a) \(\displaystyle \int \left(3x^2+1\right) \mathrm{\, d}x=\int 3x^2 \mathrm{\, d}x + \int 1\mathrm{\, d}x=x^3+x+C\).

b) Ta có \(\displaystyle\int{\left(7x^6-4x^3+3x^2\right)}\,{\mathrm{d}x}= \displaystyle\int{7x^6}\,{\mathrm{d}x} -\displaystyle\int{4x^3}\,{\mathrm{d}x} +\displaystyle\int{3x^2}\,{\mathrm{\,d}x} =x^7-x^4+x^3+C\).

c) \(\displaystyle \int \left(2x-1\right)^2 \mathrm{\,d}x=\int (4x^2-4x+1)\mathrm{\, d}x= \displaystyle\frac{4x^3}{3}-2x^2+x+C\).

a) \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int(3x^2+x)\mathrm{\,d}x=x^3+\displaystyle\frac{x^2}2+C\).

b) \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int(9x^2-2x+7)\mathrm{\,d}x=3x^3-x^2+7x+C\).

c) \(f(x)=\displaystyle\int(4x-3)(x^2+3)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int(4x^3-3x^2+12x-9)\mathrm{\,d}x=x^4-x^3+6x^2-9x+C\).

Do đó \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int(x^4-x^3+6x^2-9x+C)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{x^5}5-\displaystyle\frac{x^4}4+2x^3-\displaystyle\frac92x^2+Cx+D\).

a) \(\displaystyle\int\left(3x^2 + 2x - 1\right) \mathrm{\,d}x = x^3 + x^2 - x + C.\)

b) \(\displaystyle \int \left(x^3 - x\right) \mathrm{\,d}x = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + C.\)

c) \(\displaystyle \int \left(2x+1\right)^2 \mathrm{\,d}x =\int (4x^2+4x+1) \mathrm{\,d}x= \frac{4x^3}{3} + 2x^2 + x + C.\)

d) \(\displaystyle \int \left(2x-\frac{1}{x}\right)^2\mathrm{\,d}x =\int \left(4x^2-4+\frac{1}{x^2}\right)\mathrm{\,d}x = \frac{4x^3}{3} - 4x - \frac{1}{x} + C.\)

Ta có \(F(x)=\displaystyle\int(6x^5+2x-3)\mathrm{\,d}x=x^6+x^2-3x+C\).

Vì \(F(-1)=-5\) nên \((-1)^6+(-1)^2-3\cdot(-1)+C=-5\Leftrightarrow C=-5-5=-10\).

Vậy \(F(x)=x^6+x^2-3x+10\).

a) \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{x^3}\mathrm{\,d}x = \displaystyle\int x^{-3}\mathrm{\,d}x = \displaystyle\frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = -\displaystyle\frac{1}{2}x^{-2} + C = -\displaystyle\frac{1}{2x^{2}}+C\).

b) \(\displaystyle\int \sqrt{x}\mathrm{\,d}x = \displaystyle\int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{\,d}x = \displaystyle\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \displaystyle\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C = \displaystyle\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\).

c) \(\displaystyle\int \left(2x^2+\displaystyle\frac{3}{\sqrt{x}}\right)\mathrm{\,d}x = \displaystyle\int 2x^2\mathrm{\,d}x + \displaystyle\int \displaystyle\frac{3}{\sqrt{x}}\mathrm{\,d}x = 2\displaystyle\int x^2\mathrm{\,d}x + 3\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{\,d}x = 2x^3 + 6\sqrt{x} + C\).

d) \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \mathrm{~d} x=\displaystyle\int x^{-\frac{1}{3}} \mathrm{~d} x=\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}+C=\frac{3}{2} \sqrt[3]{x^{2}}+C\).

