Số hạng đầu của các dãy số trên là

a) \(a_1=0.\)

b) \(c_1=1.\)

c) \(b_1=2\cdot 1=2.\)

d) \(d_1=2\pi\cdot1=2\pi.\)

}

a) Dãy số xác định bởi cách liệt kê phần tử.

b) Dãy số xác định bởi cách diễn tả bằng lời.

c) Dãy số xác định bởi công thức của số hạng tổng quát.

d) Dãy số xác định bằng phương pháp truy hổi.

}

Số hạng đầu, số hạng cuối của dãy số lần lượt là \(u_1 = 2\), \(u_5=10\).

Dạng khai triển của dãy số đó là \(2\), \(4\), \(6\), \(8\), \(10\).

}

Ta có \(u_2=\displaystyle\frac{1}{2}\); \(u_3=\displaystyle\frac{1}{3}\).

Dự đoán công thức số hạng tổng quát là \(u_n=\displaystyle\frac{1}{n}.\)

}

Ta có \(u_1=\displaystyle\frac{1}{2}\); \(u_2=\displaystyle\frac{2}{3}\); \(u_3=\displaystyle\frac{3}{4}\).

Dự đoán công thức số hạng tổng quát là \(u_n=1-\displaystyle\frac{1}{n+1}\).

}

a) Ba số hạng đầu tiên là: \(u_1=0\); \(u_2=\displaystyle\frac{1}{7}\); \(u_3=\displaystyle\frac{2}{10}=\displaystyle\frac{1}{5}\).

b) Ta có \(u_{50}=\displaystyle\frac{50-1}{3 \cdot 50+1}=\displaystyle\frac{49}{151}\); \(u_{99}=\displaystyle\frac{99-1}{3 \cdot 99+1}=\displaystyle\frac{98}{298}=\displaystyle\frac{49}{149}\).

}

Ta có

+) \(u_3=u_2+u_1=1+1=2.\)

+) \(u_4=u_3+u_2=2+1=3.\)

+) \(u_5=u_4+u_3=3+2=5.\)

Vậy \(u_5=5\).

}

Năm số hạng đầu của dãy số là: \(2,\ 3,\ 5, \ 7,\ 11\).

}

Ta có: \(u_1=1, u_2=3 u_1+2=3 \cdot 1+2=5, u_3=3 u_2+2=3 \cdot 5+2=17\).

}

a) Năm số hạng đầu của dãy số là

\(u_1 = 3;\ u_2 =9;\ u_3 = 19;\ u_4 = 33;\ u_5 = 51.\)

b) Năm số hạng đầu của dãy số là

\(u_1 = -1;\ u_2 =\displaystyle\frac{1}{3};\ u_3 = -\displaystyle\frac{1}{5};\ u_4 = \displaystyle\frac{1}{7};\ u_5 = -\displaystyle\frac{1}{9}.\)

c) Năm số hạng đầu của dãy số là

\(u_1 = 2;\ u_2 =2;\ u_3 = \displaystyle\frac{8}{3};\ u_4 = 4;\ u_5 = \displaystyle\frac{32}{5}.\)

d) Năm số hạng đầu của dãy số là

\(u_1 = 2;\ u_2 =\displaystyle\frac{9}{4};\ u_3 = \displaystyle\frac{64}{27};\ u_4 = \displaystyle\frac{625}{256};\ u_5 = \displaystyle\frac{7776}{3125}.\)

}

Ta có \(u_1 = u_2 = 1\).

Thay \(n=3\) vào công thức truy hồi của dãy số ta được \(u_3 = u_2 + u_1 = 1 + 1 = 2\).

Thay \(n=4\) vào công thức truy hồi của dãy số ta được \(u_4 = u_3 + u_2 = 2 + 1 = 3\).

Cứ như thế ta tìm được \(10\) số hạng đầu của dãy số \((u_n)\) là \(1\), \(1\), \(2\), \(3\), \(5\), \(8\), \(13\), \(21\), \(34\), \(55\).

}

a) Năm số hạng đầu của dãy số \((u_n)\) là

\(u_1 = 1;\ u_2 =3;\ u_3 = 5;\ u_4 = 7;\ u_5 = 9.\)

b) Số hạng tổng quát của dãy số \((u_n)\) được dự đoán là \(u_n = 2n-1\) với \(n\in\mathbb{N}^*\).

