trên, chỉ có phương trình \(y+1=0\) là phương trình mặt phẳng.

a) Mặt phẳng \((\alpha)\) nhận \(\overrightarrow{n}=(1;2;-1)\) làm một véc-tơ pháp tuyến.

b) Do \(\vec m=2\overrightarrow{n}\) nên \(\vec m\) cũng là một véc-tơ pháp tuyến của \((\alpha)\).

c) Ta cần kiểm tra xem trong hai điểm \(A(1;3;2)\), \(B(1;1;4)\), điểm nào có tọa độ thỏa mãn phương trình mặt phẳng \((\alpha)\).

Do \(1+2\cdot 3-2+1\ne\) và \(1+2\cdot 1-4+1=0\) nên trong hai điểm \(A\), \(B\) chỉ có tọa độ điểm \(B\) thỏa mãn phương trình mặt phẳng \((\alpha)\).

Vậy điểm \(B\) thuộc mặt phẳng \((\alpha)\), điểm \(A\) không thuộc mặt phẳng \((\alpha)\).

a) Ta có \(-2+2=0\) nên tọa độ điểm \(A\) thỏa mãn phương trình mặt phẳng \((\alpha)\). Vậy điểm \(B\) thuộc mặt phẳng \((\alpha)\).

b) Mặt phẳng \((\alpha)\) nhận \(\overrightarrow{n}=(1;0;0)\) làm một véc-tơ pháp tuyến.

a) Mặt phẳng \((P)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(3 ;-5 ; 7)\).

Mặt phẳng \((Q)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n'}=(1 ; 1 ; 0)\).

b) Thay toạ độ điểm \(A\) vào phương trình của \((P)\), ta được

\(3 \cdot 1-5 \cdot 3+7 \cdot 1+5=0\).

Vậy \(A\) thuộc \((P)\).

Thay tọa độ điểm \(B\) vào phương trình của \((P)\), ta được \(3 \cdot 1-5 \cdot 2+7 \cdot 3+5=19\neq 0\).\\

Vậy \(B\) không thuộc \((P)\).

Ta có tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) là

\([\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}]=(2\cdot 5-3\cdot 1 ; 3\cdot 4-1\cdot 5 ; 1\cdot 1-2\cdot 4)=(7 ; 7 ;-7).\)

Do đó, mặt phẳng \((P)\) nhận \(\overrightarrow{n}=\displaystyle\frac{1}{7}\left[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right]=(1 ; 1 ;-1)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Khoảng cách từ điểm \(M_0\) đến mặt phẳng \((P)\) là

\(\mathrm{d}\left(M_0,(P)\right) = \displaystyle\frac{|2 \cdot 3 + (-2) \cdot 1 + (-1) \cdot (-5) + 3|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2}} = 4.\)

Khoảng cách từ điểm \(M_0\) đến mặt phẳng \((P)\) là

\[d\left(M_0,(P)\right)=\displaystyle\frac{\left|2\cdot 3+(-2)\cdot 1+(-1)\cdot(-5)+3\right|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+(-1)^2}}=4.\]

Chọn \(M\left(2;0;0\right)\) thuộc mặt phẳng \((P)\). Do \((P)\) và \((Q)\) song song nên khoảng cách giữa chúng là

\[d((P),(Q))=d(M,(Q))=\displaystyle\frac{\left| 2 - 8\right|}{\sqrt{1^2}}=6.\]

Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\left(0;0;0\right)\) đến mặt phẳng \((P) \colon 2x-2y-z+3=0\) là

\(d(O,\left(P\right))=\displaystyle\frac{\left| 2 \cdot 0 -2 \cdot 0 - 0 + 3\right|}{\sqrt{2^2+\left(-2\right)^2+\left(-1\right)^2}}=1\)

Khoảng cách từ điểm \(M\left( 1;-2;13 \right)\) đến mặt phẳng \((P) \colon 2x-2y-z+3=0\) là

\(d(O,\left(P\right))=\displaystyle\frac{\left| 2 \cdot 1 -2 \cdot (-2) - 13 + 3\right|}{\sqrt{2^2+\left(-2\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\displaystyle\frac{4}{3}\)

Hai mặt phẳng \((P_1)\), \((P_2)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là

\(\overrightarrow{n}_1=(2 ;-1 ;-3), \overrightarrow{n}_2=(6 ;-3 ;-9).\)

Vì \(\overrightarrow{n}_2 = 3 \overrightarrow{n}_1\) và \(D_1 = 1 \neq 3 \cdot 1 = 3 D_1\) nên \((P_1) \parallel (P_2)\).

Hai mặt phẳng \((P_1)\), \((P_2)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là

\(\overrightarrow{n}_1 = (1; -1; -2), \overrightarrow{n}_2 = (1; -1; 1).\)

Vì \(\overrightarrow{n}_1 \cdot \overrightarrow{n}_2 = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) + (-2) \cdot 1 = 0\) nên \(\overrightarrow{n}_1 \perp \overrightarrow{n}_2\).

Vậy \((P_1) \perp (P_2)\).

a) \((P_1)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_1=(1;2;3)\).

\((P_2)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_2=(1;1;-1)\).

Do \(\overrightarrow{n}_1\cdot \overrightarrow{n}_2=1+2-3=0\) nên \(\overrightarrow{n}_1\perp \overrightarrow{n}_2\).

Suy ra \((P_1)\perp (P_2)\).

b) Ta có \(\mathrm{d}\left(M,(P)\right)=\displaystyle\frac{\left|1-2+12+1\right|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}}=4\).

a) Do \(\displaystyle\frac{4}{8}=\displaystyle\frac{-1}{-2}=\displaystyle\frac{-1}{-2}\ne \displaystyle\frac{1}{1}\) nên \((P_1)\parallel (P_2)\).

b) Lấy \(A(0,0,1)\in (P_1)\) thì

\(\mathrm{d}\left((P_1),(P_2)\right)=\mathrm{d}\left(A,(P_2)\right)=\displaystyle\frac{\left|-2+1\right|}{\sqrt{8^2+(-2)^2+(-2)^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{12}.\)

a) Ta có \(\overrightarrow{n}_1 = (2; -4; -4)\), \(\overrightarrow{n}_2 = (1; -2; -2)\) lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \((P_1)\), \((P_2)\).

Do \(\overrightarrow{n}_1 = 2 \overrightarrow{n}_2\), \(D_1 = 3 \neq 2 = 2 D_2\) nên \((P_1) \parallel (P_2)\).

b) Chọn điểm \(M_0 \left(-\displaystyle\frac{3}{2} ; 0 ; 0\right) \in (P_1)\). Suy ra khoảng cách từ điểm \(M_0\) đến mặt phẳng \((P_2)\) là:

\(\mathrm{d}\left(M_0, (P_2)\right) = \displaystyle\frac{\left|- \displaystyle\frac{3}{2} + 1\right|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2}} = \displaystyle\frac{1}{6}.\)

Do khoảng cách giưa hai mặt phẳng song song \((P_1)\), \((P_2)\) bằng \(\mathrm{d}\left(M_0, (P_2)\right)\) nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \((P_1)\), \((P_2)\) bằng \(\displaystyle\frac{1}{6}\).

a) \(\mathrm{d}[M,(P)] = \displaystyle\frac{|1.1 + 1.2 + 1.3 + 12|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \displaystyle\frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}.\)

b) \(\mathrm{d}[M,(Q)] = \displaystyle\frac{|4.1 + 3.2 + 0.3 + 10|}{\sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2}} =\displaystyle\frac{20}{5} = 4\).

Áp dụng công thức tính khoảng cách

a) \( \mathrm{d}(A,(\alpha))=\displaystyle\frac{|2\cdot4-2\cdot2+1\cdot(-3)-9|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}}=\displaystyle\frac{8}{3} \);

b) \(\mathrm{d}(A,(\beta))=\displaystyle\frac{|0\cdot4+12\cdot2-5\cdot(-3)+5|}{\sqrt{0^2+(12)^2+(-5)^2}}=\displaystyle\frac{44}{13} \);

c) \( \mathrm{d}(A,(Oxy))=\displaystyle\frac{|0\cdot4+0\cdot2+1\cdot(-3)|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=3 \).

a) Ta có \( \displaystyle\frac{1}{-2}=\displaystyle\frac{2}{-4}=\displaystyle\frac{-3}{6}\ne \displaystyle\frac{2}{-5} \) nên \( (\alpha_1) \parallel (\alpha_2)\);

b) Véc-tơ pháp tuyến của \( (\beta_1) \) là \( \overrightarrow{n}_1=(1;0;2) \), véc-tơ pháp tuyến của \( (\beta_2) \) là \( \overrightarrow{n}_2=(4;-3;-2) \).

Ta có \( \overrightarrow{n}_1\cdot\overrightarrow{n}_2=4\cdot1+0\cdot(-3)+2\cdot(-2) =0\) nên \( (\beta_1)\perp (\beta_2) \);

c) Ta có \( \displaystyle\frac{1}{2}\ne \displaystyle\frac{1}{3} \) nên \( (\gamma_1) \) cắt \( (\gamma_2) \).

Véc-tơ pháp tuyến của \( (\gamma_1) \) là \( \overrightarrow{n}_1=(1;-2;1) \), véc-tơ pháp tuyến của \( (\gamma_2) \) là \( \overrightarrow{n}_2=(2;-4;3) \).

Ta có \( \overrightarrow{n}_1\cdot\overrightarrow{n}_2=1\cdot2+(-2)\cdot(-4)+1\cdot3 =13\ne 0\) nên \( (\gamma_1)\) không vuông góc \( (\gamma_2) \).

}

Áp dụng công thức khoảng cách ta có

a) \( \mathrm{d}(O,(\alpha))=\displaystyle\frac{|2\cdot0+3\cdot0-6\cdot0-7|}{\sqrt{2^2+3^2+(-6)^2}}=\displaystyle\frac{7}{7}=1 ;\) \(\mathrm{d}(M,(\alpha))=\displaystyle\frac{|2\cdot1+3\cdot(-2)-6\cdot3-7|}{\sqrt{2^2+3^2+(-6)^2}}=\displaystyle\frac{29}{7}\).

b) Ta có \( \displaystyle\frac{2}{2}=\displaystyle\frac{3}{3}=\displaystyle\frac{-6}{-6}\ne \displaystyle\frac{-7}{14} \) nên \( (\alpha)\parallel (\beta) \). Lấy điểm \(N(-7;0;0)\in(\beta) \).

Vây \( \mathrm{d}((\alpha),(\beta))=\mathrm{d}(N,(\alpha)) \displaystyle\frac{|2\cdot(-7)+3\cdot0-6\cdot0-7|}{\sqrt{2^2+3^2+(-6)^2}}=\displaystyle\frac{21}{7}=3\).

Mặt phẳng \((P),(Q)\) lần lượt có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_P}=(1;1;1),\overrightarrow{n_Q}=(1;1;1)\).

Ta có \(\overrightarrow{n_P}=1 \cdot \overrightarrow{n_Q}\) và \(6 \neq 1 \cdot 2\) nên hai mặt phẳng đã cho song song với nhau.

\(M(-2;0;0) \in (P)\). Khi đó khoảng cách hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) bằng

\[\mathrm{d}(M;(Q))= \displaystyle\frac{|-2+0+0+6|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\displaystyle\frac{4\sqrt{3}}{3}.\]

a) Hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) lần lượt có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_P}=(1;3;1),\overrightarrow{n_Q}=(1;3;1)\).

Do đó \(\overrightarrow{n_P}=1 \cdot \overrightarrow{n}_Q\). Và do \(5 \ne 1 \cdot 2\) nên hai mặt phẳng đã cho song song với nhau.

b) Gọi \(M(-2;0;0) \in (P)\).

Khi đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) bằng

\[ \mathrm{d}(M,(Q)) = \displaystyle\frac{|-2+3\cdot0 +0 +5|}{\sqrt{1^2+3^2+1^2}} = \displaystyle\frac{3\sqrt{11}}{11}. \]

Khoảng cách tử điểm \(M(1;2;-1)\) đến mặt phẳng \((P)\colon x+2y-2z+5=0\) là

\(\mathrm{d}(M,(P))=\displaystyle\frac{|1+2 \cdot 2-2 \cdot(-1)+5|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=4.\)

}

Các mặt phẳng đã cho có vectơ pháp tuyến tương ứng là \(\overrightarrow{n_\alpha}=(3;-1,1), \overrightarrow{n_{\beta}}=(3\sqrt{2};-\sqrt{2};\sqrt{2})\).

Do \(\overrightarrow{n_p}=\sqrt{2}\cdot\overrightarrow{n_a}\) và \(1\neq\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\) nên hai mặt phẳng \((\alpha)\) và \((\beta)\) song song với nhau.

Hai mặt phẳng \((\alpha)\), \((\beta)\) có hai véc-tơ pháp tuyến tương ứng là \(\overrightarrow{n}=(3;1;-1)\), \(\overrightarrow{n'}=(9;3;-3)\).