}

a) Với \(x\neq 0\), ta có \(\displaystyle\int{\displaystyle\frac{1}{x^4}}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\int{x^{-4}}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\frac{x^{-4+1}}{-4+1}+C = -\displaystyle\frac{1}{3x^3}+C\);

b) \(\displaystyle \int x \sqrt{x} \mathrm{~d}x=\int x^{\tfrac{3}{2}}\mathrm{\, d}x = \displaystyle\frac{x^{\tfrac{3}{2}+1}}{\displaystyle\frac{3}{2}+1}+C=\displaystyle\frac{2}{5}x^{\tfrac{5}{2}}+C==\displaystyle\frac{2}{5} \sqrt{x^5}+C\).

c) \(\displaystyle \int\left(\displaystyle\frac{3}{x}-5 \sqrt[3]{x}\right) \mathrm{~d}x=\int \displaystyle\frac{3}{x}\mathrm{\, d}x-\int 5x^{\tfrac{1}{3}}\mathrm{\, d}x=3\ln x - \displaystyle\frac{15}{4}x^{\tfrac{4}{3}}+C=3\ln x -\displaystyle\frac{15}{4}\sqrt[3]{x^4}+C\).

d) Với \(x>0\), ta có \(\displaystyle\int{\displaystyle\frac{1}{x\sqrt{x}}}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\int{x^{-\tfrac{3}{2}}}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\frac{x^{-\tfrac{3}{2}+1}}{-\displaystyle\frac{3}{2}+1}+C = -2x^{-\tfrac{1}{2}} + C = -\displaystyle\frac{2}{\sqrt{x}}+C\).

a) \(\displaystyle\int x^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}+1} x^{\sqrt{2}+1}+C\).

b) \(\displaystyle\int{x^{\sqrt{3}}}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\frac{x^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}+C\).

c) \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\mathrm{\,d}x=\int\displaystyle\frac{1}{x^{\tfrac{2}{3}}}\mathrm{\,d}x=\int x^{-\tfrac{2}{3}}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{x^{\tfrac{1}{3}}}{\displaystyle\frac{1}{3}}+C=3\sqrt[3]{x}+C\).

d) \(\displaystyle \int\left(3x^3+\displaystyle\frac{2}{\sqrt[5]{x^3}}\right)\mathrm{\,d}x\) \(=\displaystyle3\int x^3\mathrm{\,d}x+2\int x^{-\tfrac{3}{5}}\mathrm{\,d}x\) \(=3\cdot \displaystyle\frac{x^4}{4}+2\cdot \displaystyle\frac{x^{\tfrac{2}{5}}}{\displaystyle\frac{2}{5}}+C\) \(=\displaystyle\frac{3}{4}x^4+5\sqrt[5]{x^2}+C.\)

a) \(\displaystyle\int{3\cos{x}}\,{\mathrm{d}x} = 3\displaystyle\int{\cos{x}}\,{\mathrm{d}x} = 3\sin{x}+C\).

b) \(\displaystyle\int{(\sin{x}+\cos{x})}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\int{\sin{x}}\,{\mathrm{d}x} + \displaystyle\int{\cos{x}}\,{\mathrm{d}x} = -\cos{x}+\sin{x}+C\).

c) \(\displaystyle \int(3 \cos x-4 \sin x) \mathrm{\, d}x=\int 3 \cos x \mathrm{\, d}x-\int 4\sin x \mathrm{\, d}x=3\sin x + 4\cos x +C\).

a) \(\displaystyle\int (2\cos x + \displaystyle\frac{1}{\cos^2 x})\mathrm{\,d}x = 2\displaystyle\int \cos x\mathrm{\,d}x - \displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}\mathrm{\,d}x = 2\sin x - \tan x + C\).

b) \(\displaystyle \int\left(\displaystyle\frac{1}{\cos ^2 x}-\displaystyle\frac{1}{\sin ^2 x}\right) \mathrm{\, d}x=\int \displaystyle\frac{1}{\cos ^2 x} \mathrm{\, d}x - \int \displaystyle\frac{1}{\sin ^2 x} \mathrm{\, d}x=\tan x + \cot x + C\).

c) \(\displaystyle\int{\left(1+\tan^2{x}\right)}\,{\mathrm{d}x} = \displaystyle\int{\displaystyle\frac{1}{\cos^2{x}}}\,{\mathrm{d}x} = \tan{x}+C\).

a) \(\displaystyle\int\left(3 x^{2}-\cos x\right) \mathrm{~d} x=3 \displaystyle\int x^{2} \mathrm{~d} x-\displaystyle\int \cos x \mathrm{~d} x=x^{3}-\sin x+C\).