Dạng khai triển của dãy số \((u_n)\) là \(1\), \(3\), \(5\), \(\ldots\), \(2n-1\), \(\ldots\)

}

a) Năm số hạng đầu của dãy số là: \(2,\ 4, \ 6,\ 8,\ 10\).

Số hạng thứ \(100\) của dãy số là \(u_{100}=2.100=200\).

b) Năm số hạng đầu của dãy số là: \(-1,\ \displaystyle\frac{1}{2} ,\ -\displaystyle\frac{1}{3},\ \displaystyle\frac{1}{4},\ -\displaystyle\frac{1}{5}\).

Số hang thứ \(100\) của dãy số là \(u_{100}=\displaystyle\frac{(-1)^{100}}{100}=\displaystyle\frac{1}{100}\).

}

a) Dãy \(\left(u_n\right)\) có số hạng đầu \(u_1=1\) và số hạng tổng quát \(u_n=2 n-1\).

b) Dãy \(\left(v_n\right)\) có số hạng đầu \(v_1=5\) và số hạng tổng quát \(v_n=5 n\).

}

a) Năm số hạng đầu của dãy số \((u_n)\) với số hạng tổng quát \(u_n=n!\) là \(u_1=1!=1;\,u_2=2!=2;\,u_3=3!=6;\,u_4=4!=24;\,u_5=5!=120.\)

b) Năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci \((F_n)\) cho bởi hệ thức truy hồi \(\begin{cases}F_1=1, F_2=1\\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2},\, (n\geq 3)\end{cases}\) là

\(F_1=1;\,F_2=2;\,F_3=1+1=2;\,F_4=1+2=3;\,F_5=2+3=5.\)

}

a) Năm số hạng đầu của dãy số là

\(u_2=2\cdot u_1=2\cdot 1=2;\) \(u_3=3\cdot u_2=3\cdot 2=6;\) \(u_4=4\cdot u_3=4\cdot 6=24;\) \(u_5=5\cdot u_4=5\cdot 24=120;\)

\(u_6=6\cdot u_5=6\cdot 120=720.\)

b) Số hạng tổng quát của dãy là \(u_n=n!\).

}

a) \(u_1=3\cdot 1-2=1;\) \(u_2=3\cdot 2-2=4;\) \(u_3=3\cdot 3-2=7;\) \(u_4=3\cdot 4-2=10;\) \(u_5=3\cdot 5-2=13;\) \(u_{100}=3\cdot 100-2=298.\)

b) \(u_1=3 \cdot 2^1=6;\) \(u_2=3 \cdot 2^2=12;\) \(u_3=3 \cdot 2^3=24;\) \(u_4=3 \cdot 2^4=48;\) \(u_5=3 \cdot 2^5=96;\) \(u_{100}=3 \cdot 2^{100}.\)

c) \(u_1=\left(1+\displaystyle\frac{1}{1}\right)^{1}=2\); \(u_2=\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{2}=\displaystyle\frac{9}{4}\); \(u_3=\left(1+\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{3}=\displaystyle\frac{64}{27}\); \(u_4=\left(1+\displaystyle\frac{1}{4}\right)^{4}=\displaystyle\frac{625}{256}\); \(u_5=\left(1+\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{5}=\displaystyle\frac{1296}{625}\); \(u_{100}=\left(1+\displaystyle\frac{1}{100}\right)^{100}\).

}

a) Dãy số trên là dãy hữu hạn.

b) Năm số hạng đầu lần lượt là: \(u_{1}=1\); \(u_{2}=8\); \(u_{3}=27\); \(u_{4}=64\); \(u_{5}=125\).

}

a) Dãy số chỉ diện tích của \(5\) hình tròn trên là \(\pi\); \(4\pi\); \(9\pi\); \(16\pi\); \(25\pi\).

b) Số hạng đầu \(u_{1}=\pi\) ; số hạng cuối \(u_{5}=25\pi\).

}

a) Các số hạng của dãy số là: \(1,3,5,7,9,11,13,15,17,19\).

b) Số hạng đầu của dãy số này là \(1\) và số hạng cuối của dãy số là \(19\).

}

a) Dãy số \(u_n=n-1\) bị chặn dưới, vì \(u_{n}\ge 0,\, \forall n \in \mathbb{N}^{*}\).

b) Dãy số \(u_n=\displaystyle\frac{n+1}{n+2}\) bị chặn trên, vì \(u_n=1-\displaystyle\frac{1}{n+2}<1,\, \forall n \in \mathbb{N}^{*}\).

