Bài 5. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1. Phương trình \(\sin x=m\)

+ Nếu \(|m|>1\) thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu \(|m| \leq 1\) thì tồn tại góc \(\alpha\) thuộc \(\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\) sao cho \(\sin \alpha=m\). Khi đó ta biến đổi phương trình như sau

\[\sin x=m\Leftrightarrow\sin x=\sin\alpha\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\alpha+k 2\pi\\ &x=\pi-\alpha+k 2 \pi,\quad k \in \mathbb{Z}\end{aligned}\right.\]

Chú ý.

\(+)\) Một số trường hợp đặc biệt

\(\circ\quad\) \(\sin x=1 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}\)

\(\circ\quad\) \(\sin x=-1 \Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}\)

\(\circ\quad\) \(\sin x=0 \Leftrightarrow x=k \pi, k \in \mathbb{Z}\)

\(+)\) \(\sin u=\sin v \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&u=v+k 2 \pi\\ &u=\pi-v+k 2 \pi,\ k \in \mathbb{Z}.\end{aligned}\right.\)

\(+)\) \(\sin x=\sin a^{\circ} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=a^{\circ}+k 360^{\circ}\\ &x=180^{\circ}-a^{\circ}+k 360^{\circ},\ k \in \mathbb{Z}.\end{aligned}\right.\)

2. Phương trình \(\cos x=m\)

+ Nếu \(|m|>1\) thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu \(|m|\leq 1\) thì tồn tại góc \(\alpha\) thuộc \([0 ;\pi]\) sao cho \(\cos\alpha=m\). Khi đó

\[\cos x=m\Leftrightarrow\cos x=\cos\alpha\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\alpha+k 2\pi\\ &x=-\alpha+k 2 \pi,\quad k \in \mathbb{Z}\end{aligned}\right.\]

Chú ý.

+) Một số trường hợp đặc biệt

\(\circ\quad\) \(\cos x=1 \Leftrightarrow x=k 2 \pi,\ k \in \mathbb{Z}\)

\(\circ\quad\) \(\cos x=-1 \Leftrightarrow x=\pi+k 2 \pi,\ k \in \mathbb{Z}\)

\(\circ\quad\) \(\cos x=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)

+) \(\cos u=\cos v\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&u=v+k 2 \pi\\ &u=-v+k 2 \pi,\ k \in \mathbb{Z}.\end{aligned}\right.\)

+) \(\cos x=\cos a^{\circ}\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=a^{\circ}+k 360^{\circ}\\ &x=-a^{\circ}+k 360^{\circ}\quad (k \in \mathbb{Z}).\end{aligned}\right.\)

3. Phương trình \(\tan x=m\)

Với mọi số thực \(m\), ta biến đổi phương trình \(\tan x=m\) như sau

\[\tan x=m\Leftrightarrow \tan x=\tan\alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k \pi,\ k \in \mathbb{Z}\]

với \(\alpha\) là góc thuộc \(\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) sao cho \(\tan \alpha=m\).

Chú ý.

\[\tan x=\tan a^{\circ}\Leftrightarrow x=a^{\circ} + k 180^{\circ},\ k\in\mathbb{Z}.\]

4. Phương trình \(\cot x=m\)

Với mọi số thực \(m\), ta biến đổi phương trình \(\cot x=m\) như sau

\[\cot x=m\Leftrightarrow\cot x=\cot\alpha\Leftrightarrow x=\alpha+k \pi,\ k \in \mathbb{Z}.\]

với \(\alpha\) là góc thuộc \((0 ; \pi)\) sao cho \(\cot \alpha=m\).

Chú ý.

\(\cot x=\cot a^{\circ}\Leftrightarrow x=a^{\circ} + k 180^{\circ},\ k\in\mathbb{Z}\).

Bài tập

Bài tập 1

Giải phương trình

a) \(\sin x=-\displaystyle\frac{1}{2}\);

b) \(\cos x=-\displaystyle\frac{1}{6}\).

a) Do \(\sin \left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=-\displaystyle\frac{1}{2}\) nên

\(\sin x=\sin \left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ &x=\pi-\left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)+k2\pi\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ &x=\displaystyle\frac{7\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

b) Do \(\sin \displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) nên

\(\sin x=\sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\\ &x=\pi-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\\ &x=\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

Bài tập 2

\hfil

a) Giải phương trình \(\sin x=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\);

b) Tìm góc lượng giác \(x\) sao cho \(\sin x=\sin 55^\circ\).

a) Ta có

\(\sin x=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \displaystyle\frac{\pi}{3}\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\\ &x=\pi -\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\\ &x=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

b) Ta có

\(\sin x=\sin 55^\circ \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=55^\circ+k360^\circ\\ &x=180^\circ -55^\circ+k360^\circ\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=55^\circ+k360^\circ\\ &x=125^\circ+k360^\circ\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

Bài tập 3

Giải phương trình

a) \(\sin 3x=\sin 2x\);

b) \(\sin x=\cos 3x\).

a) \(\sin 3x=\sin 2x \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&3x=2x+k2\pi\\ &3x=\pi-2x+k2\pi\end{aligned}\right. \Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=k2\pi\\&x=\displaystyle\frac{\pi}{5}+k\displaystyle\frac{2\pi}{5}\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z})\)

b) \(\sin x=\cos 3x \Leftrightarrow \sin x=\sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-x\right) \Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{2}-x+k2\pi\\ &x=\pi-\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-x\right)+k2\pi\end{aligned}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&4x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\\&-2x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{8}+k\displaystyle\frac{\pi}{2}\\ &x=-\displaystyle\frac{\pi}{4}-k\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

Vì \(\left\{-\displaystyle\frac{\pi}{4}-k\pi|\, k\in \mathbb{Z}\right\}=\left\{-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi|\, k\in \mathbb{Z}\right\}\) nên ta có thể viết như sau:

\(\sin x=\cos 3x \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{8}+k\displaystyle\frac{\pi}{2}\\&x=-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

Bài tập 4

Giải phương trình \(\sin 2x=\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\).

Ta có \(\sin 2x=\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&2x=x+\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\\&2x=\pi-\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)+k2\pi\end{aligned}\right. \Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\\&3x=\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\end{aligned}\right. \Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\\ &3x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

Bài tập 5

Giải phương trình

a) \(\cos x=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\);

b) \(\cos x=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\).

a) Do \(\cos \displaystyle\frac{\pi}{6}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) nên

\(\cos x=\cos \displaystyle\frac{\pi}{6} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\&x=-\displaystyle\frac{\pi}{5}+k2\pi \end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

b) Do \(\cos \displaystyle\frac{3\pi}{4}=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) nên

\(\cos x=\cos \displaystyle\frac{3\pi}{4} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\\&x=-\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

Bài tập 6

a) Giải phương trình \(\cos x=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

b) Tìm góc lượng giác \(x\) sao cho \(\cos x=\cos (-87^\circ)\).

a) Ta có

\(\cos x=-\displaystyle\frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x=\cos \displaystyle\frac{2\pi}{3}\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\\&x=-\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right. (k\in\mathbb{Z}).\)

b) Ta có

\(\cos x=\cos (-87^\circ)\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=-87^\circ+k360^\circ\\&x=-(-87^\circ)+k360^\circ\end{aligned}\right. \Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=-87^\circ+k360^\circ\\ &x=87^\circ+k360^\circ\\\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

Bài tập 7

Giải phương trình \(\cos 3x=\cos \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\).