b) \(\displaystyle \int \left(3\cos x-\displaystyle\frac{4}{x}\right)\mathrm{\,d}x=3\int\cos x\mathrm{\,d}x-4\int\displaystyle\frac{1}{x}\mathrm{\,d}x=3\sin x-4\ln|x|+C\);

c) \(\displaystyle\int\left(3 \sin x-\displaystyle\frac{2}{\sqrt{x^{3}}}\right) \mathrm{d} x=3 \displaystyle\int \sin x \mathrm{~d} x-2 \displaystyle\int x^{-\frac{3}{2}} \mathrm{~d} x=-3 \cos x+4 x^{-\frac{1}{2}}+C\) \(=-3 \cos x+\displaystyle\frac{4}{\sqrt{x}}+C\).

d) \(\displaystyle \int \left(\displaystyle\frac{3}{\cos^{2}x}-\displaystyle\frac{1}{\sin^{2}x}\right)\mathrm{\,d}x\) \(=\displaystyle3\int\displaystyle\frac{1}{\cos^{2}x}\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\left(-\displaystyle\frac{1}{\sin^{2}x}\right)\mathrm{\,d}x\) \(=3\tan x+\cot x+C.\)

a) \(\displaystyle\int 7^{x}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{7^{x}}{\ln 7}+C\).

b) Ta có \(\left(\mathrm{e}^{2x}\right)'=2\mathrm{e}^{2x}\Rightarrow \left(\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}\right)'=\mathrm{e}^{2x}\).

Do đó \(\displaystyle \int \mathrm{e}^{2x}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}+C\).

c) \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{3^x}{5^x}\mathrm{\,d}x=\int\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{x}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{x}}{\ln\displaystyle\frac{3}{5}}+C=\displaystyle\frac{\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{x}}{\ln 3-\ln 5}+C\).

a) \(\displaystyle\int 4^{x} d x=\displaystyle\frac{4^{x}}{\ln 4}+C\).

b) \(\displaystyle\int e^{3 x} \mathrm{~d} x=\displaystyle\int\left(e^{3}\right)^{x} \mathrm{~d} x=\displaystyle\frac{\left(e^{3}\right)^{x}}{\ln e^{3}}+C=\frac{1}{3} e^{3 x}+C\).

c) \(\displaystyle\int 2^{x} \cdot 3^{x} d x=\displaystyle\int 6^{x} d x=\displaystyle\frac{6^{x}}{\ln 6}+C\).

a) \(\displaystyle\int \left(2^x + \displaystyle\frac{3}{x^2}\right)\mathrm{\,d}x = \int 2^x \mathrm{\,d}x + \int \frac{3}{x^2} \mathrm{\,d}x = \frac{2^x}{\ln 2} - \frac{3}{x} + C.\)

b) \(\displaystyle \int \displaystyle\frac{1}{e^x} \mathrm{~d}x=\int e^{-x} \mathrm{~d}x=-e^{-x}+C=-\displaystyle\frac{1}{e^x}+C\).

c) \(\displaystyle \int\left(2 \cdot 3^x-\displaystyle\frac{1}{3} \cdot 7^x\right) \mathrm{~d}x=\int 2\cdot 3^x \mathrm{\, d}x-\int \displaystyle\frac{1}{3} \cdot 7^x \mathrm{\, d}x=2\cdot \displaystyle\frac{3^x}{\ln 3} - \displaystyle\frac{1}{3} \cdot \displaystyle\frac{7^x}{\ln 7}+C\).

a) \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{3^x}\mathrm{\,d}x = \displaystyle\int \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^x\mathrm{\,d}x = \displaystyle\frac{\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^x}{\ln \displaystyle\frac{1}{3}} + C = -\displaystyle\frac{1}{3^x \ln 3} + C\);

b) \(\displaystyle\int (2e^x-5^x)\mathrm{\,d}x = 2 \displaystyle\int e^x\mathrm{\,d}x - \displaystyle\int 5^x\mathrm{\,d}x = 2e^x - \displaystyle\frac{5^x}{\ln 5} + C\).

c) \(\displaystyle\int 4^{x+1} \mathrm{~d} x=\displaystyle\int 4\cdot 4^{x} \mathrm{~d} x=4 \displaystyle\int 4^{x} \mathrm{~d} x=4 \cdot \displaystyle\frac{4^{x}}{\ln 4}+C=\displaystyle\frac{4^{x+1}}{\ln 4}+C\).