Dãy số \(\left(u_{n}\right)\) cũng bị chặn dưới, vì \(u_n=\displaystyle\frac{n+1}{n+2} \geq \displaystyle\frac{2}{3},\, \forall n \in \mathbb{N}^{*}\).

Vậy dãy số \(\left(u_{n}\right)\) bị chặn.

c) Dãy số \(u_n=\sin n\) bị chặn trên, bị chặn dưới, vì \(-1\le \sin n \le1,\, \forall n \in \mathbb{N}^{*}\).

Vậy dãy số \(\left(u_{n}\right)\) bị chặn.

d) Bốn số hạng đầu của dãy số là \\\(u_2=(-1)^1\cdot 2^2=-4;\) \(u_3=(-1)^2\cdot 3^2=9;\) \(u_4=(-1)^3 \cdot 4^2=-16;\) \(u_5=(-1)^4\cdot 5^2=25;\) \(\cdots\)

Vậy dãy số không bị chặn.

}

a) \(u_n=3k\);

b) \(u_n=4k+1\).

}

Ta có

\(u_{n+1}-u_{n}=[-2(n+1)+5]-(-2 n+5)=(-2 n+3)+2 n-5=-2 < 0,\) tức là \(u_{n+1}.

Vậy \(\left(u_{n}\right)\) là dãy số giảm.

}

Dãy số \(\left(u_{n}\right)\) bị chặn trên, vì \(u_{n}=\displaystyle\frac{n-1}{n}=1-\displaystyle\frac{1}{n}<1,\, \forall n \in \mathbb{N}^{*}\).

Dãy số \(\left(u_{n}\right)\) cũng bị chặn dưới, vì \(u_{n}=\displaystyle\frac{n-1}{n} \geq 0,\, \forall n \in \mathbb{N}^{*}\).

Vậy dãy số \(\left(u_{n}\right)\) bị chặn.

}

a) Ta có

\(u_{n+1}-u_{n}=[2(n+1)-1]-(2 n-1)=2>0,\) tức là \(u_{n+1}>u_{n},\, \forall n \in \mathbb{N}^{*}\).

Vậy \(\left(u_{n}\right)\) là dãy số tăng.

b) Ta có

\(u_{n+1}-u_{n}=[-3(n+1)+2]-(-3 n+2)=-3<0,\) tức là \(u_{n+1}. Vậy \(\left(u_{n}\right)\) là dãy số giảm.

c) Bốn số hạng đầu của dãy số là

\(u_2=\displaystyle\frac{(-1)^{1}}{2^1}=-\displaystyle\frac{1}{2};\) \(u_3=\displaystyle\frac{(-1)^{2}}{2^2}=\displaystyle\frac{1}{4};\) \(u_4=\displaystyle\frac{(-1)^{3}}{2^4}=-\displaystyle\frac{1}{16};\) \(u_5=\displaystyle\frac{(-1)^{4}}{2^5}=\displaystyle\frac{1}{32};\) \(\cdots\)

Vậy dãy số không tăng, không giảm.

}

Do dãy số \((u_n)\) là dãy số thực dương nên \(u_n > 0\) với mọi \(n\in\mathbb{N}^*\).

Suy ra với mọi \(n\in\mathbb{N}^*\), ta có \(u_{n+1} > u_n \Leftrightarrow \displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1\).

Vậy dãy số \((u_n)\) là dãy số tăng khi và chỉ khi \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1\) với mọi \(n\in\mathbb{N}^*\).

}

a) Ta có

\(u_{n+1} - u_n = \displaystyle\frac{n-2}{n+3} - \displaystyle\frac{n-3}{n+2} = \displaystyle\frac{5}{(n+2)(n+3)} > 0,\ \forall n\in\mathbb{N}^*\)

hay \(u_{n+1} > u_n,\ \forall n\in\mathbb{N}^*\).

Suy ra dãy số \((u_n)\) là dãy số tăng.

b) Ta có

\(u_{n+1} - u_n = \displaystyle\frac{3^{n+1}}{2^{n+1}\cdot (n+1)!} - \displaystyle\frac{3^n}{2^n\cdot n!} = \displaystyle\frac{3^n}{2^{n+1}\cdot (n+1)!} \left[ 3 - 2(n+1) \right] = \displaystyle\frac{3^n(1-2n)}{2^{n+1}\cdot (n+1)!} <0,\ \forall n\in\mathbb{N}^*\)

hay \(u_{n+1} < u_n,\ \forall n\in\mathbb{N}^*\).