Ta có \(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{n'}=3\cdot 9+1\cdot 3+(-1)\cdot(-3)=33\ne0\).

Do đó \((\alpha)\) không vuông góc với \((\beta)\).

Hai mặt phẳng \((\alpha)\), \((\beta)\) có hai véc-tơ pháp tuyến tương ứng là \(\overrightarrow{n}=(1;-3;2)\), \(\overrightarrow{n'}=(5;1;-1)\).

Ta có \(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{n'}=1\cdot 5 +(-3)\cdot 1+2\cdot(-1)=0\) nên \(\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{n'}\). Do đó \((\alpha)\) vuông góc với \((\beta)\).

Do \((P_1)\), \((P_2)\) có hai véc-tơ pháp tuyến lần lượt là

\(\overrightarrow{n}_1=\left(\sqrt{3};0;1\right),\, \overrightarrow{n}_2=\left(-\sqrt{3};0;1\right)\)

nên

\(\cos\left((P_1),(P_2)\right)=\displaystyle\frac{\left|\sqrt{3}\cdot\left(-\sqrt{3}\right)+0\cdot0+1\cdot1\right|}{\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2+0^2+1^2}\cdot\sqrt{\left(-\sqrt{3}\right)^2+0^2+1^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}.\)

Suy ra \(\left((P_1),(P_2)\right)=60^\circ\).

\((P_1)\), \((P_2)\) lần lượt có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_1=(1;1;2)\) và \(\overrightarrow{n}_2=(2;-1;1)\).

Ta có \(\cos\left((P_1),(P_2)\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n}_1\cdot\overrightarrow{n}_2\right|}{\left|\overrightarrow{n}_1\right|\cdot\left|\overrightarrow{n}_2\right|}=\displaystyle\frac{|1\cdot2+1\cdot(-1)+2\cdot1|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2}\cdot\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Vậy \(\left((P_1),(P_2)\right)=60^\circ\).

Ta có \(\overrightarrow{n}_{P_1}=(2;2;-1)\) và \(\overrightarrow{n}_{P_2}=(1;-2;-2)\).

\(\cos \left(\left(P_1\right);\left(P_2\right)\right) = \displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n}_{P_1} \cdot \overrightarrow{n}_{P_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n}_{P_1}\right| \cdot \left|\overrightarrow{n}_{P_2}\right|} = 0\). Suy ra \(\left(\left(P_1\right);\left(P_2\right)\right)=90^{\circ}\).

\((P)\) và \((P')\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n}=(0;4;4)\) và \(\overrightarrow{n}'=(7;0;7)\).

Ta có \(\cos \left ((P),(P') \right )=\displaystyle\frac{\left |0\cdot 7+4\cdot 0+4\cdot 7 \right |}{\sqrt{0^2+4^2+4^2}\cdot\sqrt{7^2+0^2+7^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Suy ra \(\left ((P),(P') \right )=60^{\circ}\).

a) \((P)\) và \((P')\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n}=(3;7;-1)\), \(\overrightarrow{n}'=(1;1;-10)\).

Ta có \(\cos\left ((P),(P') \right )=\displaystyle\frac{\left |3\cdot 1+7\cdot 1+(-1)\cdot (-10) \right |}{\sqrt{3^2+7^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{1^2+1^2+(-10)^2}}=\displaystyle\frac{10\sqrt{6018}}{3009}\).

Suy ra \(((P),(P'))\approx 75^{\circ}4'\).

b) \((P)\) và \((P')\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n}=(1;1;-2)\), \(\overrightarrow{n}'=(3;-5;1)\).

Ta có \(\cos\left ((P),(P') \right )=\displaystyle\frac{\left |1\cdot 3+1\cdot (-5)+(-2)\cdot 1 \right |}{\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{3^2+(-5)^2+1^2}}=\displaystyle\frac{4}{\sqrt{210}}\).

Suy ra \(((P),(P'))\approx 73^{\circ}59'\).

c) \((P)\) và \((P')\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n}=(1;0;1)\), \(\overrightarrow{n}'=(0;3;3)\).

Ta có \(\cos\left ((P),(P') \right )=\displaystyle\frac{\left |1\cdot 0+0\cdot 3+1\cdot 3 \right |}{\sqrt{1^2+1^2}\cdot\sqrt{3^2+3^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Suy ra \(((P),(P')=60^{\circ}\).

a) \((P)\) và \((P')\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n}=(1;1;-2)\), \(\overrightarrow{n}'=(3;-5;1)\).

Ta có \(\cos\left ((P),(P') \right )=\displaystyle\frac{\left |1\cdot 3+1\cdot (-5)+(-2)\cdot 1 \right |}{\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{3^2+(-5)^2+1^2}}=\displaystyle\frac{4}{\sqrt{210}}\).

Suy ra \(((P),(P'))\approx 73^{\circ}59'\).

b) \((P)\) và \((P')\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n}=(1;1;0)\), \(\overrightarrow{n}'=(0;1;1)\).

Ta có \(\cos\left ((P),(P') \right )=\displaystyle\frac{\left |1\cdot 0+1\cdot 1+0\cdot 1 \right |}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}\cdot\sqrt{0^2+1^2+1^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Suy ra \(((P),(P'))=60^{\circ}\).

c) \((P)\) và \((P')\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n}=(2;4;-1)\), \(\overrightarrow{n}'=(3-5;26)\).

Ta có \(\cos\left ((P),(P') \right )=\displaystyle\frac{\left |2\cdot 3+4\cdot 5+(-1)\cdot 26 \right |}{\sqrt{2^2+4^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{3^2+5^2+26^2}}=0\).

Suy ra \(((P),(P'))=90^{\circ}\).

a) \(\left(\alpha\right)\colon 3x+4y+5z-1=0\) và \(\left(\beta\right)\colon 2x+y+z-3=0\).

\(\left(\alpha\right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1}=\left(3;4;5\right)\) và \(\left(\beta\right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_2}=\left(2;1;1\right)\).

Ta có

\(\cos\left(\left(\alpha\right),\left(\beta\right)\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n_2}\right|} =\displaystyle\frac{15}{\sqrt{9+16+25}\cdot{\sqrt{4+1+1}}}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \left(\left(\alpha\right),\left(\beta\right)\right)=30^\circ\).

b) \(\left(\alpha\right)\colon x-y+2z-1=0\) và \(\left(\beta\right)\colon x+2y-z+3=0\).

\(\left(\alpha\right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1}=\left(1;-1;2\right)\) và \(\left(\beta\right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_2}=\left(1;2;-1\right)\).

Ta có

\(\cos\left(\left(\alpha\right),\left(\beta\right)\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\displaystyle\frac{\sqrt{1}}{2}\Rightarrow \left(\left(\alpha\right),\left(\beta\right)\right)=60^\circ\).

c) \(\left(\alpha\right)\colon x+3y-2z-1\) và \(\left(\beta\right)\colon 4x+2y+5z-3\).

\(\left(\alpha\right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1}=\left(1;3;-2\right)\) và \(\left(\beta\right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_2}=\left(4;2;5\right)\).

Ta có

\(\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}=4+6-10=0\Rightarrow \left(\left(\alpha\right),\left(\beta\right)\right)=90^\circ\).

Mặt phẳng \((\alpha),(Oxy),(Oxz),(Oyz)\) lần lượt có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left(\sqrt{3};-1;0\right),\overrightarrow{n_1}=\left(0;0;1\right),\overrightarrow{n_2}=\left(0;1;0\right),\overrightarrow{n_3}=\left(1;0;0\right)\).

Ta có

\begin{eqnarray*}\cos((\alpha),(Oxy))&=&\displaystyle\frac{|\sqrt{3}\cdot 0+(-1)\cdot 0+0\cdot 1|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}=0.\\ \cos((\alpha),(Oxz)) &=&\displaystyle\frac{|\sqrt{3}\cdot 0+(-1)\cdot 1+0\cdot 0|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}\cdot \sqrt{0^2+1^2+0^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}.\\ \cos((\alpha),(Oyz))&=&\displaystyle\frac{|\sqrt{3}\cdot 1+(-1)\cdot 0+0\cdot 0|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}\cdot \sqrt{1^2+0^2+0^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{eqnarray*}

Vậy \(((\alpha),(Oxy))=90^{\circ}\), \(((\alpha),(Oxz))=60^{\circ}\), \(((\alpha),(Oyz))=30^{\circ}\).

a) \((P)\) đi qua điểm \(M(-3;1;4)\) và có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(2;-4;1)\) có phương trình là \(2\cdot (x+3)-4\cdot(y-1)+1\cdot (z-4)=0 \Leftrightarrow 2x-4y+z+6=0\).

b) Ta có \(\left[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}\right]= (-11;-7;-5)\), do đó mặt phẳng \((P)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(-11;-7;-5)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) là \(-11\cdot (x-2)-7\cdot (y+1) -5\cdot (z-5)=0 \Leftrightarrow -11x-7y-5z+40=0\).

c) Do \((P) \parallel (Q)\) nên mặt phẳng \((P)\) nhận véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\) làm véc-tơ pháp tuyến. Vậy mặt phẳng \((P)\) đi qua \(I(4;0;-7)\) và \(\overrightarrow{n}_{P}=(2;1;-1)\) có phương trình là \(2\cdot (x-4)+1\cdot (y-0)-1\cdot (z+7)=0 \Leftrightarrow 2x+y-z-15=0\).

d) Mặt phẳng \((P)\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta\) nên véc-tơ chỉ phương của \(\Delta\) cũng là véc-tơ pháp tuyến của \((P)\). Vậy \((P)\) đi qua điểm \(K(-4;9;2)\) và \(\overrightarrow{n}_{P}=(2;1;5)\) nên có phương trình là \(2\cdot (x+4) +1\cdot (y-9)+5\cdot (z-2)=0 \Leftrightarrow 2x+y+5z-11=0\).

Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng \((P)\) là \(\displaystyle\frac{x}{5}+\displaystyle\frac{y}{3}+\displaystyle\frac{z}{6}=1\).

Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(I(3;-4;5)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=(2;7;-1)\) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình là

\(2(x-3)+7(y+4)-(z-5)=0 \Leftrightarrow 2x+7y-z+23=0.\)

Mặt phẳng \((P)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]=(-12;6;-3)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) là

\(-12(x+1)+6(y-2)-3(z-3)=0 \Leftrightarrow 4x-2y+z-3=0\).

a) Mặt phẳng \((P)\) qua \(I(3;-4;1)\) và nhận \(\overrightarrow{i}=(1;0;0)\) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình là

\(1(x-3)+0(y+4)+0(z-1)=0 \Leftrightarrow x-3=0.\)

b) Mặt phẳng \((P)\) qua \(K(-2;4;-1)\) và nhận \(\overrightarrow{k}=(0;1;0)\) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình là

\(0(x+2)+1(y-4)+0(z+1)=0 \Leftrightarrow y-4=0.\)

c) Mặt phẳng \((P)\) song song với mặt phẳng \((Q)\colon 3x+7y+10z+1=0\) nên \(\)(P)\colon 3x+7y+10z+d=0.\(\)

Mặt khác, \((P)\) qua \(K(-2;4;-1)\) nên

\(3\cdot (-2)+7\cdot 4+10\cdot (-1)+d=0 \Leftrightarrow d=-2.\)

Vây \((P)\colon 3x+7y+10z-2=0\).

Ta có

\(\overrightarrow{AB}=(-1;3;-1)\), \(\overrightarrow{AC}=(1;1;-1)\), \(\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(-2;-2;-4)\);

Mặt phẳng \((P)\) đi qua ba điểm \(A(1;1;1)\) và có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(-2;-2;-4)\) nên có phương trình

\(-2(x-1)-2(y-1)-4(z-1)=0 \Leftrightarrow x+y+2z-4=0.\)

a) Mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\) đi qua điểm \(O\) và vuông góc với trục \(Oz\).

Do đó mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)\).

Từ đó phương trình mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\) là

\(0\left(x-0\right)+0\left(y-0\right)+1\left(z-0\right)=0 \Leftrightarrow z=0\)

Tương tự ta có phương trình mặt phẳng \(\left( Oyz \right),\left( Oxz \right)\) lần lượt là \(x=0, y=0\).

b) Gọi \((P), (Q), (R)\) là các mặt phẳng đi qua điểm \(A\) và lần lượt song song với các mặt phẳng \(\left( Oxy \right),\left( Oyz \right),\left( Oxz \right)\).

Vì \((P)\parallel (Oxy)\) nên \((P)\) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{k}=(0;0;1)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{k}\) là

\(0\left(x+1\right)+0\left(y-9\right)+1\left(z-8\right)=0 \text{ hay } z-8=0.\)

Tương tự, ta có phương trình mặt phẳng \((Q)\) và \((R)\) lần lượt là \(x+1=0\) và \(y-9=0\).

Vì \((Q)\parallel (P)\) nên \((Q)\) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(3;-5;4)\).