Ta có

\(\cos 3x=\cos \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&3x=x+\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\\&3x=-\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)+k2\pi\end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k\pi\\&x=-\displaystyle\frac{\pi}{12}+k\displaystyle\frac{\pi}{2}\end{aligned}\right.(k\in \mathbb{Z}).\)

Bài tập 8

Giải phương trình

a) \(\tan x=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\);

b) \(\tan x=-1\).

a) Do \(\tan \displaystyle\frac{\pi}{6}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\) nên \(\tan x=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \tan x=\displaystyle\frac{\pi}{6} \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\,\, (k\in \mathbb{Z})\).

b) Do \(\tan \left(-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) =-1\) nên \(\tan x=-1 \Leftrightarrow \tan x=\tan \left(-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) \Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\,\, (k\in \mathbb{Z})\).

Bài tập 9

\hfil

a) Giải phương trình \(\tan x=1\).

b) Tìm góc lượng giác \(x\) sao cho \(\tan x=\tan 67^\circ\).

a) Ta có: \(\tan x=1 \Leftrightarrow \tan x=\tan \displaystyle\frac{\pi}{4}\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\).

b) Ta có: \(\tan x=\tan 67^\circ \Leftrightarrow x=67^\circ +k180^\circ, k\in \mathbb{Z}\).

Bài tập 10

Giải phương trình \(\cot 2x=-\sqrt{3}\).

Do \(\cot \displaystyle\frac{5\pi}{6}=-\sqrt{3}\) nên

\(\cot 2x =-\sqrt{3} \Leftrightarrow \cot 2x = \cot \displaystyle\frac{5\pi}{6}\)

\(\Leftrightarrow 2x = \displaystyle\frac{5\pi}{6}+k\pi \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{5\pi}{12}+k\displaystyle\frac{\pi}{2}\,\,(k\in \mathbb{Z}).\)

Bài tập 11

a) Giải phương trình \(\cot x=1\).

b) Tìm góc lượng giác \(x\) sao cho \(\cot x=\cot (-83^\circ)\).

a) Ta có \(\cot x=1 \Leftrightarrow \cot x=\cot \displaystyle\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi \,\, (k\in \mathbb{Z})\).

b) Ta có \(\cot x=\cot (-83^\circ) \Leftrightarrow x=-83^\circ+k180^\circ\,\, (k\in \mathbb{Z})\).

Bài tập 12

Giải các phương trình sau

a) \(\cos\left(3x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\);

b) \(2\sin^2x-1+\cos 3x=0\);

c) \(\tan\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{5}\right)=\tan\left(x-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\).

a) Ta có

\begin{eqnarray*}\cos\left(3x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}&\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&3x-\displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\\&3x-\displaystyle\frac{\pi}{4}=-\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&3x=\pi+k2\pi\\&3x=-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\\&x=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\end{aligned}\right.,\left(k\in\mathbb{Z}\right).\end{eqnarray*}

b) Ta có

\begin{eqnarray*}2\sin^2x-1+\cos 3x=0&\Leftrightarrow&\cos 3x-\cos 2x=0\\&\Leftrightarrow&\cos 3x=\cos 2x\\&\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&3x=2x+k2\pi\\&3x=-2x+k2\pi\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&x=k2\pi\\&5x=k2\pi\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&x=k2\pi\\&x=\displaystyle\frac{k2\pi}{5}\end{aligned}\right.,\left(k\in\mathbb{Z}\right).\end{eqnarray*}

c) Ta có

\begin{eqnarray*}\tan\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{5}\right)=\tan\left(x-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)&\Leftrightarrow&\begin{cases}x-\displaystyle\frac{\pi}{6}\ne\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\\ 2x+\displaystyle\frac{\pi}{5}\ne\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\\ 2x+\displaystyle\frac{\pi}{5}=x-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k\pi\end{cases}\\&\Leftrightarrow&\begin{cases}x\ne\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k\pi\\ x\ne\displaystyle\frac{\pi}{20}+\displaystyle\frac{k\pi}{2}\\ x=-\displaystyle\frac{11\pi}{30}+k\pi\end{cases},\left(k\in\mathbb{Z}\right).\end{eqnarray*}

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=-\displaystyle\frac{11\pi}{30}+k\pi\) với \(k\in\mathbb{Z}\).

Bài tập 13

Giải các phương trình sau

a) \(\cos x=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\).

b) \(\cos x=0{,}1\).

a) \(\cos x=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \cos x=\cos \displaystyle\frac{5 \pi}{6} \Leftrightarrow x=\pm \displaystyle\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}\).

b) Gọi \(\alpha \in[0 ; \pi]\) là góc thoả mãn \(\cos \alpha=0{,}1\).

Khi đó, \(\cos x=0{,}1\Leftrightarrow \cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow x=\pm \alpha+k 2 \pi,\ k \in\mathbb{Z}.\)

Bài tập 14

Giải phương trình \(\cos 2 x=\cos \left(45^{\circ}-x\right)\).

\(\begin{aligned}\cos 2 x=\cos \left(45^{\circ}-x\right) & \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2 x=45^{\circ}-x+k 360^{\circ} \\2 x=-\left(45^{\circ}-x\right)+k 360^{\circ}\end{array}\right. \\& \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { 3 x = 4 5 ^ { \circ } + k 3 6 0 ^ { \circ }} \\ { x = - 4 5 ^ { \circ } + k 3 6 0 ^ { \circ }} \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=15^{\circ}+k 120^{\circ} \\ x=-45^{\circ}+k 360^{\circ}\end{array}(k \in \mathbb{Z}) .\right.\right.\end{aligned}\)

Bài tập 15

Giải các phương trình sau:

a) \(\tan x=-\sqrt{3}\).

b) \(\tan x=2\).

a) \(\tan x=-\sqrt{3} \Leftrightarrow \tan x=\tan \left(-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) \Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{\pi}{3}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\).

b) Gọi \(\alpha \in\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) là góc thoả mãn tan \(\alpha=2\).

Khi đó,

\(\tan x=2 \Leftrightarrow \tan x=\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k \pi, k \in \mathbb{Z}.\)

Bài tập 16

Giải các phương trình sau:

a) \(\cot x=-\sqrt{3}\).

b) \(\cot x=5\).

a) \(\cot x=-\sqrt{3} \Leftrightarrow \cot x=\cot \left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) \Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\).

b) Gọi \(\alpha \in(0 ; \pi)\) là góc thoả mãn \(\cot \alpha=5\).

Khi đó, \(\cot x=5 \Leftrightarrow \cot x=\cot \alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k \pi, k \in \mathbb{Z}.\)

Bài tập 17

Giải các phương trình sau:

a) \(\sin x=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\).

b) \(2\cos x=-\sqrt2\).

c) \(\sqrt3\tan\left(\displaystyle\frac{x}{2}+15^\circ \right)=1\).

d) \(\cot(2x-1)=\cot\displaystyle\frac{\pi}{5}\).

a) \(\sin x=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \sin x=\sin\left( \displaystyle\frac{\pi}{3} \right) \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\\&x=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right., k \in \mathbb{Z}\).

b) \(2\cos x=-\sqrt2 \Leftrightarrow \cos x=-\displaystyle\frac{\sqrt2}{2} \Leftrightarrow \cos x=\cos\left(\displaystyle\frac{3\pi}{4} \right) \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\\&x=-\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\end{aligned}\right., k \in \mathbb{Z}\).

c) \(\sqrt3\tan\left(\displaystyle\frac{x}{2}+15^\circ \right)=1 \Leftrightarrow \tan \left(\displaystyle\frac{x}{2}+15^\circ \right)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt3} \Leftrightarrow \tan \left(\displaystyle\frac{x}{2}+15^\circ \right)=\tan\left(30^\circ \right) \\ \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x}{2}+15^\circ=30^\circ+k180^{\circ} \Leftrightarrow x=30^\circ+k360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}\).

d) \(\cot(2x-1)=\cot\displaystyle\frac{\pi}{5} \Leftrightarrow 2x-1=\displaystyle\frac{\pi}{5} +k\pi, x=\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{10}+\displaystyle\frac{k}{2}\pi, k \in \mathbb{Z}\).