Suy ra dãy số \((u_n)\) là dãy số giảm.

c) Ta có dạng khai triển của dãy số \(u_n\) là \(-3\), \(5\), \(-9\), \(17\), \(\ldots\) nên dãy số \((u_n)\) không là dãy số tăng, không là dãy số giảm.

}

a) Với mọi \(n\in\mathbb{N}^*\), ta có \(u_n = n^2 + 2 \ge 1^2 + 2 > 2\).

Vậy dãy số \((u_n)\) là dãy số bị chặn dưới.

b) Với mọi \(n\in\mathbb{N}^*\), ta có \(u_n = -2n+1 \le -2\cdot 1 + 1 < 0\).

Vậy dãy số \((u_n)\) là dãy số bị chặn trên.

c) Với mọi \(n\in\mathbb{N}^*\), ta có \(n^2 + n \ge 1^2 + 1 > 1 > 0\) nên \(0 < \displaystyle\frac{1}{n^2+n} < 1\).

Vậy dãy số \((u_n)\) là dãy số bị chặn.

}

Ta có \(u_n = \displaystyle\frac{2n+5}{n+1} = 2 + \displaystyle\frac{3}{n+1}\), \(\forall n\in\mathbb{N}^*\).

Do \(0 < \displaystyle\frac{3}{n+1} \le\displaystyle\frac{3}{2}\), \(\forall n\in\mathbb{N}^*\) nên \(2 < 2 + \displaystyle\frac{3}{n+1} \le\displaystyle\frac{7}{2}\) hay \(2 < u_n \le \displaystyle\frac{7}{2}\), \(\forall n\in\mathbb{N}^*\).

Vậy dãy số \((u_n)\) là dãy số bị chặn.

}

Với mọi \(n\in \mathbb{N}^*\), ta có \(u_{n+1} = 3(n+1) - 2= 3n + 1 > 3n - 2 = u_n\).

Vậy dãy số \((u_n)\) là dãy số tăng.

}

Với mọi \(n\in \mathbb{N}^*\), ta có \(u_{n+1} = 3(n+1) - 2= 3n + 1 > 3n - 2 = u_n\).

Vậy dãy số \((u_n)\) là dãy số tăng.

}

a) Ta có \(\begin{cases}0 \leq \sin ^2 \displaystyle\frac{n \pi}{3} \leq 1\\ -1 \leq \cos \displaystyle\frac{n \pi}{4} \leq 1\end{cases},\;\forall n \in \mathbb{N}^*\)

nên \(-1 \leq \sin ^2 \displaystyle\frac{n \pi}{3}+\cos \displaystyle\frac{n \pi}{4} \leq 2,\forall n \in \mathbb{N}^*\).

Vậy \(\left(a_n\right)\) là dãy bị chặn.

b) Ta có \(u_n=\displaystyle\frac{6 n-4}{n+2}=6-\displaystyle\frac{16}{n+2}\).

Vì \(\displaystyle\frac{16}{n+2}>0,\,\forall n\in\mathbb{N}^*\) nên \(u_n<6\). Suy ra dãy số \(\left(u_n\right)\) bị chặn trên.

Vì \(\displaystyle\frac{16}{n+2}\leq \displaystyle\frac{16}{3},\,\forall n\in\mathbb{N}^*\) nên \(u_n\geq \displaystyle\frac{2}{3}\). Suy ra dãy số \(\left(u_n\right)\) bị chặn dưới.

Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy bị chặn.

}

Ta nhận thấy các số hạng của dãy \(\left(y_n\right)\) đều là số dương. Ta lập hiệu của hai số hạng liên tiếp của dãy:

Ta có

\begin{eqnarray*}y_{n+1}-y_n&=&\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\right)-\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\\&=&\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<0,\forall n \in \mathbb{N}^*.\end{eqnarray*}

Vì \(\begin{cases}\sqrt{n+2}\geq \sqrt{n+1}\\ \sqrt{n+1}\geq \sqrt{n}\end{cases}\) \(;\forall n \in \mathbb{N}^*\)nên \(y_{n+1}-y_n < 0\).