Phương trình mặt phẳng \((Q)\) đi qua \(C\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) là

\(3\left(x-1\right)-5\left(y+5\right)+4\left(z-0\right)=0\) hay \(3x-5y+4z-28=0.\)

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có 2 vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AB}=\left(4;2;2\right)\) và \(\overrightarrow{n_\beta}=(2;-1;1)\). Do đó, 1 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_\beta}\right]=\left(4;0;-8\right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là

\(4\left(x-1\right)+0\left(y-0\right)-8\left(z-1\right)=0 \text{ hay } 4x-8z+4=0\) hay \(x-2y+1=0.\)

Mặt phẳng \(\left( R \right)\) có 2 vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{n_{(P)}}=\left(4;-2;6\right)\) và \(\overrightarrow{n_{(Q)}}=(2;2;2)\). Do đó, 1 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( R \right)\) là \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{n_{(P)}},\overrightarrow{n_{(Q)}}\right]=\left(-16;4;12\right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là

\(-16\left(x-1\right)+4\left(y-2\right)+12\left(z+1\right)=0\) hay \(-16x+4y+12z+20=0\) hay \(-4x+y+3z+5=0.\)

Dễ thấy điểm \(M\) không nằm trên \((P)\). Vì \((Q) \parallel (P)\) nên \((Q)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} = (2; 1; 1)\).

Phương trình mặt phẳng \((Q)\) đi qua \(M\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) là

\(2(x-1) + (y-2) + (z-3) = 0\) hay \(2x + y + z - 7 = 0\).

Vì \((P)\) đi qua điểm \(M(1 ; 2 ; 3)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(1 ; 2 ; 1)\) nên phương trình của \((P)\) là

\(1(x-1)+2(y-2)+1(z-3)=0 \Leftrightarrow x+2 y+z-8=0.\)

(P) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{a}=(1 ; 2 ; 1), \overrightarrow{b}=(2 ; 1 ; 3)\), suy ra \((P)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}]=(2.3-1.1 ; 1.2-1.3 ; 1.1-2.2)=(5 ;-1 ;-3)\).

Phương trình của \((P)\) là

\(5(x-4)-1(y-0)-3(z-1)=0 \Leftrightarrow 5 x-y-3 z-17=0.\)

\((P)\) đi qua ba điểm \(A(1; 1; 1), B(1; 2; 2), C(4; 1; 0)\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AB} = (0; 1; 1)\), \(\overrightarrow{AC} = (3; 0; -1)\),suy ra \((P)\) có vector pháp tuyến là

\(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right] = (1\cdot(-1) - 1\cdot0; 1\cdot3- 0\cdot(-1);0\cdot0 - 1\cdot3) = (-1; 3; -3)\).

Phương trình của \((P)\) là

\((-1)(x-1) + 3(y-1) - 3(z-1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 3z - 1 = 0\).

a) Do \((\beta) \parallel (\alpha)\) nên \(\overrightarrow{n}_{\beta}=\overrightarrow{n}_{\alpha}=(2;-1;2)\).

\((\beta)\) chứa điểm \(M(1;-1;2)\), có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_{\beta}=(2;-1;2)\)

\[(\beta) \colon 2(x-1)-1(y+1)+2(z-2)=0 \Leftrightarrow 2x-y+2z-7=0.\]

b) Khoảng cách từ \(M\) đến \((\alpha)\) là \(\mathrm{d}(M,(\alpha))=\displaystyle\frac{\left|2\cdot 1-(-1)+2\cdot 2+11 \right|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=6\).

a) Đi qua \( M(1;-2;4)\) và nhận \(\overrightarrow{n} =(2;3;5)\) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình là

\(2(x-1)+3(y+2)+5(z-4)=0\Leftrightarrow 2x+3y+5z-16=0.\)

b) Đi qua \( A(0;-1;2)\) và song song với giá của mỗi véc-tơ \(\overrightarrow{u}=(3;2;1) \) và \( \overrightarrow{v}=(-3;0;1)\) nên có véc-tơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]=(2;-6;6) \) có phương trình là

\(2(x-0)-6(y+1)+6(z-2)=0\Leftrightarrow x-3y+3z-18=0.\)

c) Ta có \( \overrightarrow{AB}=(3;-6;0) ,\overrightarrow{AC}=(5;3;3)\), nên véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \( (ABC)\) là

\(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(-18;-9;39).\)

Mà \((ABC)\) đi qua \( A \) nên có phương trình là

\(-18(x+1)-9(y-2)+39(z-3)=0\Leftrightarrow -18x-9y+39z-117=0.\)

d) Đi qua ba điểm \( A(-3;0;0),B(0;-2;0) \) và \( C(0;0;-1)\) có phương trình là

\(\displaystyle\frac{x}{-3}+\displaystyle\frac{y}{-2}+\displaystyle\frac{z}{-1}=1\Leftrightarrow 2x+3y+6z+6=0.\)

Gọi \( I \) là trung điểm của \( AB\Rightarrow I(3;1;-2) \).

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \( AB\) qua \( I \) và nhận \( \overrightarrow{AB}=(2;-4;4) \) là véc-tơ pháp tuyến có phương trình

\(2(x-3)-4(y-1)+4(z+2)=0\Leftrightarrow x-2y+2z+3=0.\)

}

a) Mặt phẳng \( (P) \) chứa trục \( Ox \) và điểm \( M(-4;1;2) \) nên có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM}\right]=(0;-2;1)\).

Phương trình của \( (P) \) là \( -2y+z=0 \).

b) Mặt phẳng \( (Q) \) chứa trục \( Oy \) và điểm \( N(0;4;-3) \) nên có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{j},\overrightarrow{ON}\right]=(-3;0;0)\).

Phương trình của \( (Q) \) là \( x=0 \).

c) Mặt phẳng \( (R) \) chứa trục \( Oz \) và điểm \( P(3;0;-7) \) nên có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{k},\overrightarrow{OP}\right]=(0;3;0) \).

Phương trình của \( (R) \) là \( y=0 \).

Mặt phẳng \( (\alpha) \) song song với mặt phẳng \( (\beta) \) nên có dạng \( 2x-y+3z+m=0 \,\,(m\ne 4) \).

\( M\in (\alpha)\Leftrightarrow 2\cdot1-1\cdot3+3\cdot(-2)+m=0\Leftrightarrow m=7 \) (nhận).

Vậy \( (\alpha)\colon 2x-y+3z+7=0 \).

Ta có \( \overrightarrow{AB}=(4;2;2) \) và véc-tơ pháp tuyến của \( (\beta) \) là \( \overrightarrow{n_{\beta}}=(2;-1;1) \).

Véc-tơ pháp tuyến của \( (\alpha) \) là \( \overrightarrow{n_{\alpha}}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{\beta}}\right]=(4;0;-8) \).

Mà \( (\alpha) \) đi qua \( A(1;0;1) \) nên có phương trình là

\(4(x-1)+0(y-0)-8(z-1)=0\Leftrightarrow x-2z+1=0.\)

}

Gọi \(\overrightarrow{n}_{\beta}=(2 ; -1 ; 3)\) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\beta)\).

\((\alpha)\) vuông góc với \((\beta)\) nên \(\overrightarrow{n}_{\beta}=(2 ; -1 ; 3)\) có giá song song hoặc nằm trong \((\alpha)\).

\((\alpha)\) đi qua \(A\) và \(B\) nên \(\overrightarrow{AB}=(-1 ; -2 ; 5)\) có giá nằm trong \((\alpha)\).

Hơn nữa \(\overrightarrow{A B}=(-1 ; -2 ; 5)\) và \(\overrightarrow{n}_{\beta}=(2 ; -1 ; 3)\) không cùng phương nên chúng là cặp véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng \((\alpha)\).

Do đó mặt phẳng \((\alpha)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_{\alpha}=\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{n}_{\beta}\right]=(-1 ; 13 ; 5)\).

Vậy phương trình của \((\alpha)\) là

\(-(x-3)+13(y-1)+5(z+1)=0\) hay \(x-13y-5z+5=0.\)

Gọi \(\overrightarrow{n}_{P}=(2 ; -1 ; 3)\) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left(P\right)\) và \(\overrightarrow{n}_{Q}=(1 ; 2 ; -2)\) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left(Q\right)\).

Mặt phẳng \((\alpha)\) vuông góc với hai mặt phẳng \(\left(P\right)\) và \(\left(Q\right)\) nên \(\overrightarrow{n}_{P}\), \(\overrightarrow{n}_{Q}\) là cặp véc-tơ chỉ phương của \((\alpha)\).

Do đó mặt phẳng \((\alpha)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_{\alpha}=\left[\overrightarrow{n}_{P}, \overrightarrow{n}_{Q}\right]=(-4 ; 7 ; 5)\).

Vậy phương trình của \((\alpha)\) là

\(-4(x-3)+7(y-1)+5(z+1)=0\) hay \(-4x+7y+5z+10=0.\)

\((\alpha)\) đi qua \(M_{0}(1 ; -2 ; 3)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(-2 ; 1 ; 4)\) nên có phương trình là

\(-2(x-1)+(y+2)+4(z-3)=0\) hay \(-2x+y+4z-8=0.\)

Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua điểm \(P\) và nhận \(\overrightarrow{MN}=(3; 2 ; 1)\) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình là

\(3(x-5)+2(y-2)+(z-1)=0\) hay \(3x+2y+z-20=0.\)

\((\alpha)\) có cặp véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{a}=(0 ; 2 ; 1)\), \(\overrightarrow{b}=(-1 ; 4 ; 0)\) nên \((\alpha)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\left[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right]=(-4 ; -1 ; 2)\).

Vậy \((\alpha)\) đi qua \(N(3 ; 1 ; -2)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(-4 ; -1 ; 2)\) nên có phương trình là

\(-4(x-3)-(y-1)+2(z+2)=0\) hay \(-4x-y+2z+17=0.\)

Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng cần tìm.

Ta thấy hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{c}\) cùng phương và \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) không cùng phương nên \((\alpha)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\left[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right]=(-4 ;10 ; 8)\).

Vậy \((\alpha)\) đi qua \(A(4 ; 1 ; 0)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(-4 ; 10 ; 8)\) nên có phương trình là

\(-4(x-4)+10(y-1)+8z=0\) hay \(-2x+5y+4z+3=0.\)

Mặt phẳng \((P)\) qua \(M(1;2;-1)\) vuông góc với trục \(Ox\) nên có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{i}=(1;0;0)\). Phương trình mặt phẳng \((P)\) là

\[ 1(x-1)+0(y-2)+0(z+1)=0 \Leftrightarrow x-1=0. \]

Mặt phẳng \((Q),(R)\) lần lượt có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_Q}=(3;2;-1),\overrightarrow{n_R}=(1;1;-1)\).

Mặt phẳng \((P)\) qua \(M(1;-1;5)\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\left [\overrightarrow{n_Q};\overrightarrow{n_R}\right ]=(-1;2;1)\) nên có phương trình là

\[ -1(x-1)+2(y+1)+1(z-5)=0 \Leftrightarrow -x+2y+z-2=0. \]

Đưa hình lập phương vào hệ trục tọa độ như trên hình, theo đề bài ta có \(O(0;0;0)\); \(B(a;0;0)\); \(C(a;a;0)\); \(D(0;a;0)\); \(O'(0;0;a)\); \(B'(a;0;a)\); \(C'(a;a;a)\); \(D'(0;a;a)\);

a) Ta có \(\overrightarrow{OB'}=(a;0;a)\); \(\overrightarrow{OD'}=(0;a;a)\); \(\overrightarrow{O'C}=(a;a;-a)\).

Khi đó \(\overrightarrow{O'C}\cdot \overrightarrow{OB'}=0\) và \(\overrightarrow{O'C}\cdot \overrightarrow{OD'}=0\) nên suy ra \(O'C \perp OB'\), \(O'C \perp OD'\). Do đó \(O'C \perp (OB'D')\).

b) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(OB'D'\), ta có \(G\left(\displaystyle\frac{a}{3}; \displaystyle\frac{a}{3}; \displaystyle\frac{2a}{3}\right)\).

Khi đó \(\overrightarrow{O'G}=\left(\displaystyle\frac{a}{3}; \displaystyle\frac{a}{3}; -\displaystyle\frac{a}{3}\right)\).

Ta có \(\overrightarrow{O'C}=(a;a;-a)\) và \(\overrightarrow{O'G}=\left(\displaystyle\frac{a}{3}; \displaystyle\frac{a}{3}; -\displaystyle\frac{a}{3}\right)\) suy ra \(\overrightarrow{O'C}=3\overrightarrow{O'G}\). Do đó \(O'\), \(G\), \(C\) thẳng hàng. Mà \(G\) là trọng tâm tam giác \(OB'D'\) nên suy ra \(G\) là giao điểm của đường chéo \(O'C\) và mặt phẳng \(\left(OB'D'\right)\).

c) Ta có \(\overrightarrow{C'B}= (0;-a;-a)\); \(\overrightarrow{C'D}=(-a;0;-a)\).

