Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là \(18-8=10\).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là \(45-20=25\).

Đầu mút phải của nhóm ghép cuối cùng là \(180\), đầu mút trái của nhóm ghép đầu tiên là \(30\). Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là \(R=180-30=150\).

Kết quả này cho biết thời gian sử dụng Internet hằng ngày của các thành viên thuộc nhóm người được điều tra chênh lệch nhau nhiều nhất là \(150\) phút.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \(R=65-40=25\) (cm).

Khoảng biến thiên của tuổi thọ máy chạy bộ do hãng \(X\) và hãng \(Y\) sản xuất tương ứng là \(R_X=12-2=10\) và \(R_Y=12-4=8.\)

Vì \(R_X > R_Y\) nên có thể nói là máy do hãng \(X\) sản xuất có tuổi thọ phân tán hơn so với máy của hãng \(Y\).

}

a) Ta có bảng dữ liệu sau khi ghép nhóm như sau:

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là

\[110-40=70 \text{ (thẻ vàng).}\]

Với \(n=20\), ta có: \(\displaystyle\frac{n}{4}=5\) mà \(2<5<7\). Suy ra nhóm \(2\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(5\).

Xét nhóm \(2\) là \([50;60)\) có \(s=50\), \(h=10\), \(n_2 = 5\).

Nhóm \(1\) là \([40;50)\) có \(cf_1=2\) \(\Rightarrow Q_1 = 50+\displaystyle\frac{5-2}{5}\cdot 10 = 56\).

Ta có: \(\displaystyle\frac{3n}{4}=15\) mà \(14<15<19\) suy ra nhóm \(4\) là nhóm có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(15\).

Xét nhóm \(4\) là \([70;80)\) có \(t=70\), \(h=10\), \(n_4 = 5\).

Nhóm 3 là \([60;70)\) có \(cf_3 = 14\) \(\Rightarrow Q_3 = 60+\displaystyle\frac{15-14}{5}\cdot 10 = 62\).

Vậy \(\triangle Q = Q_3-Q_1 = 62-56 = 6\).

a) Khoảng biến thiên \(R = 45-25 = 20\).

b) Nếu biết học sinh hoàn thành bài kiểm tra sớm nhất mất \(27\) phút và muộn nhất mất \(43\) phút thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là \(43-27=16\).

Gọi \(R_1\), \(R_2\) tương ứng là khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ \(1\) và Tổ \(2\).

Ta có: \(R_1= 90-0=90\) và \(R_2= 60-0=60\).

Do \(R_1>R_2\) nên ta có thể kết luận rằng thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ \(1\) phân tán hơn thời gian sử dụng mạng xã hội của các bạn Tổ \(2\).

Khoảng biến thiên của ý kiến đánh giá của hai nhóm khán giả \(A\) và \(B\) tương ứng là \(R_A=100-50=50\) và \(R_B=90-60=30.\)

Vì \(R_A > R_B\) nên có thể nói là ý kiến đánh giá của nhóm khán giả \(A\) phân tán hơn so với ý kiến đánh giá của nhóm khán giả \(B\).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác Bình là \(R= 40-15=25\) (phút).

Tuy nhiên, trong mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác An,khoảng đầu tiên chứa dữ liệu là \([20;25)\) và khoảng cuối cùng chứa dữ liệu là \([25;30)\). Do đó khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sángcủa bác An là \(30-20=10\) (phút).

a) Trong mẫu số liệu ghép nhóm, ta có: đầu mút trái của nhóm \(1\) là \(a_1=10\), đầu mút phải của nhóm \(6\) là \(a_6=40\). Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là

\[R=a_6-a_1=40-10=30 ~\text{(triệu đồng)}.\]

b) Số phần tử của mẫu là \(60\).

Ta có \(\displaystyle\frac{n}{4}=\displaystyle\frac{60}{4}=15\). Suy ra nhóm \(1\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(15\). Xét nhóm \(1\) là nhóm \([10; 15)\) có \(s=10\); \(h=5\); \(n_1=15\) và tần số tích lũy nhóm trước xem là \(0\).

Tứ phân vị thứ nhất: \(Q_1=10+\displaystyle\frac{15-0}{15}\cdot 5 = 15\) (triệu đồng).

Ta có \(\displaystyle\frac{3n}{4}=\displaystyle\frac{3\cdot 60}{4}=45\), mà \(43<45<53\). Suy ra nhóm \(4\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(45\). Xét nhóm \(4\) là nhóm \([25; 30)\) có \(s=25\); \(h=5\); \(n_4=10\) và tần số tích lũy của nhóm trước là \(cf_3=43\).