Bài tập 18

Giải các phương trình sau:

a) \(\sin 2x+\cos 4x=0\).

b) \(\cos 3x=-\cos 7x\).

a) \(\sin 2x+\cos 4x=0\Leftrightarrow -\sin2x=\cos4x\Leftrightarrow \cos\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{2} \right) =\cos4x \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&4x=2x+\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\\&4x=-2x-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{aligned}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&2x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\\&6x=-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\\&x=-\displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k}{3}\pi\end{aligned}\right.,k \in \mathbb{Z}.\)

b) \(\cos 3x=-\cos 7x\Leftrightarrow \cos 3x=\cos (\pi-7x)\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&3x=\pi-7x+k2\pi\\&3x=7x-\pi+k2\pi\end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{10}+\displaystyle\frac{k}{5}\pi\\&x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{k}{4}\pi\end{aligned}\right., k \in \mathbb{Z}\).

Bài tập 19

Giải các phương trình sau:

a) \(\sin x = -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\);

b) \(\sin x = \displaystyle\frac{1}{3}\).

a) \(\sin x = -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( -\displaystyle\frac{\pi}{3} \right) \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x = -\displaystyle\frac{\pi}{3} + k2\pi \\ & x = \displaystyle\frac{4\pi}{3} + k2\pi\end{aligned}\right. \,\, (k \in \mathbb{Z}).\)

b) Gọi \(\alpha \in \left[ -\displaystyle\frac{\pi}{2}; \displaystyle\frac{\pi}{2} \right]\) là góc thỏa mãn \(\sin \alpha = \displaystyle\frac{1}{3}\). Khi đó,

\(\sin x = \displaystyle\frac{1}{3} \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x = \alpha + k2\pi \\ & x = \pi - \alpha + k2\pi\end{aligned}\right.\, (k \in \mathbb{Z}).\)

Bài tập 20

Giải phương trình \(\sin 2x = \sin (60^{\circ} - 3x)\).

Ta có

\begin{align*}\sin 2x = \sin (60^{\circ}-3x) & \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& 2x = 60^{\circ}-3x + k360^{\circ} \\ & 2x = 180^{\circ} - (60^{\circ}-3x) + k360^{\circ}\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& 5x = 60^{\circ} + k360^{\circ} \\ & -x = 120^{\circ} + k360^{\circ}\end{aligned}\right. \\ &\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x = 12^{\circ} + k72^{\circ} \\ & x = -120^{\circ} - k360^{\circ}\end{aligned}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}).\end{align*}

Bài tập 21

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)-\sin 2 x=0\) là bao nhiêu?

\begin{eqnarray*}&&\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)-\sin 2 x=0\\&\Leftrightarrow& \sin 2x=\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) \\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&2x=x+\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\&2x=\pi-x-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\&x=\displaystyle\frac{5\pi}{18}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\end{aligned}\right. (k\in\mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

Ta thấy nghiệm dương nhỏ nhất của họ \(x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\) là \(x=\displaystyle\frac{\pi}{6}\) (ứng với \(k=0\)); nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm \(x=\displaystyle\frac{5\pi}{18}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\) là \(x=\displaystyle\frac{5\pi}{18}\) (ứng với \(k=0\)). Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình lượng giác đã cho là \(x=\displaystyle\frac{\pi}{6}\).

Bài tập 22

Giải các phương trình sau:

a) \(\sin 2 x+\cos 3 x=0\)

b) \(\sin x \cos x=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}\);

c) \(\sin x+\sin 2 x=0\).

a) \(\sin 2 x+\cos 3x=0\)

\begin{eqnarray*}\sin 2x+\cos 3x=0 &\Leftrightarrow& \cos 3x=-\sin 2x \\&\Leftrightarrow& \cos 3x=\sin \left(-2x\right)\\&\Leftrightarrow& \cos 3x=\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}+2x\right)\\&\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&3x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+2x+k2\pi\\&3x=-\displaystyle\frac{\pi}{2}-2x+k2\pi\end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\\&x=-\displaystyle\frac{\pi}{10}+\displaystyle\frac{k2\pi}{5}\end{aligned}\right. (k\in\mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi, k\in\mathbb{Z}\) và \(x=-\displaystyle\frac{\pi}{10}+\displaystyle\frac{k2\pi}{5}, k\in\mathbb{Z}\).

b) \(\sin x \cos x=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}\);

\begin{eqnarray*}&&\sin x \cos x=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4} \\&\Leftrightarrow& 2\sin x\cos x=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\\&\Leftrightarrow&\sin 2x=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&2x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\\&2x=\pi-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{8}+k\pi\\&x=\displaystyle\frac{3\pi}{8}+k\pi\end{aligned}\right. (k\in\mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x=\displaystyle\frac{\pi}{8}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\) và \(x=\displaystyle\frac{3\pi}{8}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\).

c) \(\sin x+\sin 2 x=0\).

\begin{eqnarray*}&&\sin x+\sin 2 x=0 \\&\Leftrightarrow& \sin x+2\sin x\cos x=0 \\&\Leftrightarrow& \sin x \left(1+2\cos x\right)=0 \\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&\sin x=0\\&1+2\cos x=0\end{aligned}\right. \\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&\sin x=0\\&\cos x=-\displaystyle\frac{1}{2}\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=k\pi\\&x=\pm \displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right. (k\in\mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

Vậy phương trình có các nghiệm là \(k\pi, k\in\mathbb{Z}\) và \(x=\pm \displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi, k\in\mathbb{Z}\).

Bài tập 23

Giải các phương trình lượng giác sau

a) \(\sin 2x=\displaystyle\frac{1}{2}\).

b) \(\sin\left(x - \displaystyle\frac{\pi}{7}\right)=\sin\displaystyle\frac{2\pi}{7}\).

c) \(\sin 4x - \cos\left(x + \displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=0\).

a)

\begin{eqnarray*}&&\sin 2x=\displaystyle\frac{1}{2}\\&\Leftrightarrow& \sin 2x=\sin \displaystyle\frac{\pi}{6}\\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&2x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\&2x=\displaystyle\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{12}+k\pi\\&x=\displaystyle\frac{5\pi}{12}+k\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

b)

\begin{eqnarray*}&&\sin\left(x - \displaystyle\frac{\pi}{7}\right)=\sin\displaystyle\frac{2\pi}{7}\\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}& x - \displaystyle\frac{\pi}{7}=\displaystyle\frac{2\pi}{7} +k2\pi\\& x - \displaystyle\frac{\pi}{7}=\pi - \displaystyle\frac{2\pi}{7} +k2\pi\end{aligned}\right.\\ &\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{3\pi}{7} + k2\pi\\&x=\displaystyle\frac{6\pi}{7} + k2\pi\end{aligned}\right. (k\in\mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

c)

\begin{eqnarray*}&&\sin 4x - \cos\left(x + \displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=0\\&\Leftrightarrow& \sin 4x = \cos\left(x + \displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\\&\Leftrightarrow& \sin 4x = \sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{3}-x\right)\\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&4x=\displaystyle\frac{\pi}{3}-x+k2\pi\\&4x=\pi - \displaystyle\frac{\pi}{3}+x+k2\pi\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&5x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\\&3x= \displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{15}+\displaystyle\frac{k2\pi}{5}\\&x= \displaystyle\frac{2\pi}{9}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