Khi đó \(\overrightarrow{O'C}\cdot \overrightarrow{C'B}=0\) và \(\overrightarrow{O'C}\cdot \overrightarrow{C'D}=0\) nên suy ra \(O'C \perp C'B\), \(O'C \perp C'D\).

Do đó \(O'C \perp (C'BD)\).

Ta có \(\overrightarrow{O'C}=(a;a;-a)=a(1;1;-1)\) nên mặt phẳng nhận véc-tơ \(\overrightarrow{n}_1=(1;1;-1)\) là một véc-tơ pháp tuyến.

Vậy mặt phẳng \((C'BD)\) đi qua \(B(a;0;0)\) và có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_1=(1;1;-1)\) nên có phương trình \(1\cdot (x-a)+1\cdot (y-0)-1\cdot (z-0) = 0\Leftrightarrow x+y-z-a=0\).

\(\mathrm{d}\left(B';(C'BD)\right)=\displaystyle\frac{a+0-a-a}{\sqrt{3}}=\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{3}\).

d) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left(CO'D\right)\) và \(\left(C'BD\right)\).

Ta có mặt phẳng \((C'BD)\) vó véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_1=(1;1;-1)\).

Ta có \(OD'\perp (O'CD)\) và \(\overrightarrow{OD'}=(0;a;a)=a(0;1;1)\) nên mặt phẳng \((O'CD)\) nhận véc-tơ \(\overrightarrow{n_2}=(0;1;1)\) là một véc-tơ pháp tuyến.

\(\cos \left((CO'D);(C'BD)\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n}_1\cdot \overrightarrow{n}_2\right|}{\left|\overrightarrow{n}_1\right| \cdot \left|\overrightarrow{n}_2\right|}= 0\).

a) Ta có \(\overrightarrow{SA}=\left(\displaystyle\frac{a}{2};0;-\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\) và \(\overrightarrow{CD}=\left(a;0;0\right)\).

Khi đó

\(\cos\left(SA,CD\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{CD}\right|}{\left|\overrightarrow{SA}\right|\cdot\left|\overrightarrow{CD}\right|}=\displaystyle\frac{\left|\displaystyle\frac{a}{2}\cdot a+0\cdot0+\left(-\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\cdot0\right|}{\sqrt{\left(\displaystyle\frac{a}{2}\right)^2+0^2+\left(-\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}\cdot\sqrt{a^2+0^2+0^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Vậy \(\left(SA,CD\right)=60^\circ\).

b) Ta có

\(\overrightarrow{AC}=\left(-a;a;0\right)\). Khi đó mặt phẳng \((SAC)\) có véc-tơ pháp tuyến cùng phương với véc-tơ

\(\left[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{AC}\right]=\left(\displaystyle\frac{a^2\sqrt{3}}{2};\displaystyle\frac{a^2\sqrt{3}}{2};\displaystyle\frac{a^2}{2}\right)=\displaystyle\frac{a^2}{2}\left(\sqrt{3};\sqrt{3};1\right).\)

Suy ra một véc-tơ pháp tuyến của \((SAC)\) là \(\overrightarrow{n}=\left(\sqrt{3};\sqrt{3};1\right)\).

Ta lại có \(\overrightarrow{SD}=\left(\displaystyle\frac{a}{2};a;-\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\), suy ra \(SD\) có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\left(1;2;-\sqrt{3}\right)\).

Do đó \(\sin\left(SD,(SAC)\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n}\right|}=\displaystyle\frac{\left|\sqrt{3}\cdot1+\sqrt{3}\cdot2+1\cdot\left(-\sqrt{3}\right)\right|}{\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2+\left(\sqrt{3}\right)^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2+2^2+\left(-\sqrt{3}\right)^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{42}}{14}\).

Vậy \(\left(SD,(SAC)\right)\approx28^\circ\).

a) Ta thấy \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OD}=(0;3;0)\) nên

\(\begin{cases}x_C-2=0\\ y_C-0=3\\z_C-0=0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_C=2\\y_C=3\\z_C=0.\end{cases}\)

Suy ra \(C(2;3;0)\).

b) Mặt phẳng \((SBD)\) cắt ba trục tọa độ tại \(B(2;0;0)\), \(D(0;4;0)\) và \(S(0;0;4)\) nên có phương trình

\((SBD)\colon \displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{y}{3}+\displaystyle\frac{z}{4}=1 \Leftrightarrow 6x+4y+3z-12=0.\)

c) Khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \((SBD)\) là

\(\mathrm{d}\left(C,(SBD)\right)=\displaystyle\frac{\left|12+12+0-12\right|}{\sqrt{36+16+9}}=\displaystyle\frac{12\sqrt{61}}{61}.\)

Trong hình vuông \(A D D^{\prime} A^{\prime}\), ta có: \(A D^{\prime} \perp D A^{\prime}\).

Do \(CD \perp\left(A D D^{\prime} A^{\prime}\right)\) nên \(A D^{\prime} \perp C D\).

Suy ra \(A D^{\prime} \perp\left(C D A^{\prime} B^{\prime}\right)\).

Mặt khác, ta có: \(A A^{\prime} \perp(A B C D)\), suy ra góc giữa hai mặt phẳng \((A B C D)\) và \(\left(C D A^{\prime} B^{\prime}\right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(A A^{\prime}\) và \(A D^{\prime}\), đó là góc \(A^{\prime} A D^{\prime}\).

Vì tam giác \(A^{\prime} A D^{\prime}\) vuông cân tại \(A^{\prime}\) nên \(\widehat{A^{\prime} A D^{\prime}}=45^{\circ}\).

Vậy \(\left((A B C D),\left(C D A^{\prime} B^{\prime}\right)\right)=\widehat{A^{\prime} A D^{\prime}}=45^{\circ}\).

a) Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(-1;1;0 \right) \), \(\overrightarrow{AC}=\left(-1;0;1 \right)\), \(\overrightarrow{AD}=\left(-3;1;-1 \right)\),

\(\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right]=\left(1;1;1 \right) \).

\(\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right]\cdot \overrightarrow{AD}=-3+1-1=-3\ne 0\). Do đó \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) là bốn đỉnh của một hình chóp.

b) Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(-1;1;0 \right) \), \(\overrightarrow{CD}=\left(-2;1;-2 \right) \).

Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) ta có

\(\cos\varphi=\displaystyle\frac{\left| \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}\right| }{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{CD}|}=\displaystyle\frac{\left| 2+1+0\right| }{\sqrt{1+1+0}\cdot\sqrt{4+1+4}}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \varphi=45^{\circ}.\)

Vậy góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) là \(\varphi=45^{\circ}\).

c) Ta có \(V=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot\left| \left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right]\cdot \overrightarrow{AD}\right| =\displaystyle\frac{1}{6}\cdot 3=2\).

\(\overrightarrow{BC}=\left(0;-1;1\right)\), \(\overrightarrow{BD}=\left(-2;0;-1\right)\),

\(S_{BCD}=\displaystyle\frac{1}{2}\left|\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}\right] \right|=\displaystyle\frac{3}{2}\).

Gọi \(AH\) là đường cao kẻ từ \(A\) của hình chóp \(A.BCD\). Khi đó

\(AH=\displaystyle\frac{3V}{S_{BCD}}=4\).

a) \(\overrightarrow{BC}=\left(-1;2;-7\right)\), \(\overrightarrow{BD}=\left(0;4;-6\right)\);

\(\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=\left(16; -6; -4\right)\).

Mặt phẳng \((B C D)\) đi qua \(B\left(1; 0; 6\right)\) và nhận \(\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=\left(16; -6; -4\right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng \(\left(BCD\right)\) là

\(16\left(x-1\right)-6\left(y-0\right)-4\left(z-6\right)=0\Leftrightarrow 8x-3y-2z+10=0.\)

Ta có \(-16-18-6+10=-30\ne 0\) nên \(A\left(-2; 6; 3\right)\notin \left(BCD\right)\). Suy ra \(A B C D\) là một tứ diện.

b) Chiều cao \(A H\) của tứ diện \(A B C D\) là

\(AH=\mathrm{d}\left(A,\left(BCD\right)\right)=\displaystyle\frac{\left| -16-18-6+10\right| }{\sqrt{8^2+(-3)^2+(-2)^2}}=\displaystyle\frac{30}{\sqrt{77}}.\)

c) \(\overrightarrow{AB}=\left(3;-6;3\right)\), \(\overrightarrow{CD}=\left(1;2;1\right)\).

Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua \(B\left(1; 0; 6\right)\) và nhận \(\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right]=\left(-12; 0; 12\right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình \(\left(\alpha\right)\) là

\(-12\left(x-1\right)+0\left(y-0\right)+12\left(z-6\right)=0\Leftrightarrow -x+z-5=0\).

Vậy phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) chứa \(A B\) và song song với \(C D\) là \(-x+z-5=0\).

Xét hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho các điểm có tọa độ như sau: \(O(0;0;0)\), \(O'(2a;0;0)\), \(B(0;3a;0)\), \(C(0;0;1a)\).

Trong không gian \(Oxyz\) vừa chọn, ta có \(B'(2a;3a;0)\), \(C'(2a;0;1a)\), \(\overrightarrow{BO}'=(0;-3a;0)\), \(\overrightarrow{CB}'=(2a;3a;-a)\).

a) Hai đường thẳng \(BO'\) và \(B'C\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow{u}=(0;3;0)\), \(\overrightarrow{v}=(2;3;-1)\).

Ta có

\begin{eqnarray*}\cos (BO',B'C)&=&\displaystyle\frac{\left |\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} \right |}{\left |\overrightarrow{u} \right |\cdot\left |\overrightarrow{v} \right |}\\&=&\displaystyle\frac{\left |0\cdot 2+3\cdot 3+0\cdot (-1) \right |}{\sqrt{3^2}\cdot\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}}=\displaystyle\frac{3}{\sqrt{14}}.\end{eqnarray*}

Suy ra \((BO',B'C)\approx 36^{\circ}42'\).

b) Ta có phương trình mặt phẳng \((O'BC)\) theo đoạn chắn là \(\displaystyle\frac{x}{2a}+\displaystyle\frac{y}{3a}+\displaystyle\frac{z}{a}=1\) hay \(3x+2y+6z-6a=0\).

Mặt phẳng \((O'BC)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(3;2;6)\), mặt đáy \((OBC)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{k}=(0;0;1)\). Gọi \(\alpha\) là góc giữa mặt phẳng \((O'BC)\) và mặt đáy.

Ta có \(\cos\alpha =\displaystyle\frac{\left |\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{k} \right |}{\left |\overrightarrow{n} \right |\cdot\left |\overrightarrow{k} \right |}=\displaystyle\frac{\left |3\cdot 0+2\cdot 0+6\cdot 1 \right |}{\sqrt{3^2+2^2+6^2}\cdot\sqrt{1^2}}=\displaystyle\frac{6}{7}\).

Suy ra \(\left ((O'BC),(OBC) \right )\approx 31^{\circ}1'\).

c) Gọi \(\beta\) là góc giữa đường thẳng \(B'C\) và mặt phẳng \((O'BC)\).

Ta có \(\sin\beta =\displaystyle\frac{\left |\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{n} \right |}{\left |\overrightarrow{v} \right |\cdot\left |\overrightarrow{n} \right |}=\displaystyle\frac{\left |2\cdot 3+3\cdot 2+(-1)\cdot 6 \right |}{\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{3^2+2^2+6^2}}=\displaystyle\frac{3\sqrt{14}}{49}\).

Suy ra \((B'C,(O'BC))\approx 13^{\circ}15'\).

Chọn hệ tọa độ \(Oxyz\) sao cho các điểm có tọa độ như sau: \(A(0;0;0)\), \(B(2a;0;0)\), \(D(0;3a;0)\), \(S(0;0;2a)\).

Trong không gian \(Oxyz\) vừa chọn, ta có \(C(2a;3a;0)\), \(\overrightarrow{SC}=(2a;3a;-2a)\), \(\overrightarrow{BD}=(-2a;3a;0)\).

a) Hai đường thẳng \(SC\) và \(BD\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow{u}=(2;3;-2)\), \(\overrightarrow{v}=(-2;3;0)\).

Ta có

\begin{eqnarray*}\cos (SC,BD)=\displaystyle\frac{\left |2\cdot (-2)+3\cdot 3+(-2)\cdot 0 \right |}{\sqrt{2^2+3^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{(-2)^2+3^2+0^2}}=\displaystyle\frac{5}{\sqrt{221}}.\end{eqnarray*}

Suy ra \((SC,BD)\approx 70^{\circ}21'\).

b) Ta có phương trình mặt phẳng \((SBD)\) theo đoạn chắn là \(\displaystyle\frac{x}{2a}+\displaystyle\frac{y}{3a}+\displaystyle\frac{z}{2a}=1\) hay \(3x+2y+3z-6a=0\).