}

\(\displaystyle\int \sin x \mathrm{d} x=-\cos x+C\).

\(F(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\sin x\) nên có dạng \(F(x)=-\cos x+C\).

Vì \(F(2 \pi)=0\) nên \(-\cos 2 \pi+C=0\) hay \(-1+C=0\), suy ra \(C=1\).

Vậy \(F(x)=1-\cos x\).

\(\displaystyle\int \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^{x}+C.\)

\(G(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(g(x)=\mathrm{e}^{x}\) nên có dạng \(G(x)=\mathrm{e}^{x}+C\).

Vì \(G(0)=-3\) nên \(\mathrm{e}^{0}+C=-3\) hay \(1+C=-3\), suy ra \(C=-4\).

Do đó \(G(x)=\mathrm{e}^{x}-4\). Vậy \(G(1)=\mathrm{e}-4\).

Do \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x^{3}-e^{2 x}+C\) nên \(f(x)=\left(x^{3}-e^{2 x}+C\right)'=3 x^{2}-2 e^{2 x}\).

Ta có \(F(x)=\displaystyle \int f(x)\mathrm{\,d}x=\int \left(2x-e^x\right)\mathrm{\,d}x=x^2-e^x+C\).

Vì \(F(0)=-2\Leftrightarrow -1+C=-2\Leftrightarrow C=-1\Rightarrow F(x)=x^2-e^x-1\).

Ta có \(F(x)=\displaystyle \int \cos x=\sin x+C\).

Theo đề ta có \(F(0)+F\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=0\Leftrightarrow \sin 0+C+\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)+C=0\Leftrightarrow 2C+1=0\Leftrightarrow C=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

Vậy \(F(x)=\sin x-\displaystyle\frac{1}{2}\).

Ta có \(F(x)=\displaystyle\displaystyle\frac{1}{\sin^{2}x}\mathrm{\,d}x=-\cot x+C\).

Theo đề, \(F\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=1\Leftrightarrow -\cot \displaystyle\frac{\pi}{2}+C=1\Leftrightarrow C=1\).

Vậy \(F(x)=-\cot x+1\).

Ta có \(F(x)= \displaystyle \int f(x)\mathrm{\,d}x = \displaystyle \int \left(2\cos x + \displaystyle\frac{1}{\sin^2 x}\right)\mathrm{\,d}x = 2\sin x -\cot x + C\)

Theo đề bài có\[F\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = -1 \Leftrightarrow 2\sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) -\cot \left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) + C =-1 \Leftrightarrow C = -\sqrt{2}.\]

Vậy \(F(x) = 2\sin x -\cot x -\sqrt{2}\).

Ta có \(\displaystyle f(x)=\int f'(x)\mathrm{\,d}x=\int \left(2x+\frac{1}{x^2}\right)\mathrm{\,d}x= x^2-\displaystyle\frac{1}{x}+C\).

Mà \(f(1)=1\) nên \(C=1\).

Vậy \(f(4)=\displaystyle\frac{67}{4}\).

a) Ta có \(F'(x)=(5x+x^2)'=5+2x=f(x)\) với mọi \(x\) thuộc \(\mathbb{R}\).

Vậy \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\).

b) Ta có \(G'(x)=(\tan x)'=\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}=g(x)\) với mọi \(x\) thuộc \(\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2};\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\).

Vậy \(G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(g(x)\) trên \(\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2};\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\).

Với mọi \(x\) thuộc \(\mathbb{R}\) ta có \(F'(x)=\left(\mathrm{e}^{2x+1}\right)'=(2x+1)'\mathrm{e}^{2x+1}=2\mathrm{e}^{2x+1}=f(x)\).

Vậy \(F(x)=\mathrm{e}^{2x+1}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=2\mathrm{e}^{2x+1}\) trên \(\mathbb{R}\).