Bài tập 24

Giải các phương trình lượng giác sau

a) \(\cos\left(x + \displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\).

b) \(\cos 4x=\cos\displaystyle\frac{5\pi}{12}\).

c) \(\cos^2x=1\).

a)

\begin{eqnarray*}&&\cos\left(x + \displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\\&\Leftrightarrow &\cos\left(x + \displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=\cos \displaystyle\frac{\pi}{6}\\&\Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}&x + \displaystyle\frac{\pi}{3}=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\&x + \displaystyle\frac{\pi}{3}=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow &\left[\begin{aligned}&x=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\&x=-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

b)

\begin{eqnarray*}&&\cos 4x=\cos\displaystyle\frac{5\pi}{12}\\&\Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}&4x=\displaystyle\frac{5\pi}{12}+k2\pi\\&4x=-\displaystyle\frac{5\pi}{12}+k2\pi\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{5\pi}{48}+\displaystyle\frac{k\pi}{2}\\&4x=-\displaystyle\frac{5\pi}{48}+\displaystyle\frac{k\pi}{2}\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

c)

\begin{eqnarray*}&&\cos^2 x=1\\&\Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}&\cos x=1\\&\cos x=-1\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}&x=k2\pi\\&x=\pi +k2\pi\end{aligned}\right. (k\in\mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

Bài tập 25

Giải các phương trình lượng giác sau

a) \(\tan x=\tan 55^{\circ}\).

b) \(\tan \left(2 x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=0\).

a) \(\tan x=\tan 55^{\circ}\Leftrightarrow x=55^{\circ} +k180^{\circ}\) \((k\in \mathbb{Z})\).

b) \(\tan \left(2 x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=0\Leftrightarrow 2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}=k\pi\Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{\pi}{8}+\displaystyle\frac{k\pi}{2}\) \((k\in \mathbb{Z})\).

Bài tập 26

Giải các phương trình lượng giác sau

a) \(\cot \left(\displaystyle\frac{1}{2} x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=-1\).

b) \(\cot 3 x=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\).

a)

\begin{eqnarray*}&&\cot \left(\displaystyle\frac{1}{2} x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=-1\\&\Leftrightarrow& \displaystyle\frac{1}{2} x+\displaystyle\frac{\pi}{4}=-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\\&\Leftrightarrow& x=-\pi+k2\pi\, (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

b)

\begin{eqnarray*}&&\cot 3 x=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\\&\Leftrightarrow& \cot 3 x=\cot \left(-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\\&\Leftrightarrow & 3x=-\displaystyle\frac{\pi}{3}+k\pi\\&\Leftrightarrow &x=-\displaystyle\frac{\pi}{9}+\displaystyle\frac{k\pi}{3} \, (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

Bài tập 27

Giải phương trình:

a) \(\sin \left(2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\);

b) \(\sin \left(3x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=-\displaystyle\frac{1}{2}\);

c) \(\cos \left(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) =\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\);

d) \(2\cos 3x+5=3\);

e) \(3\tan x=-\sqrt{3}\);

f) \(\cot x-3=\sqrt{3}\left(1-\cot x\right)\).

a) Ta có

\begin{eqnarray*}&&\sin \left(2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\\ &\Leftrightarrow& \sin \left(2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) =\sin \left(-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&2x-\displaystyle\frac{\pi}{3} =-\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\\&2x-\displaystyle\frac{\pi}{3} = \pi+\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&2x=k2\pi\\&2x=\displaystyle\frac{5\pi}{3} +k2\pi\end{aligned}\right.\\ &\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&x=k\pi\\ &x=\displaystyle\frac{5\pi}{6}+k\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

b) Ta có

\begin{eqnarray*}&&\sin \left(3x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=-\displaystyle\frac{1}{2} \\ &\Leftrightarrow& \sin \left(3x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) =\sin \left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\\ &\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&3x+\displaystyle\frac{\pi}{4} = -\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ &3x+\displaystyle\frac{\pi}{4}=\pi -\left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)+k2\pi\end{aligned}\right. \\ &\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&3x= -\displaystyle\frac{5\pi}{12}+k2\pi\\ &3x=\displaystyle\frac{11\pi}{12}+k2\pi\end{aligned}\right. \\&\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&x=-\displaystyle\frac{5}{36}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\\&x=\displaystyle\frac{11\pi}{36}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

c) Ta có

\begin{eqnarray*}&&\cos \left(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) =\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\ &\Leftrightarrow& \cos \left(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\cos \displaystyle\frac{\pi}{6}\\ &\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4} = \displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ &\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4}= -\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.\\ &\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&\displaystyle\frac{x}{2}=-\displaystyle\frac{\pi}{12}+k2\pi\\ &\displaystyle\frac{x}{2}=-\displaystyle\frac{5\pi}{12}+k2\pi\end{aligned}\right.\\ &\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned} &x=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k4\pi\\ &x=-\displaystyle\frac{5\pi}{6}+k4\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

d) Ta có

\(2\cos 3x+5=3 \Leftrightarrow \cos 3x =-1 \Leftrightarrow 3x=\pi+k2\pi \Leftrightarrow x = \displaystyle\frac{\pi}{3}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\,\,(k\in \mathbb{Z})\).

e) Ta có

\(3\tan x=-\sqrt{3} \Leftrightarrow \tan x =-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} \Leftrightarrow \tan x=\tan \left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) \Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k\pi\,\, (k\in \mathbb{Z}).\)

f) Ta có

\begin{eqnarray*}&&\cot x-3=\sqrt{3}\left(1-\cot x\right)\\ &\Leftrightarrow& \cot x-3 =\sqrt{3}-\sqrt{3}\cot x\\ &\Leftrightarrow& (1+\sqrt{3})\cot x=\sqrt{3}(1+\sqrt{3})\\ &\Leftrightarrow& \cot x=\sqrt{3}\\ &\Leftrightarrow& \cot x=\cot \displaystyle\frac{\pi}{6}\\ &\Leftrightarrow& x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k\pi\,\, (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

Bài tập 28

Giải phương trinh:

a) \(\sin \left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\sin x\);

b) \(\sin 2x=\cos 3x\);

c) \(\cos^2 2x =\cos^2 \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\).

a) Ta có

\(\sin \left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\sin x\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}=x+k2\pi\\&2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}=\pi-x+k2\pi\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\\&3x=-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\\&x=-\displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\)

b) Ta có

\begin{eqnarray*}\sin 2x=\cos 3x &\Leftrightarrow& \cos 3x =\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-2x\right)\\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&3x=\displaystyle\frac{\pi}{2}-2x+k2\pi\\&3x=\pi-\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-2x\right) +k2\pi\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&5x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\\&x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k2\pi}{5}\\&x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

c) Ta có

\(\cos^2 2x =\cos^2 \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&\cos 2x=\cos \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) \quad (1)\\&\cos 2x=-\cos \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right). \quad (2)\end{aligned}\right.\)

+) \((1) \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&2x=x+\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\&2x=-\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)+k2\pi\end{aligned}\right. \Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\&3x=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ &x=-\displaystyle\frac{\pi}{18}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\end{aligned}\right.(k\in \mathbb{Z})\).