Mặt phẳng \((SBD)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(3;2;3)\), mặt đáy \((ABCD)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{k}=(0;0;1)\).

Gọi \(\alpha\) là góc giữa mặt phẳng \((SBD)\) và mặt đáy.

Ta có \(\cos\alpha =\displaystyle\frac{\left |\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{k} \right |}{\left |\overrightarrow{n} \right |\cdot\left |\overrightarrow{k} \right |}=\displaystyle\frac{\left |3\cdot 0+2\cdot 0+3\cdot 1 \right |}{\sqrt{3^2+2^2+3^2}\cdot\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\displaystyle\frac{3}{\sqrt{22}}\).

Suy ra \(\left ((SBD),(ABCD) \right )\approx 50^{\circ}14'\).

c) Gọi \(\beta\) là góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((SBD)\).

Ta có \(\sin\beta =\displaystyle\frac{\left |\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n} \right |}{\left |\overrightarrow{u} \right |\cdot\left |\overrightarrow{n} \right |}=\displaystyle\frac{\left |2\cdot 3+3\cdot 2+(-2)\cdot 3 \right |}{\sqrt{2^2+3^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{3^2+2^2+3^2}}=\displaystyle\frac{6}{\sqrt{374}}\).

Suy ra \(\left (SC,(SBD) \right )\approx 18^{\circ}4'\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Axyz\) với \(A\left(0;0;0\right)\) là gốc tọa độ, \(AB\) là trục \(Ax\), \(AC\) là trục \(Ay\) và \(AS\) là trục \(Az\). Khi đó ta có

\(\)B\left(2;0;0\right), D\left(0;5;0\right), S\left( 0;0;3\right)\(\)

Vì \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) nên

\(\left\{\begin{array}{l}x_D-x_A=x_C-x_B\\y_D-y_A=y_C-y_B\\z_D-z_A=z_C-z_B\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}0-0=x_C-2\\5-0=y_C-0\\0-0=z_C-0\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x_C=2\\y_C=5\\z_C=0\end{array}\right. \Rightarrow C\left(2;5;0\right)\)

Mặt phẳng \(\left(SBC\right)\) có hai vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{SB}=\left(2;0;-3\right)\) và \(\overrightarrow{SB}=\left(2;5;-3\right)\). Do đó mặt phẳng \(\left(SBC\right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}\right]=\left(15;0;10\right)\).

Phương trình tổng quát của \(\left(SBC\right)\) là

\(15\cdot \left( x-0\right)+0\cdot \left( y-0\right)+10\cdot \left(z-3 \right)=0\) hay \(15x+10z-30=0\) hay \(3x+2z-6=0\)

Khi đó, khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left(SBC\right)\) là

\(d(A,(SBC))=\displaystyle\frac{\left| 3\cdot 0 +2 c\cdot 0 -6\right|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\displaystyle\frac{6 \sqrt{13}}{13}\)

a) Mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AB}=\left(-4;5;-1\right),\overrightarrow{AC}=\left(0;-1;1\right)\), suy ra \((ABC)\) có vectơ pháp tuyến là

\(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(4;4;4\right)\)

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là

\(4\left(x-4\right)+4\left(y-0\right)+4\left(z-2\right)=0 \text{ hay } 4x+4y+4z-24=0 \text{ hay } x+y+z-6=0.\)

Tương tự ta có phương trình mặt phẳng \((ABD)\) là \(14x+13y+9z-74=0\).

b) Ta có mặt phẳng \((P)\) có hai vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{AD}\). Do đó, mặt phẳng \((P)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AD}\right]=\left(-16;-14;-10\right)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) là

\(-16\left(x-4\right) -14\left(y-0\right) -10\left(z-2\right)=0 \text{ hay } -16x-14y-10z+84=0 \text{ hay } 8x+7y+5z-42=0.\)

Ta có: \(AC=AB\sqrt{2}=2a\)

Suy ra \(OA=OB=OC=OD=a\)

Từ hình vẽ ta có

\(S(0;0;2), A(-1;0;0), B(0;1;0), C(1;0;0)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left(SAB\right)\) là

\(\displaystyle\frac{x}{-1}+\displaystyle\frac{y}{1}+\displaystyle\frac{z}{2}=1 \Leftrightarrow -2x+2y+z-2=0\)

Khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( SAB\right)\) là

\(d\left(C, \left( SAB\right)\right) = \displaystyle\frac{\left| -2 \cdot 1 + 2\cdot 0 + 0 -2 \right|}{\sqrt{\left(-2\right)^2 + 2^2 +1^2}}=\displaystyle\frac{4}{3}\)

Mặt phẳng \((ABC)\) đi qua ba điểm \(A(1; 1; 1)\), \(B(2; 3; 4)\), \(C(5; 2; 3)\) nên có cặp véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AB} = (1; 2; 3)\), \(\overrightarrow{AC}= (4; 1; 2)\), suy ra \((ABC)\) có véctơ pháp tuyến

\(\overrightarrow{n}= (2\cdot 2 - 3\cdot1; 3\cdot4 - 1\cdot2; 1 - 2\cdot4) = (1; 10; -7)\).

Phương trình của \((ABC)\) là \((x-1) + 10(y-1) - 7(z-1) = 0\) hay \( x + 10y - 7z = 0\).

Chiều cao \(SH\) của hình chóp \(S.ABC\) chính là khoảng cách từ điểm \(S\) đến \((ABC)\).

Ta có \(SH = \mathrm{d}[S,(ABC)]=\displaystyle\frac{\left|1\cdot5 + 10\cdot0 + (-7)\cdot1 -4\right|}{\sqrt{1^2 + 10^2 + (-7)^2}} = \displaystyle\frac{6}{5\sqrt{6}} = \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{5}\).

Ta có \( B'(0;1;1) \), \( C(1;1;0) \), \( C'(1;1;1) \), \( D'(1;0;1) \).

a) Ta có \( \overrightarrow{A'C} =(1;1;-1)\), \( \overrightarrow{AD'} =(1;0;1)\), \( \overrightarrow{B'A} =(0;-1;-1)\).

Suy ra \( \overrightarrow{A'C}\cdot \overrightarrow{AD'}=0 \), \( \overrightarrow{A'C}\cdot \overrightarrow{B'A}=0 \).

Do đó \(\begin{cases}A'C\perp AD'\\A'C\perp B'A\\\text{Trong } (AB'D'),\, AD'\cap B'A=A\end{cases} \) suy ra \(A'C \perp\left(A B'D'\right)\).

b) Ta có \(\begin{cases}AB'\parallel DC'\\AD'\parallel BC'\\\text{Trong } (AB'D'),\, AB'\cap AD'=A\\\text{Trong } (C'BD),\, DC'\cap BC'=C'\end{cases}\) suy ra \(\left(A B'D'\right) \parallel\left(C'B D\right)\).

Gọi \( I \), \(I'\) lần lượt là tâm hình vuông \( ABCD \), \( A'B'C'D' \).

Kẻ \( IH\perp AI' \).

Ta có \( \begin{cases}B'D'\perp AA'\\B'D'\perp A'C'\\\text{Trong } \left(A CC'A'\right),\, AA'\cap A'C=A'\end{cases}\) suy ra \(B'D'\perp \left(A CC'A'\right) \).

Nên \(B'D'\perp IH \).

Ta có \( \begin{cases}IH\perp AI'\\IH\perp B'D'\\\text{Trong } \left(A B'D'\right),\, AI'\cap B'D'=I'\end{cases}\) suy ra \(IH\perp \left(A B'D'\right) \).

Do đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left(A B'D'\right)\) và \(\left(C'B D\right)\) là

\[\mathrm{d}(\left(A B'D'\right),\left(C'B D\right))=\mathrm{d}(I,\left(A B'D'\right))=IH.\]

Xét tam giác \( IAI' \) vuông tại \( I \) có \( II'=1 \), \( IA=\displaystyle\frac{AC}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Suy ra \( IH=\displaystyle\frac{II'\cdot IA}{\sqrt{II'^2+IA^2}}=\displaystyle\frac{1\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1^2+\left(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}} =\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\).

Vậy \( \mathrm{d}(\left(A B'D'\right),\left(C'B D\right))=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} \).

c) Ta có \( \overrightarrow{DA'}=(-1;0;1) \), \( \overrightarrow{DC'}=(0;1;1) \).

\( \left[\overrightarrow{DA'},\overrightarrow{DC'} \right]=(-1;1;-1)\).

Mặt phẳng \((\left(DA'C'\right)\) và \(\left(ABB'A'\right)\) lần lượt có các véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(-1; 1;-1)\) và \(\overrightarrow{AD}=(1;0;0)\).

Ta có

\[\cos \left((\left(DA'C'\right),\left(ABB'A'\right)\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AD}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right| \cdot\left|\overrightarrow{AD}\right|}=\displaystyle\frac{|-1 \cdot 1+1 \cdot 0+(-1)\cdot0|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+0^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}.\]

Vậy \((\left(DA'C'\right),\left(ABB'A'\right))\approx 54{,}74^{\circ}\).

a) Vì \(\overrightarrow{A B}\) và \(\overrightarrow{A D}\) không cùng phương và có giá nằm trong mặt phẳng \((A B C D)\) nên \(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}\) là một cặp vectơ chỉ phương của \((A B C D)\).

b) Vì \(A A' \perp(A B C D)\) nên \(\overrightarrow{A A'}\) là một vectơ pháp tuyến của \((A B C D)\).

Mặt phẳng \(\left(OAB\right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1}=\left[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right]=\left(0;0;ab\right)=ab(0,0,1)\).

Mặt phẳng \(\left(OCB\right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_2}=\left[\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\right]=\left(bc;0;0\right)=bc(1,0,0)\).

Mặt phẳng \(\left(OAC\right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_3}=\left[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\right]=\left(0;-ac;0\right)=-ac(0,1,0)\).

Mặt phẳng \(\left(ABC\right)\) có phương trình là \(\displaystyle\frac{x}{a}+\displaystyle\frac{y}{b}+\displaystyle\frac{z}{c}=1\) hay

\(bcx+acy+abz=abc\).

Do đó, \((ABC)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_4}=\left(bc,ac,ab\right)\).

Ta có

\(\cos\alpha=\displaystyle\frac{ab}{\sqrt{(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2}}\);

\(\cos\beta=\displaystyle\frac{bc}{\sqrt{(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2}}\);

\(\cos\gamma=\displaystyle\frac{ac}{\sqrt{(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2}}\).

Suy ra \(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\).

a) Ta có \(\overrightarrow{BC}=(-1;2;-7)\) và \(\overrightarrow{BD}=(0;4;-6)\).

Do đó \(\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=(16;-6;-4)\) là một véc-tơ pháp tuyến của \((BCD)\).

Chọn \(\overrightarrow{n}=(8;-3;-2)\) là véc-tơ pháp tuyến của \((BCD)\).

Phương trình mặt phẳng \((BCD)\) đi qua \(B(1;0;6)\) và nhận \(\overrightarrow{n_1}=(8;-3;-2)\) là véc-tơ pháp tuyến là

\[(BCD) \colon 8(x-1)-3(y-0)-2(z-6)=0 \Leftrightarrow 8x-3y-2z+4=0.\]

Do \(8\cdot (-2)-3\cdot 6-2\cdot 3+4=-36 \ne 0\) nên điểm \(A(-2;6;3)\) không thuộc \((BCD)\).

Suy ra \(A.BCD\) là một hình chóp.

b) Chiều cao \(AH\) của hình chóp \(A.BCD\) là khoảng cách từ \(A\) đến \((BCD)\). Ta có

\[\mathrm{d}(A,(BCD))=\displaystyle\frac{\left|-36\right|}{\sqrt{8^2+(-3)^2+(-2)^2}}=\displaystyle\frac{36\sqrt{77}}{77}.\]

c) \((\alpha)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\) nên nhận tích có hướng của \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) làm véc-tơ pháp tuyến.

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(3;-6;3)\), \(\overrightarrow{CD}=(1;2;1)\) và \(\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right]=(-12;0;12)\).

\((\alpha)\) qua \(A(-2;6;3)\) và nhận \(\overrightarrow{n_2}=(-1;0;1)\) làm véc-tơ pháp tuyến. Ta có \[(\alpha) \colon -1(x+2)+0(y-6)+1(z-3)=0 \Leftrightarrow -x+z-5=0.\]

a) \((ABC)\) đi qua \(A(1;0;0)\), \(B(0;1;0)\), \(C(0;0;1)\) nên

\((ABC) \colon \displaystyle\frac{x}{1}+\displaystyle\frac{y}{1}+\displaystyle\frac{z}{1}=1\).

Véc-tơ pháp tuyến của \((ABC)\) là \(\overrightarrow{n}_{1}=(1;1;1)\).