Ta có \(\displaystyle\int f'(x) \mathrm{\,d}x=f(x)=F'(x)=\left(e^x+x^2\right)'=e^x+2x\).

a) Ta có \(f(x)=F'(x)=\left(x \sin x+\sqrt{2}\right)'=\sin x + x\cdot \cos x+0=\sin x + x\cos x\).

b) Ta có \(f(x)=F'(x)=\left(e^x-\sqrt{x}\right)'=e^x-\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}\).

a) \(\displaystyle\int \left(\displaystyle\frac{2}{\sin^2 x}-\displaystyle\frac{1}{3\cos^2x}\right)\mathrm{\,d}x=-2\cot x-\displaystyle\frac{1}{3}\tan x+C\);

b) \(\displaystyle\int \left(3^{2x-2}+4\cos x\right)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{3^{2x-2}}{2\ln3}+4\sin x+C\);

c) \(\displaystyle\int \left(4\sqrt[5]{x^4}+\displaystyle\frac{3}{\sqrt[3]{x^2}}\right)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int \left(4x^{\frac{4}{5}}+3x^{-\frac{2}{3}}\right)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{20}{9}x^{\frac{9}{5}}+9x^{\frac{1}{3}}+C\);

d) \(\displaystyle\int \left(\sin\displaystyle\frac{x}{2}-\cos\displaystyle\frac{x}{2}\right)^2\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int \left(\sin^2\displaystyle\frac{x}{2}-2\sin\displaystyle\frac{x}{2}\cos\displaystyle\frac{x}{2}+\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}\right)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int \left(1-\sin x\right)\mathrm{\,d}x=x+\cos x+C\).

a) \(\displaystyle\int x(2x-3)^2\mathrm{\,d}x=\int x\left(4x^2-12x+9\right)\mathrm{\,d}x=\int\left(4x^3-12x^2+9x\right)\mathrm{\,d}x=x^4-4x^3+\displaystyle\frac{9}{2}x^2+C\).

b) \(\displaystyle\int\sin^{2}\displaystyle\frac{x}{2}\mathrm{\,d}x=\int\displaystyle\frac{1-\cos x}{2}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{1}{2}\left(x-\sin x\right)+C\).

c) Ta có \((\tan x)'=1+\tan^{2}x\Rightarrow \tan^{2}x=(\tan x)'-1=(\tan x-x)'\).

Do đó ta có \(\displaystyle\int\tan^{2}x\mathrm{\,d}x=\tan x-x+C\).

d) \(\displaystyle\int 2^{3x}\cdot 3^{x}\mathrm{\,d}x=\int 8^{x}\cdot 3^{x}\mathrm{\,d}x=\int 24^{x}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{24^{x}}{\ln 24}+C\).

a) \(\displaystyle \int \left(2^x - \displaystyle\frac{1}{x}\right)\mathrm{\,d}x = \displaystyle\frac{2^x}{\ln2} - \ln|x| + C\) với \(C \in \mathbb{R}\).

b) \(\displaystyle \int \left(x\sqrt{x} +3\cos x - \displaystyle\frac{2}{\sin^2 x}\right)\mathrm{\,d}x\) \(= \displaystyle \int \left( x^{\frac{3}{2}} + 3\cos x - \displaystyle\frac{2}{\sin^2 x}\right)\mathrm{\,d}x\) \(= \displaystyle\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} +3\sin x + 2\cot x + C\) \(= \displaystyle\frac{2}{5}x^2\sqrt{x} +3\sin x + 2\cot x + C\).

a) \(\displaystyle\int \left(2\cos x - \displaystyle\frac{3}{\sin^2 x}\right)\mathrm{\,d}x = 2\sin x + 3\cot x + C\).

b) \(\displaystyle\int 4\sin^2\displaystyle\frac{x}{2}\mathrm{\,d}x = 2\int (1 - \cos x) \mathrm{\,d}x = 2(x - \sin x) + C\).

c) \(\displaystyle\int \left(\sin \displaystyle\frac{x}{2} - \cos \displaystyle\frac{x}{2}\right)^2\mathrm{\,d}x = \int \left(1-\sin x\right)\mathrm{\,d}x= x+\cos x + C.\)

d) \(\displaystyle\int (x+\tan^2 x)\mathrm{\,d}x = \int (x-1)\mathrm{\,d}x + \int \left(1+\tan^2 x\right)\mathrm{\,d}x = \frac{x^2}{2} - x + \tan x + C\).