Suy ra, \(\left(y_n\right)\) là dãy giảm.

}

Ta có \( u_n=\displaystyle\frac{1}{2^n} \leq \displaystyle\frac{1}{2},\ \forall n \in \mathbb{N}^*\).

Vậy \(\left(u_n\right)\) bị chặn trên.

Ta có \(u_n=\displaystyle\frac{1}{2^n}>0,\ \forall n \in \mathbb{N}^*\).

Vậy \(\left(u_n\right)\) bị chặn dưới.

Ta thấy dãy số \(\left(u_n\right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới, suy ra dãy số \(\left(u_n\right)\) bị chặn.

}

a) Ta có \(a_n=\cos \displaystyle\frac{\pi}{n}\leq 1,\forall n \in \mathbb{N}^*\).

Vậy \(\left(a_n\right)\) bị chặn trên bởi \(1\).

Ta có \(a_n=\cos \displaystyle\frac{\pi}{n}\geq{-1},\forall n \in \mathbb{N}^* \).

Vậy \(\left(a_n\right)\) bị chặn dưới bởi \(-1\).

Ta thấy dãy số \(\left(a_n\right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới, suy ra dãy số \(\left(a_n\right)\) bị chặn.

b) Ta có \(b_n=\displaystyle\frac{n}{n+1}\geq \displaystyle\frac{1}{2},\forall n \in \mathbb{N}^*\).

Vậy \(\left(b_n\right)\) bị chặn dưới bởi \(\displaystyle\frac{1}{2}\).

Ta có \(b_n=\displaystyle\frac{n}{n+1}\leq 1, \forall n \in \mathbb{N}^*\).

Vậy \(\left(b_n\right)\) bị chặn trên bởi \(1\).

Ta thấy dãy số \(\left(b_n\right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới, suy ra dãy số \(\left(b_n\right)\) bị chặn.

}

a) Ta nhận thấy các số hạng của dãy \(\left(a_n\right)\) đều là số dương. Ta lập tỉ số \(2\) số hạng liên tiếp của dãy:

\(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2(n+1)-1}{(n+1)-1}}{\displaystyle\frac{2n-1}{n+1}}=\displaystyle\frac{(2n+1)(n+1)}{n(2n-1)}=\displaystyle\frac{2n^2+3n+1}{2n^2-n}=1+\displaystyle\frac{4n+1}{2n^2-n}>1,\,\forall n \in \mathbb{N}^*.\)

Suy ra \(u_{n+1}>u_n, \forall n \in \mathbb{N}^*\).

Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.

b) Ta có \(x_{n+1}-x_n=\displaystyle\frac{n+3}{4^{n+1}}-\displaystyle\frac{n+2}{4^n}=\displaystyle\frac{-(3n+5)}{4^{n+1}}<0; \forall n \in \mathbb{N}^*\)

Suy ra \(x_{n+1} < x_n, \forall n \in \mathbb{N}^*\).

Vậy \(\left(x_n\right)\) là dãy số giảm.

c) Ta có \(t_1=-1\); \(t_2=4\); \(t_3=-9\), suy ra \(t_1 < t_2\); \(t_2 > t_3\).

Vậy \(\left(t_n\right)\) không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.

}

a) Ta có \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{n+1}<\displaystyle\frac{1}{n}=a_n, \forall n \in \mathbb{N}^*\). Vậy \(\left(a_n\right)\) là dãy số giảm.

b) Ta có \(b_{n+1}=(n+1)^2>n^2=b_n, \forall n \in \mathbb{N}^*\). Vậy \(\left(b_n\right)\) là dãy số tăng.

c) Ta có \(c_1=-2\); \(c_2=4\); \(c_3=-8\), suy ra \(c_1; \(c_2>c_3\).

Vậy \(\left(c_n\right)\) không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.

}

a) Ta nhận thấy các số hạng của dãy \(\left(a_n\right)\) đều là số dương. Ta lập tỉ số hai số hạng liên tiếp của dãy:\\ \(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{n+1}{n+2}}{\displaystyle\frac{n}{n+1}}=\displaystyle\frac{(n+1)(n+1)}{n(n+2)}=\displaystyle\frac{n^2+2 n+1}{n^2+2 n}=1+\displaystyle\frac{1}{n^2+2 n}>1, \forall n \in \mathbb{N}^*\).