+) \((2) \Leftrightarrow \cos 2x=\cos\left[\pi- \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) \right]\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&2x=\pi- \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)+k2\pi\\ &2x=-\left[\pi- \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\right]+k2\pi\end{aligned}\right. \)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&3x=\displaystyle\frac{5\pi}{6}+k2\pi\\ &x=-\displaystyle\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x=\displaystyle\frac{5\pi}{18}+\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\\ &x=-\displaystyle\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right. (k\in\mathbb{Z}).\)

Bài tập 29

Dùng đồ thị hàm số \(y=\sin x\), \(y=\cos x\) để xác định số nghiệm của phương trình

a) \(3\sin x+2=0\) trên khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{5\pi}{2};\displaystyle\frac{5\pi}{2}\right)\);

b) \(\cos x=0\) trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{5\pi}{2};\displaystyle\frac{5\pi}{2}\right]\).

a) \(3\sin x+2=0\) trên khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{5\pi}{2};\displaystyle\frac{5\pi}{2}\right)\).

Dựa đồ thị hàm số \(y=\sin x\) ta thấy phương trình \(3\sin x+2=0\) có \(5\) nghiệm trên khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{5\pi}{2};\displaystyle\frac{5\pi}{2}\right)\).

b) \(\cos x=0\) trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{5\pi}{2};\displaystyle\frac{5\pi}{2}\right]\).

Dựa vào đồ thị hàm số \(y=\cos x\) ta thấy phương trình \(\cos x=0\) có \(6\) nghiệm trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{5\pi}{2};\displaystyle\frac{5\pi}{2}\right]\).

Bài tập 30

Giải các phương trình sau

a) \(\sin x=\displaystyle\frac{1}{2}\).

b) \(\sin x=-\displaystyle\frac{3}{2}\).

c) \(\sin 2 x=\sin 3 x\).

a) Vì \(\displaystyle\frac{1}{2}=\sin \displaystyle\frac{\pi}{6}\) nên phương trình \(\sin x=\displaystyle\frac{1}{2}=\sin \displaystyle\frac{\pi}{6}\) có các nghiệm là\\ \(x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\pi-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k 2 \pi=\displaystyle\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}.\)

b) Vì \(-\displaystyle\frac{3}{2}<-1\) nên phương trình \(\sin x=-\displaystyle\frac{3}{2}\) vô nghiệm.

c) \(\sin 2 x=\sin 3 x\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}& 3 x=2 x+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}\\&3x=\pi - 2x + k 2\pi, k\in\mathbb{Z}\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}\\&x=\displaystyle\frac{\pi}{5}+\displaystyle\frac{k2 \pi}{5}, k \in \mathbb{Z}.\end{aligned}\right.\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x=k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\displaystyle\frac{\pi}{5}+\displaystyle\frac{k2 \pi}{5}, k \in \mathbb{Z}.\)

Bài tập 31

Giải các phương trình sau

a) \(\cos x= - \displaystyle\frac{1}{2}\).

b) \(\cos 2x=\cos\left(x + 60^{\circ}\right)\).

c) \(\cos 3x=\sin x\).

a) Vì \( - \displaystyle\frac{1}{2}=\cos\displaystyle\frac{2\pi}{3}\) nên phương trình \(\cos x= - \displaystyle\frac{1}{2}=\cos\displaystyle\frac{2\pi}{3}\) có các nghiệm là \\\(x=\displaystyle\frac{2\pi}{3} + k 2\pi, k\in\mathbb{Z}\) và \(x= - \displaystyle\frac{2\pi}{3} + k 2\pi, k\in\mathbb{Z}\).

b)

\begin{eqnarray*}&&\cos 2x=\cos\left(x + 60^{\circ}\right)\\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&2x=x + 60^{\circ} + k 360^{\circ}, k\in\mathbb{Z}\\&2x= - \left(x + 60^{\circ}\right) + k 360^{\circ}, k\in\mathbb{Z}\end{aligned}\right.\\ &\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&x=60^{\circ} + k 360^{\circ}, k\in\mathbb{Z}\\&x= - 20^{\circ} + k 120^{\circ}, k\in\mathbb{Z}.\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x=60^{\circ} + k 360^{\circ}, k\in\mathbb{Z}\) và \(x= - 20^{\circ} + k 120^{\circ}, k\in\mathbb{Z}\).

c) \(\cos 3x=\sin x\Leftrightarrow\cos 3x=\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2} - x\right)\)

\(\begin{aligned}&\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&3x=\displaystyle\frac{\pi}{2} - x + k 2\pi, k\in\mathbb{Z}\\&3x= - \left(\displaystyle\frac{\pi}{2} - x\right) + k 2\pi, k\in\mathbb{Z}\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{8} + k\displaystyle\frac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}\\&x= - \displaystyle\frac{\pi}{4} + k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x=\displaystyle\frac{\pi}{8} + k\displaystyle\frac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}\) và \(x= - \displaystyle\frac{\pi}{4} + k\pi, k\in\mathbb{Z}\).

Bài tập 32

Một cây cầu có dạng cung \(AB\) của đồ thị hàm số \(y=4{,}2\cdot \cos \displaystyle\frac{x}{8}\) và được mô tả trong hệ trục tọa độ với đơn vị trục là mét như hình bên dưới. Một sà lan chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chự nhật với độ cao \(3\) m so với mực nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hóa đó phải nhỏ hơn \(12{,}5\) m.

Với mỗi điểm \(M\) nằm trên mặt cầu, khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt nước tương ứng với giá trị tung độ \(y\) của điểm \(M\).

Xét phương trình

\(4{,}2 \cdot \cos \displaystyle\frac{x}{8}=3 \Leftrightarrow \cos \displaystyle\frac{x}{8}=\displaystyle\frac{5}{7}\)

Do \(x\in [-4\pi;4\pi]\) nên \(\displaystyle\frac{x}{8}\in \left[-\displaystyle\frac{\pi}{2};\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\).

Khi đó, ta có: \(\cos \displaystyle\frac{x}{8}=\displaystyle\frac{5}{7} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x}{8} \approx \pm 0{,}775\), suy ra

\(\left|\displaystyle\frac{x}{8}\right| <0{,}78 \Leftrightarrow |x|<6{,}24\).

Do sà lan có thể đi qua được gầm cầu nên chiều rộng của khối hàng hóa là:

\(2|x|<12{,}48<12{,}5\,\, (\text{m}).\)

Bài tập 33

Trong hình dưới, khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm \(O\) và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật \(A\) gắn ở đầu của lò xo dao động quanh \(O\). Toạ độ \(s\) (cm) của \(A\) trên trục \(Ox\) vào thời điểm \(t\) (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức \(s=10 \sin \left(10 t+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\). Vào các thời điểm nào thì \(s=-5 \sqrt{3}\) cm ?