Mặt khác \(\overrightarrow{BC}=(0;-1;1)\), \(\overrightarrow{BD}=(-2;0;-1)\) và \(\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}\right]=(1;-2;-2)\).

Véc-tơ pháp tuyến của \((BCD)\) là \(\overrightarrow{n}_2=(1;-2;-2)\).

Ta có \(\cos\left((ABC),(BCD)\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n}_1\cdot \overrightarrow{n}_2\right|}{\left|\overrightarrow{n}_1\right|\cdot \left| \overrightarrow{n}_2\right|}=\displaystyle\frac{\left|1\cdot 1+1\cdot (-2)+1\cdot (-2)\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} \)

\(\Rightarrow \left((ABC),(BCD)\right) \approx 54{,}7^{\circ}\).

b) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-1;1;0)\) và \(\overrightarrow{CD}=(-2;1;-2)\) lần lượt là véc-tơ chỉ phương của \(AB\) và \(CD\).

\(\cos(AB,CD)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}\right|}{\left|\overrightarrow{AB} \right|\cdot \left|\overrightarrow{CD}\right|}=\displaystyle\frac{\left|(-1)\cdot (-2)+1\cdot 1+0\cdot (-2)\right|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}\sqrt{(-2)^2+1^2+(-2)^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow (AB,CD)=45^{\circ}\).

c) Đường thẳng \(AB\) có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=(-1;1;0)\).

Mặt phẳng \((BCD)\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_2}=(1;-2;-2)\).

\(\sin(AB,(BCD))=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{n}_2 \right|}{\left|\overrightarrow{u} \right|\cdot \left|\overrightarrow{n}_2 \right|}=\displaystyle\frac{\left|-1\cdot 1+1 \cdot (-2)+0\cdot (-2) \right|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow (AB,(BCD))=45^{\circ}\).

Ta có \(AC=BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với gốc tọa độ \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) như hình vẽ.

Gọi \(z\) là chiều cao của lều.

Ta có \(O(0;0;0),A(2\sqrt{2};0;0),B(0;2\sqrt{2};0),C(-2\sqrt{2};0;0),D(0;-2\sqrt{2};0),S(0;0;z)\), với \(z>0\).

Ta có \(\overrightarrow{AD}=(-2\sqrt{2};-2\sqrt{2};0),\overrightarrow{AB}=(-2\sqrt{2};2\sqrt{2};0),\overrightarrow{AS}=(-2\sqrt{2};0;z)\).

Vectơ pháp tuyến của \((SAD)\) là \(\overrightarrow{n_1}=[\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AS}]=(-2z\sqrt{2};2z\sqrt{2};-8)\).

Vectơ pháp tuyến của \((SAB)\) là \(\overrightarrow{n_2}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AS}]=(2z\sqrt{2};2z\sqrt{2};8)\).

Ta có

\begin{eqnarray*}\cos((SAD),(SAB))&=&\displaystyle\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}\\ &=&\displaystyle\frac{|-2z\sqrt{2}\cdot 2z\sqrt{2}+2z\sqrt{2}\cdot 2z\sqrt{2}+8\cdot(-8)|}{\sqrt{(-2z\sqrt{2})^2+(2z\sqrt{2})^2+(-8)^2}\cdot \sqrt{(2z\sqrt{2})^2+(2z\sqrt{2})^2+8^2}}\\ &=&\displaystyle\frac{64}{16z^2+64}.\end{eqnarray*}

Vì góc giữa hai mặt bên bằng \(60^{\circ}\) nên góc giữa hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SAB)\) bằng \(60^{\circ}\).

Do đó

\(\cos 60^{\circ}=\displaystyle\frac{64}{16z^2+64} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{64}{16z^2+64}\Leftrightarrow 16z^2+64=128\Leftrightarrow z=2\), \(z=-2\).

Vì \(z>0\) nên ta có \(S(0;0;2)\).

Vậy chiều cao của lều là \(2\) m.

a) Gọi \( D(x_D;y_D;z_D) \Rightarrow \overrightarrow{DC}=(7-x_D;7-y_D;5-z_D)\).

\( ABCD \) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow \begin{cases}1=7-x_D\\2=7-y_D\\3=5-z_D\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_D=6\\y_D=5\\z_D=2\end{cases}\Rightarrow D(6;5;2)\).

+) Ta có \( \overrightarrow{AB}=(1;2;3) \), \(\overrightarrow{AC}=(6;6;4)\).

Véc-tơ pháp tuyến của \( (ABCD) \) là \( \overrightarrow{n}_1=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(-10;14;-6) \).

Mà \( (ABCD) \) qua \( A(1;1;1) \) nên có phương trình là

\(-10(x-1)+14(y-1)-6(z-1)=0\Leftrightarrow -5x+7y-3z+1=0.\)

+) Ta có \(\overrightarrow{SC}-(10;5;-1)\), \(\overrightarrow{SD}=(9;3;-4)\).

Véc-tơ pháp tuyến của \( (SCD) \) là

\(\overrightarrow{n}_1=\left[\overrightarrow{SC},\overrightarrow{SD}\right]=(-17;31;-15).\)

Mà \( (SCD) \) qua \( S(-3;2;6) \) nên có phương trình là

\(-17(x+3)+31(y-2)-15(z-6)=0\Leftrightarrow -17x+31y-15z-23=0.\)

b) Gọi \( h \) là chiều cao của hình chóp \( S.ABCD \).

Khi dó \( h=\mathrm{d}(S,(ABCD))=\displaystyle\frac{|-5\cdot (-3)+7\cdot2-3\cdot6+1|}{\sqrt{(-5)^2+7^2+(-3)^2}}=\displaystyle\frac{12\sqrt{83}}{83}\).

a) Ta có

\( \overrightarrow{BC}=(8;0;4)\), \(\overrightarrow{BD}=(4;3;5)\) nên véc-tơ pháp tuyến của \( (BCDF) \) là \(\overrightarrow{n}_1=\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}\right]=(-12;-24;24)\).

Mà \( (BCDF) \) qua \( B(-3;-1;-4) \) có phương trình là

\(-12(x+3)-24(y+1)+24(z+4)=0 \Leftrightarrow x+2y-2z-3=0.\)

\(\overrightarrow{CD}=(-4;3;1)\), \(\overrightarrow{AE}=(x_E-2;y_E+1;z_E-6)\).

\( ACDE \) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AE}\)

\( \Leftrightarrow \begin{cases}-4=x_E-2\\3=y_E+1\\1=z_E-6\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_E=-2\\y_E=2\\z_E=7\end{cases}\Rightarrow E(-2;2;7)\).

Ta có \(\overrightarrow{AE}=(-4;3;1)\), \(\overrightarrow{AB}=(-5;0;-10) \) nên véc-tơ pháp tuyến của \( (ABFE) \) là \( \overrightarrow{n}_2=\left[\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AB}\right]=(-30;-45;15) \).

Mà \( (ABFE) \) qua \( A(2;-1;6)\) nên có phương trình là

\(-30(x-2)-45(y+1)+15(z-6)=0 \Leftrightarrow -2x-3y+z-5=0.\)

\(\overrightarrow{CD}=(-4;3;1)\), \(\overrightarrow{BF}=(x_F+3;y_F+1;z_F+4)\).

\( CDFB \) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BF} \)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}-4=x_F+3\\3=y_F+1\\1=z_F+4\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_F=-7\\y_F=2\\z_F=-3\end{cases}\Rightarrow F(-7;2;-3) \).

Ta có \(\overrightarrow{EF}=(-5;0;-10)\), \(\overrightarrow{ED}=(3;0;-6) \) nên véc-tơ pháp tuyến của \( (DEF) \) là\\ \( \overrightarrow{n_3}=\left[\overrightarrow{EF},\overrightarrow{ED}\right]=(0;-60;0) \).

Mà \((DEF) \) qua \( E(-2;2;7)\) nên có phương trình là

\(0(x+2)-60(y-2)+0(z-7)=0\Leftrightarrow y-2=0.\)

b) Khoảng cách từ \( A \) đến \( (BCDF) \)

là \(\mathrm{d}(A,(BCDF))=\displaystyle\frac{\left|1\cdot2+2\cdot(-1)-2\cdot6-3\right|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=5\).

Khoảng cách từ \( A \) đến \( (DEF)\) là

\(\mathrm{d}(A,(DEF))=\displaystyle\frac{\left|0\cdot2+1\cdot(-1)+0\cdot6-2\right|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}=3\).

Hai vectơ \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{CA}\) có giá trùng với \(d\), hai vectơ \(\overrightarrow{A_1C_1}\) và \(\overrightarrow{C_1A_1}\) có giá song song với \(d\)

(do \(AC\parallel A'C'\)).

Vậy ta có bốn vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CA},\overrightarrow{A'C'}, \overrightarrow{C'A'}\).

Ta có: \(d=(SAB)\cap (SCD)=SD\). Vậy vec-tơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow{SD}\) hay \(\overrightarrow{DS}\).

a) Ta có \( \overrightarrow{AC}=(0;-1;1),\overrightarrow{AD}=(-1;-1;3),\overrightarrow{BC}=(4;-6;2),\overrightarrow{BD}=(4;-6;4) \).

Mặt phẳng \( (ACD) \) qua \( A(5;1;3) \) và có véc-tơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]=(-2;-1;-1) \) có phương trình là

\(-2(x-5)-(y-1)-(z-3)=0\Leftrightarrow 2x+y+z-14=0.\)

Mặt phẳng \( (BCD) \) qua \( B(1;6;2) \) và có véc-tơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}\right]=(-12;-8;0)\) có phương trình là

\(-12(x-1)-8(y-6)-0(z-3)=0\Leftrightarrow 3x+2y-15=0.\)

b) Ta có \( \overrightarrow{AB}=(-4;5;-1) \), \(\overrightarrow{CD}=(-1;0;2)\).

Mặt phẳng \( (\alpha) \) chứa cạnh \( AB \) và song song với cạnh \( CD \) qua \( A(5;1;3) \) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right]=(10;9;5) \) có phương trình là

\(10(x-5)+9(y-1)+5(z-3)=0\Leftrightarrow 10x+9y+5z-74=0.\)

a) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-1 ; -2 ; 5)\), \(\overrightarrow{AC}=(-3 ; 1 ; 2)\) là cặp véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left(ABC\right)\) nên một véc-tơ pháp tuyến của \(\left(ABC\right)\) là \(\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right]=(-9 ; -13 ; -7)\).

Mặt phẳng \(\left(ABC\right)\) đi qua \(A(3 ; 1 ; -1)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(-9 ; -13 ; -7)\) nên có phương trình là

\(-9(x-3)-13(y-1)-7(z+1)=0 \qquad \text{hay } -9x-13y-7z+33=0.\)

Ta có \(\displaystyle\frac{9}{-9}=\displaystyle\frac{13}{-13}=\displaystyle\frac{7}{-7} \neq \displaystyle\frac{0}{33}\) nên \(\left(ABC\right) \parallel \left(\alpha\right)\).

b) Mặt phẳng \(\left(A'B'C'\right)\) song song \(\left(ABC\right)\) và đi qua điểm \(A'(3 ; 2 ; -5)\) nên có phương trình là

\(9(x-3)+13(y-2)+7(z+5)=0 \qquad \text{hay } 9x+13y+7z+15=0.\)

a) Véc-tơ pháp tuyến của các mặt phẳng \((ABCD)\), \((SAB)\), \((SAD)\) và \((SAC)\) lần lượt là

\(\overrightarrow{SA}\) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABCD)\).

\(\overrightarrow{AD}\) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAB)\).

\(\overrightarrow{AB}\) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAD)\).

\(\overrightarrow{BD}\) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAC)\).

b) Hai cặp véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng \((SCD)\) là \(\overrightarrow{SC}\), \(\overrightarrow{CD}\) và \(\overrightarrow{SC}\), \(\overrightarrow{SD}\).

Bốn véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left(AA'B'B\right)\) là \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{A'D'}\), \( \overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{B'C'}\).

Hai cặp véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng \((AA'B'B)\) là \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AA'}\) và \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AB'}\).

Đường thẳng \(B C^{\prime}\) nhận các vectơ \(\overrightarrow{B C^{\prime}}, \overrightarrow{C^{\prime}B}, \overrightarrow{A D^{\prime}}, \overrightarrow{D^{\prime}A}\) là các vectơ chỉ phương.

a) Ta có phương trình tham số của đường thẳng \(GH\) là \(\begin{cases}x=1+t \\y=0,5+2t\\ z=2t\end{cases}\), \(t\in \mathbb{R}\).

\(\sin \left(d; (Oxy)\right) = \left|\cos\left(\overrightarrow{u}_{d}; \overrightarrow{n}_{Oxy}\right)\right| = \displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{u}_{d}\cdot \overrightarrow{n}_{Oxy}\right|}{\left|\overrightarrow{u}_{d}\right| \cdot \left| \overrightarrow{n}_{Oxy}\right|} = \displaystyle\frac{\left|1\cdot 0 + 2\cdot 0 + 2\cdot 1\right|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\displaystyle\frac{2}{3}\).