Tứ phân vị thứ ba: \(Q_3=25+\displaystyle\frac{45-43}{10}\cdot 5 = 26\) (triệu đồng).

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là

\[\Delta_Q=Q_3-Q_1=26-15=11 ~\text{(triệu đồng)}.\]

a) Trong mẫu số liệu ghép nhóm, ta có: đầu mút trái của nhóm \(1\) là \(a_1=20\), đầu mút phải của nhóm \(5\) là \(a_5=90\). Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là

\[R=a_6-a_1=80-20=60 ~\text{(tuổi)}.\]

b) Số phần tử của mẫu là \(100\).

Ta có \(\displaystyle\frac{n}{4}=\displaystyle\frac{100}{4}=25\). Suy ra nhóm \(1\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(25\). Xét nhóm \(1\) là nhóm \([20; 30)\) có \(s=20\); \(h=10\); \(n_1=25\) và tần số tích lũy nhóm trước xem là \(0\).

Tứ phân vị thứ nhất: \(Q_1=20+\displaystyle\frac{25-0}{25}\cdot 10 = 30\) (tuổi).

Ta có \(\displaystyle\frac{3n}{4}=\displaystyle\frac{3\cdot 100}{4}=75\), mà \(65<75<80\). Suy ra nhóm \(4\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(75\). Xét nhóm \(4\) là nhóm \([50; 60)\) có \(s=50\); \(h=10\); \(n_4=15\) và tần số tích lũy của nhóm trước là \(cf_3=65\).

Tứ phân vị thứ ba: \(Q_3=50+\displaystyle\frac{75-65}{15}\cdot 10 \approx 56{,}7\) (tuổi).

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là

\[\Delta_Q=Q_3-Q_1=56{,}7-30=26{,}7 ~\text{(tuổi)}.\]

Gọi \(x_1\); \(x_2\); \ldots; \(x_{50}\) là mẫu số liệu gốc gồm cân nặng của \(50\) quả xoài được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\in[250;290)\); \(x_4\), \ldots, \(x_{16}\in[290;330)\); \(x_{17}\), \ldots, \(x_{34}\in[330;370)\); \break\(x_{35}\), \ldots, \(x_{45}\in[370;410)\); \(x_{46}\), \ldots, \(x_{50}\in[410;450)\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(x_{13}\in[290;330)\).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_1=290+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{50}{4}-3}{13}\cdot(330-290)=\displaystyle\frac{4150}{13}.\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(x_{38}\in[370;410)\).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_3=370+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot50}{4}-(3+13+18)}{11}\cdot(410-370)=\displaystyle\frac{4210}{11}.\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\Delta_Q=Q_3-Q_1=\displaystyle\frac{4210}{11}-\displaystyle\frac{4150}{13}=\displaystyle\frac{9080}{143}\).

a) Cỡ mẫu \(n=100\).

Gọi \(x_1\); \(x_2\); \ldots; \(x_{100}\) là mẫu số liệu gốc gồm thời gian \(100\) lần đi xe buýt của ông Thắng.

Ta có: \(x_1\), \ldots, \(x_{22}\in[15;18)\); \(x_{23}\), \ldots, \(x_{60}\in[18;21)\); \(x_{61}\), \ldots, \(x_{87}\in[21;24)\); \(x_{88}\), \ldots, \(x_{95}\in[24;27)\); \(x_{96}\), \ldots, \(x_{99}\in[27;30)\); \(x_{100}\in[30;33)\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\displaystyle\frac{x_{25}+x_{26}}{2}\in[18;21)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_1=18+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{100}{4}-22}{38}\cdot(21-18)=\displaystyle\frac{693}{38}.\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\displaystyle\frac{x_{75}+x_{76}}{2}\in[21;24)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_3=21+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot100}{4}-(22+38)}{27}\cdot(24-21)=\displaystyle\frac{68}{3}.\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\Delta_Q=Q_3-Q_1=\displaystyle\frac{505}{114}\).

b) Trong lần duy nhất ông Thắng đi hết hơn \(29\) phút, thời gian đi của ông thuộc nhóm \([30;33)\).

Vì \(Q_3+1{,}5\Delta_Q=\displaystyle\frac{6683}{228}<30\) nên thời gian của lần ông Thắng đi hết hơn \(29\) phút là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu ghép nhóm.

a) Xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là \(R=522{,}9-147=375{,}9\).

Cỡ mẫu \(n=20\).

