\(\S5.\) PHÉP CHIẾU SONG SONG

1. Khái niệm phép chiếu song song

Trong không gian, cho mặt phẳng \((P)\) và đường thẳng \(l\) cắt \((P)\). Với mỗi điểm \(M\) trong không gian, vẽ một đường thẳng đi qua \(M\) và song song hoặc trùng với \(l\). Đường thẳng này cắt \((P)\) tại \(M'\). Phép cho tương ứng mỗi điểm \(M\) trong không gian với điểm \(M'\) trong \((P)\) được gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng \((P)\) theo phương \(l\).

+ Mặt phẳng \((P)\) được gọi là mặt phẳng chiếu và đường thẳng \(l\) được gọi là phương chiếu của phép chiếu song song nói trên.

+ Phép chiếu song song theo phương \(l\) còn được gọi tắt là phép chiếu theo phương \(l\).

+ Điểm \(M'\) gọi là ảnh của điểm \(M\) qua phép chiếu theo phương \(l\).

+ Cho hình \(\mathscr{H}\) trong không gian. Ta gọi tập hợp \(\mathscr{H}'\) các ảnh \(M'\) của tất cả những điểm \(M\) thuộc \(\mathscr{H}\) qua phép chiếu song song theo phương \(l\) là hình chiếu song song của \(\mathscr{H}\) lên mặt phẳng \((P)\).

2. Các tính chất cơ bản của phép chiếu song song

Tính chất 1. Hình chiếu song song của một đường thẳng là một đường thẳng. Hình chiếu song song của một đoạn thẳng là một đoạn thẳng. Hình chiếu song song của một tia là một tia.

Tính chất 2. Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Tính chất 3. + Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

+ Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

3. Hình biểu diễn của một hình không gian

Hình biểu diễn của một hình \(\mathscr{H}\) trong không gian là hình chiếu song song của \(\mathscr{H}\) trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

Chú ý.

Dựa theo tính chất của phép chiếu song song, ta phải tuân theo một số quy tắc khi vẽ hình biểu diễn, chẳng hạn như

+ Nếu trên hình \(\mathscr{H}\) có hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) thì chúng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) và tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng này phải bằng tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng tương ứng trên hình \(\mathscr{H}\).

+ Nếu hình phẳng nằm trong mặt phẳng không song song với phương chiếu thì

\(\quad -\) Hình biểu diễn của một đường tròn thường là một elip.

\(\quad -\) Hình biểu diễn của một tam giác (vuông, cân, đều) là một tam giác.

\(\quad -\) Hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành là hình bình hành.

Bài tập

Bài tập 1

Hình bên có thể là hình biểu diễn của một hình lục giác đều hay không? Vì sao?

Giả sử ta có hình lục giác đều \(ABCDEF\) tâm \(O\).

Vì tứ giác \(ABCO\) là hình bình hành (và cũng là hình thoi) nên hình biểu diễn tương ứng (tứ giác \(A'B'C'O'\)) cũng phải là hình bình hành. Nhưng theo hình vẽ, ta thấy \(A'O'\) và \(B'C'\) không song song với nhau. Vậy hình đã cho không là hình biểu diễn của một hình lục giác đều.

Bài tập 2

Phép chiếu song song biến tam giác \(ABC\) thành tam giác \(A'B'C'\). Chứng minh rằng phép chiếu đó biến trọng tâm của tam giác \(A B C\) thành trọng tâm của tam giác \(A'B'C'\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

Với phép chiếu song song biến tam giác \(ABC\) thành tam giác \(A'B'C'\), nó cũng biến \(M\) thành \(M'\) và \(G\) thành \(G'\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(B C\) nên \(B\), \(M\), \(C\) thẳng hàng theo thứ tự đó và \(\displaystyle\frac{BM}{MC}=1\). Do vậy \(B'\), \(M'\), \(C'\) thẳng hàng theo thứ tự đó và \(\displaystyle\frac{B'M'}{M'C'}=1\), tức là \(M'\) là trung điểm của \(B'C'\).

Vậy \(A'M'\) là đường trung tuyến của tam giác \(A'B'C'\).

Vì \(A\), \(G\), \(M\) thẳng hàng theo thứ tự đó và \(\displaystyle\frac{AG}{AM}=\displaystyle\frac{2}{3}\) nên \(A'\), \(G'\), \(M'\) thẳng hàng thứ tự đó và \(\displaystyle\frac{A'G'}{A'M'}=\displaystyle\frac{2}{3}\). Vậy \(G'\) là trọng tâm của tam giác \(A'B'C'\).