Theo giả thiết, ta có

\begin{eqnarray*}&&10 \sin \left(10 t+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=-5\sqrt{3}\\&\Leftrightarrow & \sin \left(10 t+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\\&\Leftrightarrow & \sin \left(10 t+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\\ &\Leftrightarrow &\left[\begin{aligned}&10 t+\displaystyle\frac{\pi}{2}=-\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi \\&10 t+\displaystyle\frac{\pi}{2}=\pi+\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right. \\ &\Leftrightarrow &\left[\begin{aligned}&t=-\displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k\pi}{5} \\&t=\displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k\pi}{5}\end{aligned}\right. (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

Vậy để \(s=-5\sqrt{3}\) cm thì \(t=-\displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k\pi}{5}\) \((k \in \mathbb{N}^*)\) và \(t=\displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k\pi}{5}\) \((k\in \mathbb{N})\).

Bài tập 34

Trong hình dưới, ngọn đèn trên hải đăng \(H\) cách bờ biển \(y y'\) một khoảng \(HO=1\) km. Đèn xoay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ \(\displaystyle\frac{\pi}{10}\) rad/s và chiếu hai luồng ánh sáng về hai phía đối diện nhau. Khi đèn xoay, điểm \(M\) mà luồng ánh sáng của hải đăng rọi vào bờ biển chuyển động dọc theo bờ.

a) Ban đầu luồng sáng trùng với đường thẳng \(HO\). Viết hàm số biểu thị toạ độ \(y_M\) của điểm \(M\) trên trục \(Oy\) theo thời gian \(t\).

b) Ngôi nhà \(N\) nằm trên bờ biển với toạ độ \(y_N=-1\) (km). Xác định các thời điểm \(t\) mà đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà.

a) Xét \(\triangle OMH\) có

\(OM=OH\cdot \tan \alpha\Rightarrow y_M=\tan \alpha=\tan \left(\displaystyle\frac{\pi t}{10}\right)\).

Vậy hàm số biểu thị toạ độ \(y_M\) của điểm \(M\) trên trục \(Oy\) theo thời gian \(t\) là \(y_M=\tan \left(\displaystyle\frac{\pi t}{10}\right)\).

b) Theo giả thiết, ta có

\begin{eqnarray*}&&y_N=-1\\ &\Leftrightarrow& \tan \left(\displaystyle\frac{\pi t}{10}\right)=-1\\ &\Leftrightarrow& \displaystyle\frac{\pi t}{10}=-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\\ &\Leftrightarrow& t=-\displaystyle\frac{5}{2}+10k \,(k\in \mathbb{N}^*).\end{eqnarray*}

Bài tập 35

Cho vận tốc \(v\) (cm/s) của một con lắc đơn theo thời gian \(t\) (giây) được cho bởi công thức \(v=-3 \sin \left(1{,}5 t+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\). Xác định các thời điểm \(t\) mà tại đó:

a) Vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất;

b) Vận tốc con lắc bằng \(1{,}5\) cm/s.

a) Ta có

\begin{eqnarray*}&&-1\leq \sin \left(1{,}5 t+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\leq 1, \forall t\geq 0\\ &\Rightarrow&3\geq -3\sin \left(1{,}5 t+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\geq -3, \forall t\geq 0.\end{eqnarray*}

Suy ra \(v\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(3\), điều này xảy ra khi và chỉ khi

\begin{eqnarray*}\sin \left(1{,}5 t+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=-1 \Leftrightarrow 1{,}5t+\displaystyle\frac{\pi}{3}=-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi \Leftrightarrow t=-\displaystyle\frac{5\pi}{9}+\displaystyle\frac{k4\pi}{3}\quad (k\in\mathbb{N}^*).\end{eqnarray*}

b)

\begin{eqnarray*}v=1{,}5&\Leftrightarrow& -3 \sin \left(1{,}5 t+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=1{,}5\\ &\Leftrightarrow& \sin \left(1{,}5 t+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=-\displaystyle\frac{1}{2}\\ &\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&1{,}5t+\displaystyle\frac{\pi}{3}=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\\&1{,}5t+\displaystyle\frac{\pi}{3}=\pi+\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&t=-\displaystyle\frac{\pi}{3}+\displaystyle\frac{k4\pi}{3}\\&t=\displaystyle\frac{5\pi}{9}+\displaystyle\frac{k4\pi}{3}\end{aligned}\right.\quad (k\in\mathbb{N}).\end{eqnarray*}

Vậy vận tốc con lắc bằng \(1{,}5\) cm/s tại các thời điểm \(t=-\displaystyle\frac{\pi}{3}+\displaystyle\frac{k4\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}\) và \(t=\displaystyle\frac{5\pi}{9}+\displaystyle\frac{k4\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}\).

Bài tập 36

Trong hình vẽ, cây xanh \(AB\) nằm trên đường xích đạo được trồng vuông góc với mặt đất và có chiều cao \(5 \mathrm{~m}\). Bóng của cây là \(B E\). Vào ngày xuân phân và hạ phân, điểm \(E\) di chuyển trên đường thẳng \(B x\). Góc thiên đỉnh \(\theta_s=(AB, AE)\) phụ thuộc vào vị trí của Mặt Trời và thay đổi theo thời gian trong ngày theo công thức \(\theta_s(t)=\displaystyle\frac{\pi}{12}(t-12)\) rad, với \(t\) là thời gian trong ngày (theo đơn vị giờ, \(6

a) Viết hàm số biểu diễn toạ độ của điểm \(E\) trên trục \(Bx\) theo \(t\).

b) Dựa vào đồ thị hàm số tang, hãy xác định các thời điểm mà tại đó bóng cây phủ qua vị trí tường rào \(N\) biết \(N\) nằm trên trục \(B x\) với toạ độ là \(x_N=-4\) (m). Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

a) Hàm số biểu diễn toạ độ của điểm \(E\) trên trục \(Bx\) theo \(t\) là

\begin{eqnarray*}x_E=\overline{BE}=AB\cdot \tan \theta_s(t)=5\tan\displaystyle\frac{\pi}{12}(t-12)\, (m).\end{eqnarray*}

b) Gọi \(t_N\) là thời điểm bóng cây phủ đến vị trí \(N\), khi đó \(t_N\) là nghiệm của phương trình

\begin{eqnarray*}&&5\tan\displaystyle\frac{\pi}{12}(t_N-12) = -4 \\&\Leftrightarrow& \tan\displaystyle\frac{\pi}{12}(t_N-12) =-\displaystyle\frac{4}{5}\\& \Leftrightarrow& \displaystyle\frac{\pi}{12}(t_N-12)\approx -0{,}675+k\pi \\&\Leftrightarrow& t_N\approx \displaystyle\frac{-0{,}675}{\displaystyle\frac{\pi}{12}}+12+12k \approx 9{,}4+12k.\end{eqnarray*}

Vì \(6 < t_N < 18\) nên \(k=0\); Lúc đó \(t_N=9{,}4\) (giờ).

Với \(6 < t < 18\) thì \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}<\displaystyle\frac{\pi}{12}(t-12)<\displaystyle\frac{\pi}{2}\). Suy ra hàm số \(x_E\) đồng biến trên \((6;18)\).

Bóng cây phủ qua vị trí tường rào \(N\) khi và chỉ khi

\begin{eqnarray*}x_E\leq x_N \Leftrightarrow t\leq t_N=9{,}4\,\text{(giờ)}.\end{eqnarray*}

Vậy các thời điểm bóng cây phủ qua vị trí tường rào \(N\) là từ hơn \(6\) giờ đến \(9{,}4\) giờ.

Bài tập 37

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố \(A\) ở vĩ độ \(40^\circ\) Bắc trong ngày thứ \(t\) của một năm không nhuận được cho bởi hàm số

\(d(t)=3\sin \left[\displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80)\right] +12\) với \(t\in \mathbb{Z}\) và \(0

a) Thành phố \(A\) có đúng \(12\) giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?

b) Vào ngày nào trong năm thành phố \(A\) có đúng \(9\) giờ có ánh sáng mặt trời?