Gọi \(x_1\); \(x_2\); \ldots; \(x_{20}\) là mẫu số liệu lượng mưa của trạm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \(Q_1=\displaystyle\frac{x_5+x_6}{2}=\displaystyle\frac{251{,}4+258{,}4}{2}=254{,}9\).

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu lớp 12C là \(Q_3=\displaystyle\frac{x_{15}+x_{16}}{2}=\displaystyle\frac{413{,}5+421}{2}=417{,}25\).

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \(\Delta_Q=Q_3-Q_1=162{,}35\).

b) Chia mẫu số liệu trên thành 4 nhóm với nhóm đầu tiên là \([140;240)\) ta được bảng như sau

c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là \(R=540-140=400\), lớn hơn khoảng biến thiên của mẫu số liệu thông thường.

Gọi \(x_1\); \(x_2\); \ldots; \(x_{20}\) là mẫu số liệu lượng mưa của trạm. Ta có: \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\in[140;240)\); \(x_4\), \ldots, \(x_{10}\in[240;340)\); \(x_{11}\), \ldots, \(x_{17}\in[340;440)\); \(x_{18}\), \(x_{19}\), \(x_{20}\in[440;540)\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là \(\displaystyle\frac{x_6+x_7}{2}\in[240;340)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_1=240+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{20}{4}-3}{7}\cdot(340-240)=\displaystyle\frac{1700}{7}.\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là \(\displaystyle\frac{x_{15}+x_{16}}{2}\in[340;440)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_3=340+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot20}{4}-(3+7)}{7}\cdot(440-340)=\displaystyle\frac{2430}{7}.\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \(\Delta_Q=Q_3-Q_1=\displaystyle\frac{730}{7}\approx104{,}29\), thấp hơn khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu thông thường.

Dựa vào biểu đồ, ta lập được bảng ghép nhóm như bên dưới.

Ta có cỡ mẫu \(n=92\).

Gọi \(x_1\); \(x_2\); \ldots; \(x_{92}\) là mẫu số liệu đã cho.

Ta có: \(x_1\), \ldots, \(x_{14}\in[1;6)\); \(x_{15}\), \ldots, \(x_{44}\in[6;11)\); \(x_{45}\), \ldots, \(x_{69}\in[11;16)\); \(x_{70}\), \ldots, \(x_{87}\in[16;21)\); \(x_{88}\), \ldots, \(x_{92}\in[21;26)\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \(\displaystyle\frac{x_{23}+x_{24}}{2}\in[6;11)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là

\(Q_1=6+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{92}{4}-14}{30}\cdot(11-6)=7{,}5.\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \(\displaystyle\frac{x_{69}+x_{70}}{2}\) với \(x_{69}\in[11;16)\) và \(x_{70}\in[16;21)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \(Q_3=16\).

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \(\Delta_Q=Q_3-Q_1=8{,}5\).

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là \(R=9{,}4-8{,}4=1\).

Ta có cỡ mẫu \(n=100\).

Gọi \(x_1\); \(x_2\); \ldots; \(x_{100}\) là mẫu số liệu gồm chiều cao của \(100\) cây keo.

Ta có: \(x_1\), \ldots, \(x_5\in[8{,}4;8{,}6)\); \(x_6\), \ldots, \(x_{17}\in[8{,}6;8{,}8)\); \(x_{18}\), \ldots, \(x_{42}\in[8{,}8;9{,}0)\); \(x_{43}\), \ldots, \(x_{86}\in[9{,}0;9{,}2)\); \(x_{87}\), \ldots, \(x_{100}\in[9{,}2;9{,}4)\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \(\displaystyle\frac{x_{25}+x_{26}}{2}\in[8{,}8;9{,}0)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\)Q_1=8{,}8+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{100}{4}-(5+12)}{25}\cdot(9{,}0-8{,}8)=8{,}864.\(\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \(\displaystyle\frac{x_{75}+x_{76}}{2}\in[9{,}0;9{,}2)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\)Q_3=9{,}0+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot100}{4}-(5+12+25)}{44}\cdot(9{,}2-9{,}0)=9{,}15.\(\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \(\Delta_Q=Q_3-Q_1=0{,}286\).

b) Vì \(Q_1-1{,}5\Delta_Q=8{,}435\) và \(Q_3+1{,}5\Delta_Q=9{,}579\) nên cây keo có chiều cao \(8{,}4\) m là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu ghép nhóm.

a) Xét ở nam giới, ta có cỡ mẫu \(n=50\).

