1. Lũy thừa với số mũ nguyên
Với \(n\) nguyên dương, ta có
+) \(a^n=\underbrace{a \cdot a \cdot \cdots a}_{n \text{ thừa số}},\ n\in\mathbb{N^*}.\)
+) \(a^0=1,\ \forall a\neq 0\).
+) \(a^{-n}=\displaystyle\frac{1}{a^n},\ \forall n\in \mathbb{N^*}\) và \(a\neq 0\).
2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
\(a^{\tfrac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\) với \(a>0,\ n\geq 2;\ m,n\in\mathbb{Z}\).
3. Tính chất của lũy thừa
Với các cơ số \(a>0\) và \(b>0\), ta có
+) \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).
+) \(\displaystyle\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
+) \(\displaystyle\frac{1}{a^n}=a^{-n}\).
+) \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\).
+) \(\left(a^m\right)^n = a^{m \times n}\).
+) \(\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^n=\displaystyle\frac{a^n}{b^n}\).
+) \(\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^n=\left(\displaystyle\frac{b}{a}\right)^{-n}\).
+) \(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\).
+) \(\displaystyle\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\displaystyle\frac{a}{b}}\).
+) \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}\).
+) \(\sqrt[n]{a}=\sqrt[m\cdot n]{a^m}\).
+) \(\sqrt[n]a^n=\begin{cases}a& \text{khi } n \text{ lẻ}\\ |a|& \text{khi } n \text{ chẵn.}\end{cases}\)
Câu 1:
Tính giá trị các biểu thức sau:
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^{-2} \cdot 3^2 \cdot 12^0\).
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{1}{12}\right)^{-1} \cdot\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{-2}\).
\(\bullet\,\) \(\left(2^{-2} \cdot 5^2\right)^{-2}:\left(5 \cdot 5^{-5}\right)\).
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^{-2} \cdot 3^2 \cdot 12^0\) \(=\left(\displaystyle\frac{4}{3}\right)^2\cdot 9\cdot 1=\displaystyle\frac{16}{9}\cdot 9=16\).
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{1}{12}\right)^{-1} \cdot\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{-2}\) \(=12\cdot \left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^2=12\cdot \displaystyle\frac{9}{4}=27\).
\(\bullet\,\) \(\left(2^{-2} \cdot 5^2\right)^{-2}:\left(5 \cdot 5^{-5}\right)\) \(=2^4\cdot 5^{-4}:5^{-4}=2^4\cdot 1=16\).
}
Câu 2:
Viết các biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa \((a>0)\):
\(\bullet\,\) \(3\cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[8]{3}\).
\(\bullet\,\) \(\sqrt{a \sqrt{a \sqrt{a}}}\).
\(\bullet\,\) \(\displaystyle\frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a}}{(\sqrt[5]{a})^3 \cdot a^{\tfrac{2}{5}}}\).
\(\bullet\,\) \(3\cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[8]{3}\) \(=3\cdot 3^{\tfrac{1}{2}}\cdot3^{\tfrac{1}{4}}\cdot 3^{\tfrac{1}{8}}=3^{1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}}=3^{\tfrac{15}{8}}\).
\(\bullet\,\) \(\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=\sqrt{a\sqrt{a\cdot a^{\tfrac{1}{2}}}}\) \(=\sqrt{a\sqrt{a^{\tfrac{3}{2}}}}=\sqrt{a\cdot a^{\tfrac{3}{4}}}=\sqrt{a^{\tfrac{7}{4}}}=a^{\tfrac{7}{8}}\).
\(\bullet\,\) \(\displaystyle\frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a}}{(\sqrt[5]{a})^3 \cdot a^{\tfrac{2}{5}}}\) \(=\displaystyle\frac{a^{\tfrac{1}{2}}\cdot a^{\tfrac{1}{3}}\cdot a^{\tfrac{1}{4}}}{ a^{\tfrac{3}{5}}\cdot a^{\tfrac{2}{5}}}=\displaystyle\frac{a^{\tfrac{13}{12}}}{a^1}=a^{\tfrac{1}{12}}\).
}
Câu 3:
Rút gọn các biểu thức sau (\(a>0, b>0\)):
\(\bullet\,\) \(a^{\tfrac{1}{3}} a^{\tfrac{1}{2}} a^{\tfrac{7}{6}}\).
\(\bullet\,\) \(a^{\tfrac{2}{3}} a^{\tfrac{1}{4}}: a^{\tfrac{1}{6}}\).
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{3}{2} a^{-\tfrac{3}{2}} b^{-\tfrac{1}{2}}\right)\left(-\displaystyle\frac{1}{3} a^{\tfrac{1}{2}} b^{\tfrac{3}{2}}\right)\).
\(\bullet\,\) \(a^{\tfrac{1}{3}} a^{\tfrac{1}{2}} a^{\tfrac{7}{6}}=a^{\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{7}{6}}=a^2\).
