Đang cập nhật
Câu 1:
Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau
\(\bullet\,\) \(f(x)=-x^2\);
\(\bullet\,\) \(f(x)=x^3-2 x\);
\(\bullet\,\) \(f(x)=\displaystyle\frac{4}{x}\).
Tính đạo hàm của các hàm số sau
\(\bullet\,\) Với bất kì \(x_0\), ta có
\(f^\prime(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\displaystyle\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) \(=\lim\limits_{x\to x_0}\displaystyle\frac{-x^2+{x_0}^2}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\left[-(x+x_0)\right]=-2x_0\).
Vậy \(f^\prime(x)=-2x\) trên \(\mathbb{R}\).
\(\bullet\,\) Với bất kì \(x_0\), ta có
\(f^\prime(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\displaystyle\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) \(=\lim\limits_{x\to x_0}\displaystyle\frac{\left[\left(x^3-2x\right)-\left({x_0}^3-2x_0\right)\right]}{x-x_0}\) \(=\lim\limits_{x\to x_0}\left[x^2+xx_0+{x_0}^2-2\right]=3{x_0}^2-2\).
Vậy \(f^\prime(x)=3x^2-2\) trên \(\mathbb{R}\).
\(\bullet\,\) Với mọi \(x_0\ne 0\), ta có
\(f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4}{x}-\displaystyle\frac{4}{x_0}}{x-x_0}\) \(=\lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{4(x_0-x)}{x x_0\left(x-x_0\right)}=\lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{-4}{x x_0}=-\displaystyle\frac{4}{x_0^2}.\)
Vậy \(f^{\prime}(x)=\left(\displaystyle\frac{4}{x}\right)^{\prime}=-\displaystyle\frac{4}{x^2}\) trên các khoảng \((-\infty ; 0)\) và \((0 ;+\infty)\).
}
Câu 2:
Cho hàm số \(f(x)=-2 x^2\) có đồ thị \((C)\) và điểm \(A(1 ;-2) \in(C)\). Tính hệ số góc của tiếp tuyến với \((C)\) tại điểm \(A\).
Đạo hàm \(f^\prime(x)=-4x\).
Hệ số góc tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(A\) là
\(k=f^\prime(1)=-4\cdot 1=-4.\)
}
Câu 3:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^3\).
\(\bullet\,\) Tại điểm \((-1 ; 1)\);
\(\bullet\,\) Tại điểm có hoành độ bằng \(2\).
\(\bullet\,\) Ta có \(f^\prime(x)=3x^2\) nên \(f^\prime(-1)=3\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \((-1;1)\) là
\(y=f^\prime(-1)\cdot (x+1)+1\) \(\Leftrightarrow y=3x+4.\)
\(\bullet\,\) Gọi \(A(2;8)\) thuộc đồ thị hàm số \(y=x^3\)
Ta có \(f^\prime(x)=3x^2\) nên \(f^\prime(2)=12\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại \(A\) là
\(y=f^\prime(2)\cdot (x-2)+8\) \(\Leftrightarrow y=12x-16.\)
}
Câu 4:
Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s(t)=4 t^3+6 t+2\), trong đó \(s\) tính bằng mét và \(t\) là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại \(t=2\).
Ta có: \(v(t)=s^\prime(t)=12t^2+6\).
Vận tốc tức thời tại \(t=2\) là \(v(2)=12\cdot 2^2+6=54 \;m/s\).
}
Câu 5:
Một người gửi tiết kiệm khoản tiền \(10\) triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất \(5 \% /\) năm. Tính tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau một năm, nếu tiền lãi được tính theo thể thức
\(\bullet\,\) Lãi kép với kì hạn \(6\) tháng;
\(\bullet\,\) Lãi kép liên tục.
Số tiền nhận được sau
\(\bullet\,\) Lãi kép với kì hạn \(6\) tháng.
Số tiền nhận được sau \(6\) tháng đầu
\(T=10000000\cdot \mathrm{e}^{0.05\cdot \frac{1}{2}}=10253151{,}21\) (đồng).
Số tiền nhận được sau \(6\) tháng tiếp theo
\(T=10253151,21\cdot \mathrm{e}^{0.05\cdot \frac{1}{2}}=10512710{,}97\) (đồng).
\(\bullet\,\) Lãi kép với kì hạn liên tục là \(T=10000000\cdot \mathrm{e}^{0.05}=10512710{,}96\) (đồng).
}
Câu 6:
Trên Mặt Trăng, quãng đường rơi tự do của một vật được cho bởi công thức \(h(t)=0,81 t^2\), với \(t\) được tính bằng giây và \(h\) tính bằng mét. Hãy tính vận tốc tức thời của vật được thả rơi tự do trên Mặt Trăng tại thời điểm \(t=2\).
baitapsgk11/t11ch7b1sgkh1.png
Vận tốc rơi tức thời tại thời điểm \(t=2\) là \(v(2)=h^\prime(2)=1{,}62\cdot2=3{,}24\) m/s.
}