Gọi \(x_1\); \(x_2\); \(\ldots\); \(x_{50}\) là mẫu số liệu gồm tuổi thọ của \(50\) nam giới.

Ta có: \(x_1\), \(\ldots\), \(x_4\in[50;55)\); \(x_5\), \(\ldots\), \(x_{11}\in[55;60)\); \(x_{12}\), \(\ldots\), \(x_{15}\in[60;65)\); \(x_{16}\), \(\ldots\), \(x_{21}\in[65;70)\); \(x_{22}\), \(\ldots\), \(x_{36}\in[70;75)\); \(x_{37}\), \(\ldots\), \(x_{48}\in[75;80)\); \(x_{49}\), \(x_{50}\in[80;85)\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \(x_{13}\in[60;65)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu nam giới là

\(\)Q_1=60+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{50}{4}-(4+7)}{4}\cdot(65-60)=\displaystyle\frac{495}{8}.\(\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \(x_{38}\in[75;80)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu nam giới là

\(\)Q_3=75+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot50}{4}-(4+7+4+6+15)}{12}\cdot(80-75)=\displaystyle\frac{605}{8}.\(\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu nam giới là \(\Delta_Q=Q_3-Q_1=\displaystyle\frac{55}{4}=13{,}75\).

Xét ở nữ giới, ta có cỡ mẫu \(n=50\).

Gọi \(x_1\); \(x_2\); \(\ldots\); \(x_{50}\) là mẫu số liệu gồm tuổi thọ của \(50\) nữ giới.

Ta có: \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\in[50;55)\); \(x_4\), \(\ldots\), \(x_7\in[55;60)\); \(x_8\), \(\ldots\), \(x_{12}\in[60;65)\); \(x_{13}\), \(x_{14}\), \(x_{15}\in[65;70)\); \(x_{16}\), \(\ldots\), \(x_{22}\in[70;75)\); \(x_{23}\), \(\ldots\), \(x_{36}\in[75;80)\); \(x_{37}\), \(\ldots\), \(x_{49}\in[80;85)\); \(x_{50}\in[85;90)\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \(x_{13}\in[65;70)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu nữ giới là

\(Q_1=65+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{50}{4}-(3+4+5)}{3}\cdot(70-65)=\displaystyle\frac{395}{6}.\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \(x_{38}\in[80;85)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu nữ giới là

\(Q_3=80+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot50}{4}-(3+4+5+3+7+14)}{13}\cdot(85-80)=\displaystyle\frac{2095}{26}.\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu nữ giới là \(\Delta_Q=Q_3-Q_1=\displaystyle\frac{575}{39}\approx14{,}74\).

b) Do khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu của nam giới nhỏ hơn mẫu số liệu của nữ giới nên tuổi thọ của nam giới đều hơn tuổi thọ của nữ giới.

Cỡ mẫu \(n=20\).

Gọi \(x_1\); \(x_2\);\(\ldots\); \(x_{20}\) là mẫu số liệu gốc gồm quãng đường của \(20\) ngày đi bộ của bác Hương được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\in [2{,}7;3{,}0)\); \(x_4\); \(x_5\); \(\ldots\); \(x_9\in [3{,}0;3{,}3)\); \(x_{10}\); \(\ldots\); \(x_{14}\in [3{,}3;3{,}6)\); \break\(x_{15}\); \(\ldots\); \(x_{18}\in [3{,}6;3{,}9)\); \(x_{19}\); \(x_{20}\in [3{,}9;4{,}2)\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\displaystyle\frac{1}{2}(x_5+x_6)\in [3{,}0;3{,}3)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_1=3{,}0+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{20}{4}-3}{6}(3{,}3-3{,}0)=3{,}1.\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\displaystyle\frac{1}{2}(x_{15}+x_{16})\in [3{,}6;3{,}9)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_3=3{,}6+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot 20}{4}-(3+6+5)}{4}(3{,}9-3{,}6)=3{,}675.\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\Delta_Q=3{,}675-3{,}1=0{,}575.\)

Cỡ mẫu \(n=18\).