Suy ra \(a_{n+1}>a_n, \forall n \in \mathbb{N}^*\).

Vậy \(\left(a_n\right)\) là dãy số tăng.

b) Ta có \(b_{n+1}-b_n=\left[n+1-(n+1)^2\right]-\left(n-n^2\right)=-n^2-n-n+n^2=-2 n<0, \forall n \in \mathbb{N}^*\).

Suy ra \(b_{n+1}.

Vậy \(\left(b_n\right)\) là dãy số giảm.

}

Ta có \(u_{n+1}-u_n=\displaystyle\frac{2(n+1)-1}{n+2}-\displaystyle\frac{2n-1}{n+1}=\displaystyle\frac{3}{(n+2)(n+1)}>0,\forall n \in \mathbb{N}^*\).

Suy ra, \(\left(u_n\right)\) là dãy tăng.

Ta có \(\displaystyle\frac{1}{2} \leq \displaystyle\frac{2 n-1}{n+1}\leq 2,\forall n \in \mathbb{N}^*\).

Suy ra, \(\left(u_n\right)\) là dãy bị chặn.

Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy tăng và bị chặn.

}

Ta có \(u_n=\displaystyle\frac{n a+2}{n+1}=a+\displaystyle\frac{2-a}{n+1} \Rightarrow u_{n+1}=a+\displaystyle\frac{2-a}{n+2} \Rightarrow u_{n+1}-u_n=\displaystyle\frac{a-2}{(n+1)(n+2)}\).

a) Để \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng thì \(u_{n+1}-u_n=\displaystyle\frac{a-2}{(n+1)(n+2)}>0 \Leftrightarrow a>2,\forall n \in \mathbb{N}^*\).

Vậy với \(a>2\) thì \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.

b) Để \(\left(u_n\right)\) là dãy số giảm thì \(u_{n+1}-u_n=\displaystyle\frac{a-2}{(n+1)(n+2)}<0 \Leftrightarrow a<2,\forall n \in \mathbb{N}^*\).

Vậy với \(a<2\) thì \(\left(u_n\right)\) là dãy số giảm.

}

a) Công thức số hạng tổng quát là \(u_n=13+n\).

b) Công thức truy hồi là \(\begin{cases}u_1=14\\ u_{n+1}=u_n+1.\end{cases}\)

}

a) \(\begin{cases}u_1=25\\u_{n+1}=u_n-1.\end{cases}\)

Suy ra, \(u_{n+1}-u_n=-1<0\). Vậy, \(\left(u_n\right)\) là dãy giảm.

b) \(\begin{cases}v_1=14\\v_{n+1}=v_n+1.\end{cases}\)

Suy ra, \(v_{n+1}-v_n=1>0\). Vậy, \(\left(v_n\right)\) là dãy tăng.

}

Độ dài cạnh của \(8\) hình vuông theo thứ tự bé đến lớn lần lượt là \(1\); \(1\); \(2\); \(3\); \(5\); \(8\); \(13\); \(21\).

Nhận xét: kể từ hình vuông thứ \(2\) cạnh của nó bằng tổng hai cạnh hình vuông khác liền trước nó.

}

Ta thấy

+) Hàng \(1\) có \(1\) hình tròn.

+) Hàng \(2\) có \(2\) hình tròn.

+) Hàng \(3\) có \(3\) hình tròn.

+) Hàng \(4\) có \(4\) hình tròn.

Vậy ta dự đoán công thức tổng quát của dãy số \((u_n)\) là \(u_n = n\) với mọi \(n\in\mathbb{N}^*\).

}

Ta thấy

+) Hàng \(1\) có \(1\) hình vuông cạnh \(1\) đơn vị nên \(v_1 = 1\times 1 = 1^3\).

+) Hàng \(2\) có \(2\) hình vuông cạnh \(2\) đơn vị nên \(v_2 = 2\times 2^2 = 2^3\).

+) Hàng \(3\) có \(3\) hình vuông cạnh \(3\) đơn vị nên \(v_3 = 3\times 3^2 = 3^3\).

+) Hàng \(4\) có \(4\) hình vuông cạnh \(4\) đơn vị nên \(v_4 = 4\times 4^2 = 4^3\).

Vậy ta dự đoán công thức tổng quát của dãy số \((v_n)\) là \(v_n = n^3\) với mọi \(n\in\mathbb{N}^*\).