Ta có \(F'(x)=x'\cdot \mathrm{e}^{x}+x\cdot(\mathrm{e}^{x})'=\mathrm{e}^{x}+x\cdot\mathrm{e}^{x}=(x+1)\mathrm{e}^{x}\).

Do đó ta có \(\displaystyle\int (x+1)\mathrm{e}^{x}\mathrm{\,d}x=x\mathrm{e}^{x}+C\).

a) Ta có \(h(x)=2+\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{x}\mathrm{\,d}x=2+\ln|x|+C\).

Sau năm đầu tiên cây cao \(2\) m nên ta có \(h(1)=2\Leftrightarrow 2+\ln 1+C=2\Rightarrow C=0\).

Vậy chiều cao của cây sau \(x\) năm (\(1\leq x\leq 11\)) là \(h(x)=2+\ln |x|=2+\ln x\) (m).

b) Ta có \(2+\ln x=3\Leftrightarrow \ln x=1\Leftrightarrow x=\mathrm{e}\approx 2{,}72\) (năm).

Gọi \(s(t)\) là quãng đường ô tô đi được tại thời điểm \(t\) (giây).

Ta có \(s(t)=\displaystyle \int v(t)\mathrm{\,d}t=\int (19-2t)\mathrm{\,d}t=19t-t^2+C\).

Tại thời điểm đạp phanh thì \(s=0\) và \(t=0\) nên ta có \(0=19\cdot 0-0^2+C\Leftrightarrow C=0\).

Do đó ta có \(s(t)=19t-t^2\).

Quãng đường ô tô đi được sau \(1\) giây là \(s(1)=19\cdot 1-1^2=18\) mét.

Quãng đường ô tô đi được sau \(2\) giây là \(s(2)=19\cdot 2-2^2=34\) mét.

Quãng đường ô tô đi được sau \(3\) giây là \(s(3)=19\cdot 3-3^2=48\) mét.

Giả sử con lắc chuyển động theo phương trình \(x=x(t)\), suy ra \(v(t)=x'(t)\). Do đó \(x(t)\) là một nguyên hàm của \(v(t)\).

Ta có \(\displaystyle\int{v(t)}\,{\mathrm{d}t} = \displaystyle\int{4\cos{t}}\,{\mathrm{d}t} = 4\displaystyle\int{\cos{t}}\,{\mathrm{d}t} = 4\sin{t}+C\).

Suy ra \(x(t)=4\sin{t}+C\).

Tại thời điểm \(t=0\), con lắc ở vị trí cân bằng nên \(x(t)=0\), suy ra \(4\sin{0}+C=0 \Leftrightarrow C=0\).

Vậy phương trình dao động của con lắc là \(x(t)=4\sin{t}\).

a) Ta có:

\begin{eqnarray*}\displaystyle\int{h'(t)}\,{\mathrm{d}t} &=& \displaystyle\int{\displaystyle\frac{1}{216}\left(5t^2-120t+480\right)}\,{\mathrm{d}t}\\ &=& \displaystyle\frac{5}{216}\displaystyle\int{t^2}\,{\mathrm{d}t} - \displaystyle\frac{120}{216}\displaystyle\int{t}\,{\mathrm{d}t} + \displaystyle\frac{480}{216}\displaystyle\int{}\,{\mathrm{d}t}\\ &=& \displaystyle\frac{5}{648}t^3-\displaystyle\frac{5}{18}t^2+\displaystyle\frac{20}{9}+C.\end{eqnarray*}

Suy ra \(h(t) = \displaystyle\frac{5}{648}t^3-\displaystyle\frac{5}{18}t^2+\displaystyle\frac{20}{9}t+C\).

Tại thời điểm \(t=0\), mực nước trong hồ là \(6\) m nên \(h(0)=6\Leftrightarrow C=6\).

Vậy mực nước trong hồ được cho bởi hàm số

\(h(t)=\displaystyle\frac{5}{648}t^3-\displaystyle\frac{5}{18}t^2+\displaystyle\frac{20}{9}t+6\, (0\leq t\leq 24).\)

b) Để xác định mực nước trong hồ chứa cao nhất và thấp nhất ta tìm \(\max\limits_{[0;24]}h(t)\) và \(\min\limits_{[0;24]}h(t)\).