\(\Rightarrow \left(d;(Oxy)\right)\approx 41^{\circ} 49'\).

Vậy góc \(\theta\) mà đường bay tạo với phương ngang xấp xỉ \(41^{\circ} 49'\).

b) Ta có điểm \(M\left(2;2,5;4\right)\) nằm trên đường thẳng \(GH\).

Hình chiếu của \(M\) lên mặt phẳng \((Oxy)\) là \(N(2;2,5;0)\) và điểm \(N\) nằm trên đường thẳng \(GF\).

Vậy \(GF\) đi qua \(G(1;0,5;0)\) và nhận véc-tơ \(\overrightarrow{GN}=(1;2;0)\) làm véc-tơ chỉ phương, do đó có phương trình là \(\begin{cases}x=1+t\\y=0,5+2t\\z=0\end{cases}\), \(t\in \mathbb{R}\).

c) Trực thăng bay vào mây ở độ cao \(2\) km, khi đó ta có

\(2t=2 \Leftrightarrow t=1\). Tọa độ điểm mà máy bay bắt đầu đi vào mây là \((2;2,5;2)\).

d) Gọi \(H(1+t; 0,5+2t;2t)\) là vị trí cần tìm. Ta có \(\overrightarrow{HM}=(4-t; 4-2t; 3-2t)\).

Ta có \(HM \perp GH\) suy ra

\(\overrightarrow{HM}\cdot \overrightarrow{u}_{GH} = 0 \Leftrightarrow (4-t)\cdot 1 + (4-2t)\cdot 2 + (3-2t) \cdot 2 =0 \Leftrightarrow t=2.\)

Vậy \(H(3;4,5;4)\).

Khoảng cách từ trực thăng đến đỉnh núi là \(MH = \sqrt{(3-5)^2+(4,5-4,5)^2+(4-3)^2} =\sqrt{5} \approx 2,236\) km.

a) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(2;2;0)\), \(\overrightarrow{AC}=\left(4;2;-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\) suy ra \(\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(1;-1;-4)\).

Mặt phẳng \((ABC)\) đi qua \(A(2;1;3)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=(1;-1;-4)\) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình

\(1\cdot (x-2)-1\cdot (y-1)-4\cdot (z-3)=0 \Leftrightarrow x-y-4z+9=0.\)

b) Thay tọa độ \(D(4;0;2,8)\) vào phương trình mặt phẳng \((ABC)\) ta được

\(4-0-4\cdot 2{,}8+9=0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{5}{9}=0\) không thỏa.

Vậy \(D\) không thuộc mặt phẳng \((ABC)\).

a) Do \(B\in (CBEF)\colon z=3\) nên \(z_B=3 \Rightarrow 2k=3 \Rightarrow k=\displaystyle\frac{3}{2}\).

Suy ra \(B\left(6;\displaystyle\frac{9}{2};3\right)\).

b) Mặt phẳng \((AOBC)\) chứa \(Ox\) nên có phương trình là \(by+cz=0\) với \(b\), \(c\) không đồng thời bằng \(0\).

Mà \((AOBC)\) qua \(B\left(6;\displaystyle\frac{9}{2};3\right)\) nên \(\displaystyle\frac{9}{2}b+3c=0\).

Chọn \(b=2\) thì \(c=-3\). Do vậy \((AOBC)\colon 2y-3z=0\).

c) Tương tự câu trên, ta thấy \((DOBE)\colon x-2z=0\).

d) Mặt phẳng \((AOBC)\colon 2y-3z=0\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_1=(0;2;3)\).

Mặt phẳng \((DOBE)\colon x-2z=0\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_2=(1;0;-2)\).

a) Ta có \(AB=\sqrt{(3-3)^2+(7{,}5+2{,}5)^2+(0-0{,}5)^2}=\sqrt{100{,}25}\) (km).

Do đó, thời gian để máy bay từ vị trí \(A\) hạ cánh tại vị trí \(B\) là

\[\displaystyle\frac{\sqrt{100{,}25}}{300}\,(\text{h})=\displaystyle\frac{\sqrt{100{,}25}}{300}\cdot 60\,\left(\text{phút}\right)=\displaystyle\frac{\sqrt{100{,}25}}{5}\,\left(\text{phút}\right)=\sqrt{4{,}01}\,\left(\text{phút}\right)\approx 2\,\left(\text{phút}\right).\]

b) Giả sử điểm \(C\left(x_C;y_C;z_C\right)\) là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh, suy ra \(C\in (\alpha)\).

Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta thấy mặt phẳng \((\alpha)\) có phương trình là

\(\)\displaystyle\frac{x}{9}-\displaystyle\frac{y}{9}+\displaystyle\frac{z}{0{,}9}=1 \Leftrightarrow x-y+10z=9 \Rightarrow x_C-y_C+10z_C=9.\(\)

Mặt khác, vì \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AB}\) là hai véc-tơ cùng hướngng nên tồn tại số thực \(t>0\) sao cho \(\overrightarrow{AC}=t\cdot \overrightarrow{AB}\).

Do \(\overrightarrow{AC}=\left(x_C-3;y_C+2{,}5;z_C-0{,}5\right)\); \(\overrightarrow{AB}=\left(3-3;7{,}5+2{,}5;0-0{,}5\right)=\left(0;10;-0{,}5\right)\)

nên \(\begin{cases}x_C-3=0t\\y_C+2{,}5=10t\\z_C-0{,}5=-0{,}5t\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_C=3\\y_C=10t-2{,}5\\z_C=-0{,}5t+0{,}5.\end{cases}\)

Vì \(C\in(\alpha)\) nên \(3-(10 t-2{,}5)+10(-0{,}5 t+0{,}5)=9 \Leftrightarrow t=0{,}1\).

Suy ra \(C(3;-1{,}5;0{,}45)\).

Vậy tại vị trí \(C\), độ cao của máy bay là \(0{,}45\) km.

a) Hai mặt phẳng tương ứng mỗi mái nhà là \((ABP)\) và \((CDP)\).

Do mặt phẳng \((ABP)\) có cặp véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AB}=(0;20;1)\), \(\overrightarrow{AP}=(-5;0;-3)\) nên có một véc-tơ pháp tuyến là

\[\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AP}\right]=\left(\begin{vmatrix}20 & 1\\0 & -3\end{vmatrix};\begin{vmatrix}1 & 0\\-3 & -5\end{vmatrix};\begin{vmatrix}0 & 20\\-5 & 0\end{vmatrix}\right)=\left(-60;-5;100\right)\]

Mà mặt phẳng \((ABP)\) đi qua điểm \(A(10;0;9)\) nên có phương trình là \(-60(x-10)-5(y-0)+100(z-9)=0 \Leftrightarrow 12x+y-20z+60=0\).

Do mặt phẳng \((CDP)\) có cặp véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{DP}=(5;0;-3)\), \(\overrightarrow{DC}=(0;20;1)\) nên có một véc-tơ pháp tuyến là

\([\overrightarrow{DP},\overrightarrow{DC}]=\left(\left|\begin{array}{cc}0 & -3\\20 & 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-3 & 5\\1 & 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}5 & 0\\0 & 20\end{array}\right|\right)=(60;-5;100).\)

Mà mặt phẳng \((CDP)\) đi qua điểm \(D(0;0;9)\) nên có phương trình là \(60(x-0)-5(y-0)+100(z-9)=0 \Leftrightarrow 12x-y+20z-180=0\).

b) Vì các bức tường của nhà kho đều được xây vuông góc với mặt đất nên với hệ tọa độ trên ta có \(Q(x;20;z)\).

Do điểm \(Q\) thuộc mặt phẳng \((ABP)\) nên tọa độ của điểm \(Q\) thoả mãn \(12x+20-20z+60=0\) tức là \(3x-5z=-20\).

Do điểm \(Q\) thuộc mặt phẳng \((CDP)\) nên tọạ độ của điểm \(Q\) thoả mãn \(12x-20+20z-180=0\), tức là \(3x+5z=50\).

Ta có hệ phương trình \(\begin{cases}3x-5z=-20\\3x+5z=50\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=5\\z=7.\end{cases}\)

Vậy \(Q(5;20;7)\).

a) Với \(P(5;0;6)\) và \(Q(5;20;7)\) ta có \(\overrightarrow{PQ}=(0;20;1)\).

a) Ta có \( \overrightarrow{ST}=(2;2;12) \), \( \overrightarrow{SP}=(10;0;0) \).

\(\left[\overrightarrow{ST},\overrightarrow{SP} \right]=(0;120;-20)=20(0;6;-1)\).

Mặt phẳng \((STAP)\) đi qua điểm \( S(0;0;0) \) và có một véc-tơ pháp tuyến là \( \overrightarrow{n_1}=(0;6;-1)\).

Phương trình mặt phẳng \((STAP)\) là \[(STAP)\colon 6y-z=0.\]

Ta có \(\overrightarrow{QP}=(0;-10;0) \), \( \overrightarrow{QR}=(-2;-2;12) \).

\(\left[\overrightarrow{QP},\overrightarrow{QR} \right]=(-120;0;-20)=-20(6;0;1)\).

Mặt phẳng \((QPAR)\) đi qua điểm \( P(10;0;0) \) và có một véc-tơ pháp tuyến là \( \overrightarrow{n_2}=(6;0;1)\).

Phương trình mặt phẳng \((QPAR)\) là \[(QPAR)\colon 6(x-10)+1(y-0)=0 \Leftrightarrow 6x+y-60=0.\]

Ta có \(H(0;10;0)\) và \( \overrightarrow{ST}=(2;2;12) \), \( \overrightarrow{SH}=(0;10;0) \).

\(\left[\overrightarrow{ST},\overrightarrow{SH} \right]=(-120;0;20)=20(-6;0;1)\).

Mặt phẳng \((STBH)\) đi qua điểm \( S(0;0;0) \) và có một véc-tơ pháp tuyến là \( \overrightarrow{n_3}=(-6;0;1) \).

Phương trình mặt phẳng \((STBH)\) là \[(STBH)\colon -6x+z=0.\]

Ta có \( \overrightarrow{QH}=(-10;0;0) \), \( \overrightarrow{QR}=(-2;-2;12) \).

\( \left[\overrightarrow{QH},\overrightarrow{QR} \right]=(0;120;20)=20(0;6;1)\).

Mặt phẳng \((QHBR)\) đi qua điểm \( H(0;10;0) \) và có một véc-tơ pháp tuyến là \( \overrightarrow{n_4}=(0;6;1) \).\\ Phương trình mặt phẳng \((QHBR)\) là \[(QHBR)\colon 6(y-10)+1(z-0)=0 \Leftrightarrow 6y+z-60=0.\]

b) Đường thẳng \(ST\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{ST}=(2;2;12)\), mặt phẳng \((SHQP)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{k}=(0;0;1)\).

Ta có

\(\sin (ST,(SHQP))=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{ST} \cdot \overrightarrow{k}\right|}{\left|\overrightarrow{ST}\right| \cdot\left|\overrightarrow{k}\right|}=\displaystyle\frac{|2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 12 \cdot 1|}{\sqrt{2^2+2^2+12^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\displaystyle\frac{3\sqrt{38}}{19}.\)

Vậy \(((ST,(SHQP))\approx 76{,}73^{\circ}\).

c) Mặt phẳng \((STAP)\) và \((STBH)\) lần lượt có các véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1}=(0;6;-1)\) và \(\overrightarrow{n_3}=(-6;0;1)\).

Ta có

\(\cos ((STAP),(STBH))=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_3}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n_3}\right|}=\displaystyle\frac{|0 \cdot (-6)+6 \cdot 0+(-1)\cdot 1|}{\sqrt{0^2+6^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{(-6)^2+0^2+1^2}}=\displaystyle\frac{1}{37}.\)

Vậy \(((STAP),(STBH))\approx 88{,}45^{\circ}\).

Mặt phẳng \((STAP)\) và \((QHBR)\) lần lượt có các véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1}=(0;6;-1)\) và \(\overrightarrow{n_4}=(0;6;1)\).

Ta có

\(\cos ((STAP),(QHBR))=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_4}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n_4}\right|}=\displaystyle\frac{|0 \cdot 0+6 \cdot 6+(-1)\cdot 1|}{\sqrt{0^2+6^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{0^2+6^2+1^2}}=\displaystyle\frac{35}{37}.\)

Vậy \(((STAP),(QHBR))\approx 18{,}92^{\circ}\).

Gọi hệ trục tọa độ như hình vẽ trên.

Ta có \( A(0;400;0) \), \( B(0;400;600) \), \( C(0;-400;600) \), \( D(0;400;0) \), \( I(1000;0;0) \).

Ta có \( (IAD)\perp (ABCD) \) suy ra \( ((IAD), (ABCD))=90^\circ\).

Ta có \( \overrightarrow{AB}=(0;0;600) \), \( \overrightarrow{AI}=(1000;-400;0) \).