Gọi \(x_1\); \(x_2\);\(\ldots\); \(x_{18}\) là mẫu số liệu gốc gồm thời gian của \(18\) ngày tập nhảy của bạn Chi được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có \(x_1\), \(\ldots\), \(x_6\in [20;25)\); \(x_7\); \(x_8\); \(\ldots\); \(x_{12}\in [25;30)\); \(x_{13}\); \(\ldots\); \(x_{16}\in [30;35)\); \(x_{17}\in [35;40)\); \(x_{18}\in [40;45)\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(x_5\in [20;25)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\)Q_1=20+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{18}{4}-0}{6}(25-20)=23{,}75.\(\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(x_{14}\in [30;35)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\)Q_3=30+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot 18}{4}-(6+6)}{4}(35-30)=31{,}875.\(\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\)\Delta_Q=31{,}875-23{,}75=8{,}125.\(\)

Cỡ mẫu \(n=25\).

Gọi \(x_1\); \(x_2\);\(\ldots\); \(x_{25}\) là mẫu số liệu gốc gồm thời gian của \(25\) lần mà bạn Dũng giải rubik được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có \(x_1\), \(\ldots\), \(x_4\in [8;10)\); \(x_5\); \(\ldots\); \(x_{10}\in [10;12)\); \(x_{11}\); \(\ldots\); \(x_{18}\in [12;14)\); \(x_{19}\); \(\ldots\); \(x_{22}\in [14;16)\); \break\(x_{23}\); \(\ldots\); \(x_{25}\in [16;18)\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\displaystyle\frac{1}{2}(x_6+x_7)\in [10;12)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_1=10+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{25}{4}-4}{6}(12-10)=10{,}75.\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\displaystyle\frac{1}{2}(x_{19}+x_{20})\in [14;16)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(Q_3=14+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3\cdot 25}{4}-(4+6+8)}{4}(16-14)=14{,}375.\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\Delta_Q=14{,}375-10{,}75=3{,}625.\)

a) Hai mẫu số liệu đều có khoảng biến thiên là \(R=100-50=50\) nên không thể căn cứ vào đó để nói điểm của lớp nào đồng đều hơn.

b) Kích thước của hai mẫu số liệu đều là \(N=100\). Ta có \(\displaystyle\frac{N}{4}=25\); \(\displaystyle\frac{N}{2}=50\); \(\displaystyle\frac{3 N}{4}=75\).

+) Đối với mẫu số liệu về điểm của lớp \(A\), ta tìm các tứ phân vị \(Q_1^{A}\), \(Q_2^{A}\), \(Q_3^{A}\) và khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q^{A}\) qua bảng tần số tích luỹ dưới đây:

Nhóm chứa \(Q_1^{A}\) là \([60;70)\).

\(Q_1^{A}=60+\displaystyle\frac{25-8}{20} \cdot 10=68{,}5.\)

Nhóm chứa \(Q_2^{A}\) là \([70;80)\).

\(Q_2^{A}=70+\displaystyle\frac{50-28}{50} \cdot 10=74{,}4.\)

Nhóm chứa \(Q_3^{A}\) là \([70;80)\).

\(Q_3^{A}=70+\displaystyle\frac{75-28}{50} \cdot 10=79{,}4.\)

Vậy \(\Delta_Q^{A}=79{,}4-68{,}5=10{,}9\).

+) Gọi \(Q_1^{B}\), \(Q_2^{B}\), \(Q_3^{B}\) là các tứ phân vị và \(\Delta_Q^{B}\) là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu về điểm của lớp \(B\). Ta lập bảng tần số tích luỹ và tính được:

Nhóm chứa \(Q_1^{B}\) là \([60; 70)\).

\(Q_1^{B}=60+\displaystyle\frac{25-15}{20} \cdot 10=65.\)

Nhóm chứa \(Q_2^{B}\) là \([70; 80)\).

\(Q_2^{B}=70+\displaystyle\frac{50-35}{30} \cdot 10=75.\)

Nhóm chứa \(Q_3^{B}\) là \([80; 90)\).

\(Q_3^{B}=80+\displaystyle\frac{75-65}{20} \cdot 10=85.\)

Vậy \(\Delta_Q^{B}=85-65=20\).

c) \(\Delta_Q^{B}>\Delta_Q^{A}\) nên điểm của lớp \(B\) phân tán hơn điểm của lớp \(A\). Minh hoạ trên trục số: Mỗi mẫu đều có \(100\) số liệu thuộc khoảng [\(50;100)\). Có \(50\%\) số liệu ở giữa của bảng điểm lớp \(B\) thuộc khoảng \(\left(Q_1^{B}, Q_3^{B}\right)\). Bảng điểm lớp \(A\) cũng có \(50\%\) số liệu ở giữa thuộc khoảng \(\left(Q_1^{A}, Q_3^{A}\right)\). Vì \(\left(Q_1^{A}, Q_3^{A}\right) \subset\left(Q_1^{B}, Q_3^{B}\right)\) nên ta có thể nói là điểm của lớp \(B\) phân tán hơn so với điểm lớp \(A\).

a) Bảng số liệu về lượng mưa của thành phố \(A\):

b) Ta có

\(N=12\) nên \(\displaystyle\frac{N}{4}=3 ; \displaystyle\frac{3 N}{4}=9\).