Ta có \(h'(t)=0\Leftrightarrow 5t^2-120t+480=0 \Leftrightarrow t=12-4\sqrt{3}\) hoặc \(t=12+4\sqrt{3}.\)

Bảng biến thiên

Suy ra \(\min\limits_{[0;24]} h(t)=h(12+4\sqrt{3}) \approx 0{,}9\), \(\max\limits_{[0;24]} h(t)=h(12-4\sqrt{3}) \approx 11{,}1\).

Vậy mực nước trong hồ chứa cao nhất khoảng \(11{,}1\) m và thấp nhất khoảng \(0{,}9\) m.

a) Để tìm mực nước trong hồ chứa thay đổi nhanh nhất khi nào ta tìm \(\max\limits_{[0;24]}h'(t)\).

Ta có \(h''(t)=\displaystyle\frac{1}{216}\left(10t-120\right)\), \(h''(t) =0\Leftrightarrow t=12\).

Bảng biến thiên

Suy ra \(\max\limits_{[0;24]} h'(t)=\displaystyle\frac{20}{9}\) tại \(t=0\), \(t=24\).

Vậy mực nước trong hồ chứa thay đổi nhanh nhất khi \(t=0\), \(t=24\). Tốc độ thay đổi của mực nước trong hồ chứa khi đó là \(\displaystyle\frac{20}{9}\) m/h.

Kí hiệu \(v(t)\) là tốc độ của vật, \(s(t)\) là quãng đường vật đi được cho đến thời điểm \(t\) giây kể từ khi vật bắt đầu rơi.

Vì \(a(t)=v'(t)\) nên

\[v(t)=\displaystyle \int a(t)\mathrm{\,d}t=\int 10\mathrm{\,d}t=10t+C.\]

Vì \(v(0)=0\) nên \(10\cdot 0+C=0\) hay \(C=0\). Vậy \(v(t)=10t\) (m/s).

Vì \(v(t)=s'(t)\) nên \(s(t)=\displaystyle\int v(t)\mathrm{\,d}t=\int 10t\mathrm{\,d}t=5t^2+C\).

Vì \(s(0)=0\) nên \(5\cdot 0^2+C=0\) hay \(C=0\). Vậy \(s(t)=5t^2\) (m).

Vật rơi từ độ cao \(20\) m nên \(s(t)\leq 20\), suy ra \(0\leq t\leq 2\).

Vậy sau khi vật rơi được \(t\) giây \((0\leq t\leq 2)\) thì vật có tốc độ \(v(t)=10\) m/s và đi được quãng đường \(s(t)=5t^2\) mét.

a) Ta có \(h(t)\) là một nguyên hàm của hàm số \(v(t)\),

\(\displaystyle\int{v(t)}\,{\mathrm{d}t} = \displaystyle\int{\left(-0{,}1t^3+t^2\right)}\,{\mathrm{d}t} = -\displaystyle\frac{0{,}1t^4}{4}+\displaystyle\frac{t^3}{3}+C,\)

Suy ra \(h(t)=-\displaystyle\frac{0{,}1t^4}{4}+\displaystyle\frac{t^3}{3}+C\).

Mà cây cà chua khi trồng cao \(5\) cm tại thời điểm \(t=0\) nên \(h(t)=5 \Leftrightarrow C=5\).

Vậy công thức xác định hàm số \(h(t)\) là \(h(t)=-\displaystyle\frac{0{,}1t^4}{4}+\displaystyle\frac{t^3}{3}+5\) (\(t\geq 0\)).

b) Giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó là khoảng thời gian \(t\geq 0\) thỏa mãn \(v(t)>0\).

Ta có \(v(t)>0 \Leftrightarrow t^2(-0{,}1t+1)>0 \Leftrightarrow t<10\).