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố \(A\) có đúng \(15\) giờ có ánh sáng mặt trời?

a) Thành phố \(A\) có đúng \(12\) giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?

Ta giải phương trình

\begin{eqnarray*}d(t)=12 &\Leftrightarrow& 3\sin\left[\displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80)\right] +12=12 \\&\Leftrightarrow& \sin\left[\displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80)\right]=0\\ &\Leftrightarrow& \displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80) =k \pi \\ &\Leftrightarrow& t-80 = 182k\\ &\Leftrightarrow& t= 182k+80 (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

Ta lại có \(0 < 182k+80 \le 365 \Leftrightarrow -\displaystyle\frac{80}{182} < k \le \displaystyle\frac{285}{182} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&k=0\\ &k=1.\end{aligned}\right.\)

Vậy thành phố \(A\) có đúng \(12\) giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ \(80\) (ứng với \(k=0\)) và ngày thứ \(262\) (ứng với \(k=1\)) trong năm.

b) Vào ngày nào trong năm thành phố \(A\) có đúng \(9\) giờ có ánh sáng mặt trời?

Ta giải phương trình

\begin{eqnarray*}d(t)=9 &\Leftrightarrow& 3\sin\left[\displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80)\right] +12=9 \\&\Leftrightarrow& \sin\left[\displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80)\right]=-1\\&\Leftrightarrow& \displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80) =-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2 \pi \\ &\Leftrightarrow& t-80 = -91+364k\\ &\Leftrightarrow& t= 364k-11 (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

Ta lại có \(0 < 364k-11 \le 365 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{11}{364} < k \le \displaystyle\frac{376}{364} \Leftrightarrow k=1.\)

Vậy thành phố \(A\) có đúng \(9\) giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ \(353\) trong năm.

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố \(A\) có đúng \(15\) giờ có ánh sáng mặt trời?

Ta giải phương trình

\begin{eqnarray*}d(t)=15 &\Leftrightarrow& 3\sin\left[\displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80)\right] +12=15 \\ &\Leftrightarrow& \sin\left[\displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80)\right]=1\\ &\Leftrightarrow& \displaystyle\frac{\pi}{182}(t-80) =\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2 \pi \\ &\Leftrightarrow& t-80 = 91+364k\\ &\Leftrightarrow& t= 364k+171 (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

Ta lại có \(0 < 364k+171 \le 365 \Leftrightarrow -\displaystyle\frac{171}{364} < k \le \displaystyle\frac{196}{364} \Leftrightarrow k=0.\)

Vậy thành phố \(A\) có đúng \(15\) giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ \(171\) trong năm.

Bài tập 38

Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) được tổ chức vào mùa xuân thường có trò chơi đánh đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động quanh vị trí cân bằng (như hình minh họa). Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách \(h\) (m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian \(t\,(s)\) (với \(t\geq 0\)) vởi hệ thức \(h=|d|\) với \(d=3\cos \left[\displaystyle\frac{\pi}{3}(2t-1)\right]\), trong đó ta quy ước \(d>0\) khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu và \(d<0\) trong trường hợp ngược lại. Vào thời điểm \(t\) nào thì khoảng cách \(h\) là \(3\) m; \(0\) m?

Khoảng cách \(h\) là \(3\) m khi

\(3\cos \left[\displaystyle\frac{\pi}{3}(2t-1)\right] = - 3 \Leftrightarrow \cos \left[\displaystyle\frac{\pi}{3}(2t-1)\right] = -1 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\pi}{3}(2t-1) =-\pi +k2\pi \Leftrightarrow t=-1+3k,\, k\in \mathbb{Z}.\)

Vậy vào thời điểm \(t=-1+3k,\, k\in \mathbb{Z}\) nào thì khoảng cách \(h\) là \(3\) m.

Khoảng cách \(h\) là \(0\) m khi

\(3\cos \left[\displaystyle\frac{\pi}{3}(2t-1)\right] = 0 \Leftrightarrow \cos \left[\displaystyle\frac{\pi}{3}(2t-1)\right] = 0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\pi}{3}(2t-1) =\displaystyle\frac{\pi}{2} +k\pi \Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{5}{4}+\displaystyle\frac{3}{2}k,\, k\in \mathbb{Z}.\)

Vậy vào thời điểm \(t=\displaystyle\frac{5}{4}+\displaystyle\frac{3}{2}k,\, k\in \mathbb{Z}\) nào thì khoảng cách \(h\) là \(0\) m.

Bài tập 39

Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thuỷ triều. Độ sâu \(h\) (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian \(t\) (giờ) trong một ngày \((0 \leq t<24)\) cho bởi công thức \(h=3 \cos \left(\displaystyle\frac{\pi t}{6}+1\right)+12\) (\textit{Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2021}). Tìm \(t\) để độ sâu của mực nước là:

a) \(15\) m;

b) \(9\) m;

c) \(10{,}5\) m.

a) Thời gian để độ sâu của mực nước là \( 15 \) m là nghiệm của phương trình

\( 3 \cos \left(\displaystyle\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=15 \Leftrightarrow \cos \left(\displaystyle\frac{\pi t}{6}+1\right)=1 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\pi t}{6}+1=k2\pi \Leftrightarrow t= -\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k \quad (k \in \mathbb{Z}).\)

Do \( 0\le t <24 \) nên \( 0 \le -\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k <24 \Rightarrow 0{,}15 < k < 2{,}16 \Rightarrow k \in \{1;2\}\).

Vậy mực nước sâu \( 15 \) m ở thời gian \( t=-\displaystyle\frac{6}{\pi}+12\cdot 1 \approx 10 \text{ giờ } 5 \text{ phút} \) \\và \( t=-\displaystyle\frac{6}{\pi}+12\cdot 2 \approx 22 \text{ giờ } 5 \text{ phút} \).

b) Thời gian để độ sâu của mực nước là \( 9 \) m là nghiệm của phương trình

\( 3 \cos \left(\displaystyle\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=9 \Leftrightarrow \cos \left(\displaystyle\frac{\pi t}{6}+1\right)=-1 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\pi t}{6}+1=\pi+ k2\pi \Leftrightarrow t= 6-\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k \quad (k \in \mathbb{Z}).\)

Do \( 0\le t <24 \) nên \( 0 \le 6-\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k <24 \Rightarrow -0{,}35 < k < 1{,}66 \Rightarrow k \in \{0;1\}\).

Vậy mực nước sâu \( 15 \) m ở thời gian \( t=6-\displaystyle\frac{6}{\pi}+12\cdot 0 \approx 4 \text{ giờ } 5 \text{ phút} \) \\và \( t=6-\displaystyle\frac{6}{\pi}+12\cdot 1 \approx 16 \text{ giờ } 5 \text{ phút} \).

c) Thời gian để độ sâu của mực nước là \( 10{,}5 \) m là nghiệm của phương trình

\begin{eqnarray*}& &3 \cos \left(\displaystyle\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=10{,}5\\ &\Leftrightarrow &\cos \left(\displaystyle\frac{\pi t}{6}+1\right)=-\displaystyle\frac{1}{2}\\ & \Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&\displaystyle\frac{\pi t}{6}+1=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\\&\displaystyle\frac{\pi t}{6}+1=-\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right.\\ &\Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}&t=4\pi -\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k \\&t=-4\pi -\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k\end{aligned}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

+) \( t=4\pi -\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k \).