\(\bullet\,\) \(a^{\tfrac{2}{3}} a^{\tfrac{1}{4}}: a^{\tfrac{1}{6}}=a^{\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{6}}=a^{\tfrac{3}{4}}\).
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{3}{2} a^{-\tfrac{3}{2}} b^{-\tfrac{1}{2}}\right)\left(-\displaystyle\frac{1}{3} a^{\tfrac{1}{2}} b^{\tfrac{3}{2}}\right)\) \(=\displaystyle\frac{3}{2}\cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)a^{\tfrac{-3}{2}+\tfrac{1}{2}}\cdot b^{-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}}=-\displaystyle\frac{1}{2}a^{-1}b\).
}
Câu 4:
Với một chỉ vàng, giả sử người thợ lành nghề có thể dát mỏng thành lá vàng rộng \(1\) m\(^2\) và dày khoảng \(1{,}94 \cdot 10^{-7}\) m. Đồng xu \(5\ 000\) đồng dày \(2{,}2 \cdot 10^{-3}\) m. Cần chồng bao nhiêu lá vàng như trên để có độ dày bằng đồng xu loại \(5\ 000\) đồng? Làm tròn kết quả đến chữ số hàng trăm.
Số lá vàng cần chồng là
\( \displaystyle\frac{2{,}2\cdot 10^{-3}}{1{,}94 \cdot 10^{-7}}\approx11\ 300. \)
}
Câu 5:
Tại một xí nghiệp, công thức \(P(t)=500 \cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{t}{3}}\) được dùng để tính giá trị còn lại (tính theo triệu đồng) của một chiếc máy sau thời gian \(t\) (tính theo năm) kể từ khi đưa vào sử dụng.
\(\bullet\,\) Tính giá trị còn lại của máy sau \(2\) năm; sau \(2\) năm \(3\) tháng.
\(\bullet\,\) Sau \(1\) năm đưa vào sử dụng, giá trị còn lại của máy bằng bao nhiêu phần trăm so với ban đầu?
\(\bullet\,\) Giá trị còn lại của máy sau \(t=2\) năm là \(P=500\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{2}{3}}\approx315\).
Giá trị còn lại của máy sau sau \(2\) năm \(3\) tháng (\(t=\displaystyle\frac{9}{4}\) năm) là \(P=500\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{\tfrac{9}{4}}{3}}=500\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{3}{4}}\approx297\).
\(\bullet\,\)
Ban đầu giá trị của máy là \(P_0=500\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^0=500\).
Giá trị còn lại của máy sau \(1\) năm sử dụng: \(P=500\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{1}{3}}=396{,}85\).
Suy ra \(\displaystyle\frac{P}{P_0}=79{,}37\%\).
}
Câu 6:
Biết rằng \(10^\alpha=2\); \(10^\beta=5\).
Tính \(10^{\alpha+\beta}\); \(10^{\alpha-\beta}\); \(10^{2 \alpha}\); \(10^{-2 \alpha}\); \(1000^\beta\); \(0{,}01^{2 \alpha}\).
\(\bullet\,\) \(10^{\alpha+\beta}=10^\alpha\cdot10^\beta=2\cdot 5=10\).
\(\bullet\,\) \(10^{\alpha-\beta}=10^\alpha:10^\beta=\displaystyle\frac{2}{5}\).
\(\bullet\,\) \(10^{2\alpha}=\left(10^\alpha\right)^2=2^2=4\).
\(\bullet\,\) \(10^{-2 \alpha}=\displaystyle\frac{1}{10^{2\alpha}}=\displaystyle\frac{1}{4}\).
\(\bullet\,\) \(1000^\beta=\left(10^3\right)^\beta=\left(10^\beta\right)^3=5^3=125\).
\(\bullet\,\) \(0{,}01^{2 \alpha}=(10^{-2})^{2 \alpha}=\left(10^\alpha\right)^{-4}\) \(=2^{-4}=\displaystyle\frac{1}{16}\).
}
Câu 7:
Biết rằng \(4^\alpha=\displaystyle\frac{1}{5}\). Tính giá trị các biểu thức sau:
\(\bullet\,\) \(16^a+16^{-a}\).
\(\bullet\,\) \(\left(2^\alpha+2^{-\alpha}\right)^2\).
\(\bullet\,\) \(16^\alpha+16^{-\alpha}=\left(4^\alpha\right)^2+\displaystyle\frac{1}{\left(4^\alpha\right)^2}\) \(=\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^2+\displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^2}=\displaystyle\frac{1}{25}+25=\displaystyle\frac{626}{25}\).
\(\bullet\,\) \(\left(2^\alpha+2^{-\alpha}\right)^2=4^\alpha+2+4^{-\alpha}\) \(=\displaystyle\frac{1}{5}+2+\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{5}}=\displaystyle\frac{36}{5}\).
}