Vậy thời gian sinh trưởng của cây kéo dài \(10\) tuần.

c) Ta có \(h'(t)=v(t)\), suy ra bảng biến thiên của hàm số \(h(t)\) như sau

Chiều cao tối đa của cây cà chua đó là khoảng \(88{,}3\) cm.

d) Ta xác định thời điểm mà \(v(t)\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có \(v'(t)=-0{,}3t^2+2t = t(-0{,}3t+2)\), \(v'(t)=0\Leftrightarrow t=0\) hoặc \(t=\displaystyle\frac{20}{3}.\)

Bảng biến thiên

Thời điểm cây phát triển nhanh nhất, tức là \(v(t)\) đạt giá trị lớn nhất thì \(t=\displaystyle\frac{20}{3}\).

Vào thời điểm \(t=\displaystyle\frac{20}{3}\) tuần, chiều cao của cây cà chua là \(h\left(\displaystyle\frac{20}{3}\right) = \displaystyle\frac{4405}{81} \approx 54\) cm.

Với \(0, ta có \(\displaystyle\int{P'(t)}\,{\mathrm{d}t} = \displaystyle\int{k\sqrt{t}}\,{\mathrm{d}t} = k\displaystyle\int{t^{\tfrac{1}{2}}}\,{\mathrm{d}t} = k\cdot \displaystyle\frac{t^{\tfrac{1}{2}+1}}{\displaystyle\frac{1}{2}+1}+C = \displaystyle\frac{2kt\sqrt{t}}{3}+C\).

Vì \(P(t)\) là một nguyên hàm của hàm số \(P'(t)\) trên \((0;10]\) nên \(P(t)=\displaystyle\frac{2kt\sqrt{t}}{3}+C\) với \(t\in (0;10]\).

Mặt khác hàm số \(P(t)\) liên tục trên \([0;10]\) và \(P(0)=500\) (tại thời điểm ban đầu, quần thể vi khuẩn có \(500\) vi khuẩn) nên

\(\lim \limits_{t \to 0^+} P(t)=P(0) \Leftrightarrow C=500.\)

Suy ra \(P(t)=\displaystyle\frac{2kt\sqrt{t}}{3}+500\).

Mặt khác, sau \(1\) ngày số lượng vi khuẩn là \(600\) vi khuẩn nên \(P(1)=600 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{2k}{3}+500=600 \Leftrightarrow 2k=300\). Suy ra \(P(t)=100t\sqrt{t}+500\).

Vậy số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau \(7\) ngày là \(P(7)=700\sqrt{7}+500 \approx 2352\) vi khuẩn.

a) Ta đã biết, quãng đường \(s(t)\) xe ô tô đi được trong \(t\) giây là một nguyên hàm của hàm \(v(t)\).

Do \(\displaystyle\int{v(t)}\,{\mathrm{d}t} = \displaystyle\int{(-10t+30)}\,{\mathrm{d}t} = -5t^2+30t+C\) nên ta có \(s(t)=-5t^2+30t+C\) với \(C\) là hằng số.

Mặt khác, do \(s(0)=0\) nên \(C=0\). Suy ra \(s(t)=-5t^2+30t\).

b) Xe ô tô dừng hẳn khi \(v(t)=0 \Leftrightarrow -10t+30=0 \Leftrightarrow t=3\).

Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là \(3\) giây.

c) Vận tốc di chuyển của xe trước khi đạp phanh là \(72\) km/h cũng là tốc độ \(20\) m/s.

- Từ lúc phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi người lái xe đạp phanh khẩn cấp là \(1\) giây, khi đó xe đi được quãng đường là \(20\) m.

- Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là \(3\) giây, khi đó xe ô tô đi được quãng đường là \(s(3)=-5\cdot 3^2+30\cdot 3 = 45\) m.

Vậy quãng đường xe ô tô đi được kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi ô tô dừng hẳn là \(20+45=65\) m.

Do \(65 < 80\) nên xe ô tô dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường. Vì thế, tai nạn không xảy ra đối với xe ô tô đó.

a) Chiều cao của cây sau \(t\) năm được xác định bởi

\(h(t)=\displaystyle\int h'(t)\mathrm{\,d}t=\displaystyle\int(1{,}5t+5)\mathrm{\,d}t=0{,}75t^2+5t+C.\)

Vì \(h(0)=12\) nên \(C=-12\).

Vậy \(h(t)=0{,}75t^2+5t+12\).

b) Cây được bán sau \(6\) năm trồng nên khi đó cây cao \(h(6)=0{,}75\cdot6^2+5\cdot6+12=69\) cm.