Do \( 0\le t <24 \) nên \( 0 \le 4\pi -\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k <24 \Rightarrow -0{,}89 < k < 1{,}12 \Rightarrow k \in \{0;1\}\).

+) \( t=-4\pi -\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k \).

Do \( 0\le t <24 \) nên \( 0 \le -4\pi -\displaystyle\frac{6}{\pi} +12k <24 \Rightarrow 1{,}2 < k < 3{,}21 \Rightarrow k \in \{2;3\}\).

Vậy mực nước sâu \( 10{,}5 \) m ở thời gian \( t=4\pi-\displaystyle\frac{6}{\pi}+12\cdot 0 \approx 10 \text{ giờ } 39 \text{ phút} \), \( t=-\displaystyle\frac{6}{\pi}+12\cdot 1 \approx 22 \text{ giờ } 39 \text{ phút} \), \( t=-4\pi-\displaystyle\frac{6}{\pi}+12\cdot 2 \approx 9 \text{ giờ } 31 \text{ phút} \), \( t=-4\pi-\displaystyle\frac{6}{\pi}+12\cdot 3 \approx 21 \text{ giờ } 31 \text{ phút} \).

Bài tập 40

Một cây cầu có dạng cung \(O A\) của đồ thị hàm số \(y=4{,}8 \cdot \sin \displaystyle\frac{x}{9}\) và được mô tả trong hệ trục toạ độ với đơn vị trục là mét như ở hình bên.

a) Giả sử chiều rộng của con sông là độ dài đoạn thẳng \(O A\). Tìm chiều rộng đó (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

b) Một sà lan chở khối hàng hoá được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao \(3{,}6\) m so với mực nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn \(13{,}1\) m.

c) Một sà lan khác cũng chở khối hàng hoá được xếp thành hình hộp chữ nhật với chiều rộng của khối hàng hoá đó là \(9 \) m sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều cao của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn \(4{,}3\) m.

a) Ta có hoành độ của \( A \) là giá trị thực dương nhỏ nhất của \( x \) để \( 4{,}8 \cdot \sin \displaystyle\frac{x}{9}=0 \).

Ta có \( 4{,}8 \cdot \sin \displaystyle\frac{x}{9}=0 \Leftrightarrow \sin \displaystyle\frac{x}{9}=0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x}{9}=k\pi \Leftrightarrow x=9\pi \).

Khi đó giá trị thực dương nhỏ nhất là \( x=9\pi \) nên \( A(9\pi;0) \).

Do đó độ dài đoạn thẳng \( OA=9\pi\approx 28{,}3 \) nên chiều rộng là khoảng \( 28{,}3 \) m.

b) Đầu tiên ta tìm khoảng cách từ vị trí chân cầu làm gốc tọa độ đến vị trí trên sông mà tại đó độ cao của cây cầu là \( 3{,}6 \) m.

Do đó ta cần tìm nghiệm thuộc khoảng \( (0;9\pi) \) của phương trình

\(4{,}8 \sin \displaystyle\frac{x}{9} = 3{,}6 \Leftrightarrow \sin \displaystyle\frac{x}{9}=\displaystyle\frac{3}{4} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&\displaystyle\frac{x}{9}=\arcsin{\displaystyle\frac{3}{4}}+k2\pi\\ &\displaystyle\frac{x}{9}=\pi - \arcsin{\displaystyle\frac{3}{4}}+k2\pi\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=9\arcsin{\displaystyle\frac{3}{4}}+18k\pi\\ &x=9\pi - 9\arcsin{\displaystyle\frac{3}{4}}+18k\pi.\end{aligned}\right.\)

Khi đó tập nghiệm thỏa mãn là \( S= \left\lbrace 9\arcsin\displaystyle\frac{3}{4}; 9\pi - 9\arcsin\displaystyle\frac{3}{4}\right\rbrace \).

Do đó độ rộng tối đa của sà lan khi đi qua cầu là

\( 9\pi - 9\arcsin\displaystyle\frac{3}{4}- 9\arcsin\displaystyle\frac{3}{4}\approx 13{,}01<13{,}1 \text{ m.} \)

Vậy ta đã chứng minh được yêu cầu của đề bài.

c) Đầu tiên, ta cũng tìm khoảng cách từ vị trí chân cầu làm gốc độ đến vị trí trên sông nơi mà xà lan gần chân cầu đó nhất.

Ta tính được \( \displaystyle\frac{28{,}3}{2} - \displaystyle\frac{9}{2} = 9{,}65 \) m.

Chiều cao tại vị trí đó là \( h= 4{,}8 \sin \displaystyle\frac{9{,}65}{9} \approx 4{,}22 < 4 {,}3 \) m.

Vậy ta đã chứng minh được chiều cao khối hàng hóa phải nhỏ hơn \( 4{,}3 \) m.

Bài tập 41

Độ sâu \(h(\mathrm{~m})\) của mực nước ở một cảng biển vào thời điểm \(t\) (giờ) sau khi thuỷ triều lên lần đầu tiên trong ngày được tính xấp xỉ bởi công thức \(h(t)=0{,}8 \cos 0{,}5 t+4\).

a) Độ sâu của nước vào thời điểm \(t=2\) là bao nhiêu mét?

b) Một con tàu cần mực nước sâu tối thiểu \(3{,}6 \mathrm{~m}\) đề có thể di chuyển ra vào cảng an toàn. Dựa vào đồ thị của hàm số côsin, hãy cho biết trong vòng \(12\) tiếng sau khi thuỷ triều lên lần đầu tiên, ở những thời điểm \(t\) nào tàu có thể hạ thuỷ. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

a) Với \(t=2\) thì \(h(2)=0,8 \cos 0{,}5\cdot 2+4=0,8 \cos 1+4\approx 4{,}43\) (m).

b) Tàu có thể hạ thủy vào những thời điểm \(t\) thỏa mãn

\begin{eqnarray*}0{,}8 \cos 0{,}5 t+4 \geq 3{,}6 \Leftrightarrow \cos 0{,}5 t \geq -\displaystyle\frac{1}{2}.\quad (*)\end{eqnarray*}

Đặt \(0{,}5t=x\). Với \(t\in[0;12]\) thì \(x\in [0;6]\). Khi bất phương trình \((*)\) trở thành \(\cos x\geq -\displaystyle\frac{1}{2}\).

Quan sát đồ thị hàm số \(y=f(x)=\cos x\) trên \([0;6]\):

Dựa vào đồ thị, ta có

\begin{eqnarray*}\cos x \geq -\displaystyle\frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&0\leq x\leq \displaystyle\frac{2\pi}{3}\\&\displaystyle\frac{4\pi}{3}\leq x\leq 6\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&0\leq 2x\leq \displaystyle\frac{4\pi}{3}\\&\displaystyle\frac{8\pi}{3}\leq 2x\leq 12\end{aligned}\right.\text{ hay } \left[\begin{aligned}&0\leq t\leq \displaystyle\frac{4\pi}{3}\approx 4{,}19\\&8{,}38\approx\displaystyle\frac{8\pi}{3}\leq t\leq 12.\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

Vậy tàu có thể hạ thủy vào các thời điểm \(t\) (giờ) thỏa mãn \(\left[\begin{aligned}&0\leq t\leq 4{,}19\\&8{,}38\leq t\leq 12.\end{aligned}\right.\)