Nhóm chứa \(Q_1\) là \([50 ; 100)\).

\(Q_1=50+\displaystyle\frac{3-2}{3} \cdot 50 \approx 67.\)

Nhóm chứa \(Q_3\) là \([250 ; 300)\).

\(Q_3=250+\displaystyle\frac{9-8}{2} \cdot 50=275.\)

Vậy \(\Delta_Q=275-67=208\).

Kết quả tìm được cho thấy: Hằng năm, ở thành phố \(A\) có \(3\) tháng có lượng mưa trung bình không vượt quá \(67\) mm và \(3\) tháng có lượng mưa trung bình ít nhất là \(275\) mm. Trong \(6\) tháng còn lại, lượng mưa trung bình đạt từ \(67\) mm đến \(275\) mm và như vậy là lượng mưa của \(6\) tháng này có thể chênh lệch nhau đến \(208\) mm.

a) Ta có \(n=30\), khi đó:

+) Giá trị trung bình: \(\bar{x}=66\).

+) Vì \(n\) chẵn nên tứ phân vị thứ 2 là: \(Q_2=M_e=\displaystyle\frac{x_{15}+x_{16}}{2}=\displaystyle\frac{67+68}{2}=67{,}5\).

+) Tứ phân vị thứ nhất: \(Q_1=x_8=58\).

+) Tứ phân vị thứ ba: \(Q_3=x_{23}=77\).

+) Khoảng tứ phân vị: \(\Delta_Q=Q_3-Q_1=77-58=19\).

b) Ta có bảng mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

c) Ta có

+) Giá trị trung bình \(\bar{x}=\displaystyle\frac{45 \cdot 4+55 \cdot 6+65 \cdot 8+75 \cdot 8+85 \cdot 4}{30}\approx 65{,}67\).

+) Khoảng biến thiên \(R=90-40=50\).

+) \(N=30; \displaystyle\frac{N}{4}=7{,}5; \displaystyle\frac{N}{2}=15; \displaystyle\frac{3N}{4}=22{,}5\).

+) Dựa vào bảng ở câu b, nhóm chứa \(Q_1\) là \([50 ; 60)\).

\(Q_1=50+\displaystyle\frac{7{,}5 -4}{6} \cdot 10\approx 55{,}83.\)

+) Nhóm chứa \(Q_2\) là \([60 ; 70)\).

\(Q_2=60+\displaystyle\frac{15-10}{8} \cdot 10=66{,}875.\)

+) Nhóm chứa \(Q_3\) là \([70 ; 80)\).

\(Q_3=70+\displaystyle\frac{22{,}5 -18}{8} \cdot 10=75{,}625.\)

+) Vậy khoảng tứ phân vị là \(\Delta_Q \approx 75{,}625-55{,}83 \approx 19{,}795\).

d) Kết quả ở hai câu khác nhau nhiều vì ở câu c, ta chỉ xét số liệu được một cách tương đối vì xét qua các lớp và giá trị đại diện của nó. Tuy nhiên với số liệu của bảng lớn và phân tán thì việc sử dụng bảng số liệu ghép lớp ưu việt hơn.

Ta có bảng tần số tích luỹ như sau:

+) Khoảng biến thiên \(R=70-10=60\).

+) Ta có \(N=40; \displaystyle\frac{N}{4}=10; \displaystyle\frac{N}{2}=20; \displaystyle\frac{3N}{4}=30\).

+) Dựa vào bảng ở câu b, nhóm chứa \(Q_1\) là \([20 ; 30)\).

\(Q_1=20+\displaystyle\frac{10 -8}{8} \cdot 10= 22{,}5.\)

+) Nhóm chứa \(Q_2\) là \([30 ; 40)\).

\(Q_2=30+\displaystyle\frac{20-16}{10} \cdot 10=34.\)

+) Nhóm chứa \(Q_3\) là \([40 ; 50)\).

\(Q_3=40+\displaystyle\frac{30 -26}{6} \cdot 10\approx 46{,}67.\)

+) Vậy khoảng tứ phân vị là \(\Delta_Q \approx 46{,}67-22{,}5 \approx 24{,}17\).