}

a. Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất là

\(A_1=100\left(1+\displaystyle\frac{0{,}06}{12}\right)^1 =100{,}5\) (triệu đồng),

sau tháng thứ hai là

\(A_2=100\left(1+\displaystyle\frac{0{,}06}{12}\right)^2=101{,}0025\) (triệu đồng).

b. Số tiền ông An nhận được sau 1 năm là

\(A_{12}=100\left(1+\displaystyle\frac{0{,}06}{12}\right)^{12} =106{,}1678\) (triệu đồng).

}

a. Ta có

\(\begin{aligned}A_0=\ &100{.}000{.}000+100{.}000{.}000 \cdot 0{,}8\%-2{.}000{.}000\\ =\ &100{.}000{.}000(1+0{,}8\%)-2{.}000{.}000\\ =\ &98{.}800{.}000.\\ A_1=\ &A_0+A_0 \cdot 0{,}8\%-2{.}000{.}000\\ =\ &A_0(1+0{,}8\%)-2{.}000{.}000\\ =\ &97{.}590{.}400.\\ A_2=\ &A_1(1+0{,}8\%)-2{.}000{.}000\\ =\ &96{.}371{.}123.\\ A_3=\ &A_2(1+0{,}8\%)-2{.}000{.}000\\ =\ &95{.}142{.}092.\\ A_4=\ &A_3(1+0{,}8\%)-2{.}000{.}000\\ =\ &93{.}903{.}228.\\ A_5=\ &A_4(1+0{,}8\%)-2{.}000{.}000\\ =\ &92{.}654{.}454.\\ A_6=\ &A_5(1+0{,}8\%)-2{.}000{.}000\\ =\ &91{.}395{.}690.\end{aligned}\)

b. Hệ thức truy hồi đối với dãy số \(\left(A_n\right)\) là

\(A_n = A_{n-1}(1+0{,}8\%)-2{.}000{.}000.\)

}

a. Số tiền lãi chị thu được sau tháng thứ \(1\) là \(100000000 \cdot 0{,}5\% = 500000\) đồng.

Do đó \(P_1 = 100000000 + 500000 + 6000000\) \(= 106500000\) (đồng).

b. Số tiền chị có trong ngân hàng sau tháng thứ \(2\) là

\(P_2 = P_1 + P_1\cdot 0{,}5\% + 6000000\) \(= 113032500\) (đồng).

Số tiền chị có trong ngân hàng sau tháng thứ \(3\) là

\(P_3 = P_2 + P_2\cdot 0{,}5\% + 6 = 119597662\) (đồng).

c. Ta chọn đơn vị là triệu đồng và xét bài toán tổng quát: Số tiền ban đầu là \(T\) triệu đồng với lãi suất hàng tháng là \(r\) và mỗi tháng gửi thêm \(a\) triệu đồng thì số tiền trong tài khoản sau tháng thứ \(n\) là \(P_n\) triệu đồng.

Số tiền lãi sau tháng thứ \(n\) được tính là \(P_n \cdot r\) nên ta có

\(\begin{aligned}P_1 =\ &T + T\cdot r + a = T(1+r) + a\\ =\ &T(1+r) + \displaystyle\frac{a(1+r)^1 - a}{r};\end{aligned}\)

\(\begin{aligned}P_2 =\ &P_1 + P_1\cdot r + a\\ =\ &T(1+r)^2 + (r+1)\cdot\displaystyle\frac{a(1+r)^1 - a}{r} + a\\ =\ &T(1+r)^2 + \displaystyle\frac{a(1+r)^2 - a}{r};\end{aligned}\)

\(\begin{aligned}P_3 =\ &P_2 + P_2\cdot r + a\\ =\ &T(1+r)^3 + (r+1)\cdot\displaystyle\frac{a(1+r)^2 - a}{r} + a\\ =\ &T(1+r)^3 + \displaystyle\frac{a(1+r)^3 - a}{r}.\end{aligned}\)

Cứ tiếp tục như vậy thì ta dự đoán công thức tổng quát của \(P_n\) là

\(P_n = T(1+r)^n + \displaystyle\frac{a(1+r)^n - a}{r}.\)

Thay số \(T = 100\), \(r = 0{,}5\% = 0{,}005\) và \(a =6\) ta thu được

\(P_n = 100\cdot 1{,}005^n + \displaystyle\frac{6\cdot 1{,}005^n - 6}{0{,}005}.\)

}