\( \left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AI} \right]=(240000;600000;0)=12000\cdot (2;5;0)\).

Mặt phẳng \((IAB)\) và \((ABCD)\) lần lượt có các véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(2; 5;0)\) và \(\overrightarrow{n'}=(1;0;0)\).

Ta có

\(\cos ((IAB),(ABCD))=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{n'}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n'}\right|}=\displaystyle\frac{|2 \cdot 1+5 \cdot 0+0\cdot0|}{\sqrt{2^2+5^2+0^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+0^2}}=\displaystyle\frac{2\sqrt{29}}{29}.\)

Vậy \(((IAB),(ABCD))\approx 68{,}2^{\circ}\).

Ta có mặt phẳng \( (ICD) \) đối xứng với mặt phẳng \( (IAB) \) qua mặt phẳng \((Oxz)\) suy ra \(((ICD),(ABCD))=((IAB),(ABCD))\approx 30^{\circ}\).

Ta có \( \overrightarrow{BC}=(0;-800;0) \), \( \overrightarrow{BI}=(1000;-400;-600) \).

\(\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BI} \right]=(480000;0;800000)=16000\cdot (3;0;5)\).

Mặt phẳng \((IBC)\) và \((ABCD)\) lần lượt có các véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1}=(3; 0;5)\) và \(\overrightarrow{n'}=(1;0;0)\).

Ta có

\(\cos ((IBC),(ABCD))=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n'}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n'}\right|}=\displaystyle\frac{|3 \cdot 1+0 \cdot 0+5\cdot0|}{\sqrt{3^2+0^2+5^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+0^2}}=\displaystyle\frac{3\sqrt{34}}{34}.\)

Vậy \(((IBC),(ABCD))\approx 59{,}04^{\circ}\).

a) Mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài và bên trong của vùng quan sát được có tâm \( I(0;0;5) \), bán kính \( R=25 \).

Vậy phương trình mặt cầu là \( x^2+y^2+(z-5)^2=25^2 \Leftrightarrow x^2+y^2+(z-5)^2=625\).

b) Đặt \( f(x,y,z)=x^2+y^2+(z-5)^2 \).

Xét các điểm \( A(0;0;0) \), \( B(15;0;0) \), \( C(15;20;0) \).

Ta có \( f(A)=5^2=25<625 \), \( f(B)= 15^2+5^2=225<625\), \( f(C)=15^2+20^2+5^2=650>625 \).

Suy ra \( A \), \( B \) nằm trong vùng quan sát được của camera; \( C \) không nằm trong vùng quan sát được của camera.

Vậy camera không thể quan sát toàn bộ sân.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có \( A(0;0;0) \), \( B(0;8;0) \), \( C(12;8;0) \), \( M(0;0;46) \), \( N(0;0;40)\).

Ta có \( \overrightarrow{BN}=(0;-8;40)=8(0;-1;5) \).

Đường thẳng \( BN \) đi qua điểm \( B(0;8;0) \) và có một véc-tơ chỉ phương là \( \overrightarrow{u}=(0;-1;5) \).

Phương trình đường thẳng \( BN \) là \[(BN)\colon \begin{cases}x=0\\y=8-t\\z=5t.\end{cases}\]

Gọi \( E \) là vị trí con kiến leo từ \(B\) sau \(10\) phút thì \(BE=2{,}5\cdot 10= 25 \) m.

Ta có \( E\in BN\Rightarrow E(0;8-t;5t) \), với \( t>0 \).

\(\overrightarrow{BE}=(0;-t;5t)\).

Suy ra \(BE^2=26t^2= 25^2\Rightarrow t=\displaystyle\frac{25\sqrt{26}}{26}\) (nhận) hoặc \(t=\displaystyle\frac{-25\sqrt{26}}{26}\) (loại).

Nên \( E\left(0;\displaystyle\frac{208-25\sqrt{26}}{26} ;\displaystyle\frac{125\sqrt{26}}{26}\right)\).

Ta có \( \overrightarrow{CM}=(-12;-8;46)=2(-6;-4;23) \).

Đường thẳng \( CM \) đi qua điểm \( M(0;0;46) \) và có một véc-tơ chỉ phương là \( \overrightarrow{u'}=(-6;-4;23) \). Phương trình đường thẳng \( CM \) là \[(CM)\colon \begin{cases}x=-6t\\y=-4t\\z=46+23t.\end{cases}\]

Gọi \( F \) là vị trí con kiến leo từ \(C\) sau \(10\) phút thì \(CF=3\cdot 10= 30 \) m.

Ta có \( F\in CM\Rightarrow F(-6t;-4t;46+23t) \).

\( \overrightarrow{CF}=(-6t-12;-4t-8;46+23t) \).

Suy ra

\begin{eqnarray*}&& CF^2=(-6t-12)^2+(-4t-8)^2+(23t+46)^2= 30^2 \\ &\Leftrightarrow& 581t^2+2324t+1424=0 \\ &\Leftrightarrow& \hoac{&t=\displaystyle\frac{-2324+60\sqrt{581}}{2\cdot 581} &\text{(nhận)}&\\&t=\displaystyle\frac{-2324-60\sqrt{581}}{2\cdot 581} &\text{(loại).}}\end{eqnarray*}

Nên \( F\left(\displaystyle\frac{6972-180\sqrt{581}}{581} ;\displaystyle\frac{4648-120\sqrt{581}}{581};\displaystyle\frac{690}{581}\right)\).

Vậy \( EF\approx 7{,}09 \).

Tính góc giữa hai cạnh kề nhau

\(\overrightarrow{SP}=\left(8;0;0\right);\overrightarrow{SH}=\left(0;18;0\right);\overrightarrow{ST}=\left(-1;-1;7\right)\).

\(\overrightarrow{SP}\cdot\overrightarrow{SH}=0\Rightarrow \left(SP,SH\right)=90^\circ\).

\(\cos\left(SP,ST\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{SP}\cdot\overrightarrow{ST}\right|}{\left|\overrightarrow{SP}\right|\cdot\left|\overrightarrow{ST}\right|}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{51}}\Rightarrow \left(SP,ST\right)\approx 82^\circ\).

\(\cos\left(SH,ST\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{SH}\cdot\overrightarrow{ST}\right|}

{\left|\overrightarrow{SH}\right|\cdot\left|\overrightarrow{ST}\right|}

=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{51}}\Rightarrow \left(SH,ST\right)\approx 82^\circ\).

Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy

Gọi \(\alpha\) là góc giữa cạnh bên \(ST\) và mặt phẳng đáy.

\(\sin\alpha=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{ST}\cdot\overrightarrow{k}\right|}{\left|\overrightarrow{ST}\right|\cdot\left|\overrightarrow{k}\right|}=\displaystyle\frac{7}{\sqrt{51}}\Rightarrow \alpha\approx 78^\circ\).

Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy

Gọi \(\beta\) là góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy.

\(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{ST},\overrightarrow{SP}\right]=\left(0;56;8\right)\).

\(\cos\beta=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{k}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|\cdot\left|\overrightarrow{k}\right|}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{10}\Rightarrow \beta\approx 82^\circ\).

a) Viết công thức tính toạ độ của máy bay trong \(2\) giờ đầu tiên.

Gọi \(B\) là vị trí máy bay sau \(2\) giờ bay.

Ta có \(\overrightarrow{AB}=2\cdot\overrightarrow{v}=\left(300;300;80\right)\).

Suy ra \(B\left(300;310;80\right)\).

b) Tính góc nâng của máy bay (góc giữa hướng chuyển động bay lên của máy bay với đường băng và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Gọi \(\alpha\) là góc nâng của máy bay.

\(\sin\alpha=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{k}\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot\left|\overrightarrow{k}\right|}=\displaystyle\frac{80}{\sqrt{300^2+310^2+80^2}}\Rightarrow \alpha\approx 10^\circ 40'\).

Nối \(O\) với \(D\) lại. Xét \(\Delta ODC\) vuông tại \(C\)

\(OD=\sqrt{OC^2+DC^2}=\sqrt{20~000^2+9~000^2}\approx 21~932\).

Vậy khoảng cách \(O\) đến \(D\) là \(21~932\) mét.

Do bán kính dò tìm của ra-da không thể tìm thấy máy bay \(M\) ở vị trí \(D\).

a) Đường thẳng chứa đoạn thẳng nối hai vị trí ống kính ngắm của anh Bình và con gà lôi tía là đường thẳng \(AB\). Đường thẳng \(AB\) qua \(A(200;685;436)\) nhận véc-tơ

\(\overrightarrow{AB}=(440;-135;48)\) làm véc-tơ chỉ phương có phương tham số là

\[\begin{cases}x=200+440t\\y=685-135t\\z=436+48t\end{cases}\]

b) Thế hoành độ và tung độ của tọa độ \(C(420; 617{,}5;450)\) vào phương trình đường thẳng \(AB\)

\[\begin{cases}420=200+440t\\617{,}5=685-135t\end{cases}\Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{1}{2}.\]

Thế \(t=\displaystyle\frac{1}{2}\) vào phương trình đường thẳng \(AB\) ta được \(I\left(420;617{,}5;455\right)\).

Vì cao độ của điểm \(C\) nhỏ hơn cao độ điểm \(I\in AB\) nên đỉnh đồi không che khuất tầm ngắm nhìn của anh Bình nên anh Bình nhìn thấy con gà lôi tía.

a) \( \overrightarrow{AB}=(0;0;1{,}5)\), \(\overrightarrow{EF}=(x_F-2;y_F-1;z_F-2) \).

\( ABFE \) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EF} \) \( \Leftrightarrow \begin{cases}0=x_F-2\\0=y_F-1\\1{,}5=z_F-2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_F=2\\y_F=1\\z_F=3{,}5\end{cases}\Rightarrow F(2;1;3{,}5)\).

\(\bullet \,\, \overrightarrow{BF}=(2;0;0)\), \(\overrightarrow{CG}=(x_G-0;y_G-4;z_G-3{,}5) \).

\(CBFG\) là hình bình hành

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{BF}=\overrightarrow{CG}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}2=x_G-0\\0=y_G-4\\0=z_G-3{,}5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_G=2\\y_G=4\\z_G=3{,}5\end{cases}\Rightarrow G(2;4;3{,}5)\).

\(\bullet \,\, \overrightarrow{EF}=(0;0;1{,}5)\), \(\overrightarrow{EG}=(0;3;1{,}5) \) nên véc-tơ pháp tuyến của \( (EFGH) \) là

\( \overrightarrow{n}_1=\left[\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EG}\right]=(-4{,}5;0;0) \).

Mà \( (EFGH) \) qua \( E(2;1;2)\) nên có phương trình là

\(-4{,}5(x-2)+0(y-1)+0(z-2)=0\Leftrightarrow x-2=0.\)

\( \bullet \,\, \) Gọi \( h \) là chiều cao của lăng trụ \( ABCD.EFGH \).

Khi đó \( h=\mathrm{d}(A,(EFGH))= \displaystyle\frac{|1\cdot0+0\cdot1+0\cdot2-2|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}=2\).

b) \( \overrightarrow{CD}=(0;-1{,}5;-1{,}5)\), \(\overrightarrow{CG}=(2;0;0) \) nên véc-tơ pháp tuyến của \( (CDHG) \) là

\( \overrightarrow{n}_2=\left[\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CG}\right]=(0;-3;3) \).

Mà \( (CDHG) \) qua \( C(0;4;3{,}5)\) nên có phương trình là

\(0(x-0)-3(y-4)+3(z-3{,}5)=0\Leftrightarrow -y+z+0{,}5=0.\)

\(\mathrm{d}(F,CDHG)= \displaystyle\frac{|0\cdot2-1\cdot1+1\cdot3{,}5+0{,}5|}{\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}}=\displaystyle\frac{3\sqrt{2}}{2}\).

a) Ta có \( A(0;0;8)\), \(B(0;20;8)\), \(D(15;0;14)\), \(C(15;20;14) \).

\( \overrightarrow{AB}=(0;20;0) \), \(\overrightarrow{AC}=(15;20;6)\) nên véc-tơ pháp tuyến của \( (ABCD) \) là

\( \overrightarrow{n}_1=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(80;0;300) \).

Mà mặt phẳng mái che \( (ABCD) \) qua \( A(0;0;8)\) nên có phương trình

\(80(x-0)+0(y-0)+300(z-8)=0\Leftrightarrow 4x+15z-120=0.\)

b) Tọa độ điểm \( G(8;0;4)\).

Độ dài ngắn nhất của dây nối thanh ngang \( GE \) với mái che là khoảng cách từ \( G \) đến mái che (mặt phẳng \( ABCD \)) là

\(\mathrm{d}(G,(ABCD))=\displaystyle\frac{|4\cdot8+0+15\cdot4-120|}{\sqrt{4^2+0^2+15^2}}=\displaystyle\frac{28}{\sqrt{241}}.\)

}