Bài tập 3

Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\).

a) Xác định hình chiếu của điểm \(A\) trên mặt phẳng \((A'B'C')\) theo phương \(CC'\).

b) Gọi \(M\) là một điểm thuộc đoạn thẳng \(AB\). Xác định hình chiếu của \(M\) trên mặt phẳng \((A'B'C')\) theo phương \(CC'\).

a) Vì \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ nên \(AA'\parallel BB'\parallel CC'\). Vì \(A'\) thuộc mặt phẳng \((A'B'C')\) nên \(A'\) là hình chiếu của \(A\) trên mặt phẳng \((A'B'C')\) theo phương \(CC'\).

b) Trong mặt phẳng \((ABB'A')\) vẽ \(MM'\parallel AA'\) với \(M'\) thuộc \(A'B'\) thì \(MM'\parallel CC'\). Vì \(M'\) thuộc mặt phẳng \((A'B'C')\) nên \(M'\) là hình chiếu của \(M\) trên mặt phẳng \((A'B'C')\) theo phương \(CC'\).

Bài tập 4

Nếu tam giác \(A'B'C'\) là hình chiếu của tam giác \(ABC\) qua một phép chiếu song song thì tam giác \(A B C\) có phải là hình chiếu của tam giác \(A'B'C'\) qua một phép chiếu song song hay không? Hãy giải thích.

Theo giả thiết, tam giác \(A'B'C'\) là hình chiếu của tam giác \(ABC\) qua phép chiếu song song theo phương của đường thẳng \(AA'\) lên mặt phẳng \((A'B'C')\).

Chú ý rằng \(AA'\parallel BB'\parallel CC'\).

Khi đó, ta có thể coi tam giác \(ABC\) là hình chiếu của tam giác \(A'B'C'\) qua phép chiếu song song theo phương của đường thẳng \(AA'\) lên mặt phẳng \((ABC)\).

Bài tập 5

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) (xem hình). Xác định ảnh của các điểm \(A'\), \(B'\), \(C'\), \(D'\) qua phép chiếu song song lên mặt phẳng \((ABCD)\) theo phương \(A'A\).

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp nên các cạnh \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\), \(DD'\) song song với nhau. Do đó, các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) lần lượt là ảnh của \(A'\), \(B'\), \(C'\), \(D'\) qua phép chiếu song song lên mặt phẳng \((ABCD)\) theo phương \(A'A\).

Bài tập 6

Cho mặt phẳng \((P)\), đoạn thẳng \(AB\) và đường thẳng \(\ell\) cắt mặt phẳng \((P)\). Giả sử đường thẳng \(AB\) không song song với \(\ell\). Nêu cách xác định hình chiếu song song của đoạn thẳng \(AB\) trên mặt phẳng \((P)\) theo phương \(\ell\).

Gọi \(A'\), \(B'\) lần lượt là hình chiếu song song của \(A\), \(B\) trên mặt phẳng \((P)\) theo phương \(\ell\).

Khi đó, hình chiếu song song của đoạn thẳng \(AB\) trên mặt phẳng \((P)\) theo phương \(\ell\) là đoạn thẳng \(A'B'\).

Bài tập 7

Cho mặt phẳng \((P)\), tam giác \(ABC\) và đường thẳng \(\ell\) cắt mặt phẳng \((P)\) sao cho các đường thẳng \(AB\), \(BC\), \(CA\) đều không song song hoặc trùng với đường thẳng \(\ell\). Xác định hình chiếu song song của tam giác \(ABC\) trên mặt phẳng \((P)\) theo phương \(\ell\) trong mỗi trường hợp sau:

a) Mặt phẳng \((A B C)\) không song song với \(\ell\);

b) Mặt phẳng \((A B C)\) song song hoặc chứa \(\ell\).

Gọi \(A'\), \(B'\), \(C'\) lần lượt là hình chiếu song song của ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) trên mặt phẳng \((P)\) theo phương \(\ell\).

a) Hình chiếu của tam giác \(ABC\) trên mặt phẳng \((P)\) là tam giác \(A'B'C'\) (Hình a).

b) Ba điểm \(A'\), \(B'\), \(C'\) thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((P)\) nên ba điểm \(A'\), \(B'\), \(C'\) thẳng hàng và có một điểm nằm giữa hai điểm còn lại. Giả sử điểm \(B'\), nằm giữa hai điểm \(A'\) và \(C'\). Khi đó, hình chiếu song song của tam giác \(ABC\) trên mặt phẳng \((P)\) là đoạn thẳng \(A'C'\) (Hình b).

Bài tập 8

Trong các {\it hình a, b, c}, hình nào biểu diễn hình lập phương?

Hình \(a)\) là hình biểu diễn của hình lập phương.

Hình \(b)\) không là hình biểu diễn của hình lập phương vì trong hình này có hai cạnh đối của đáy trên không song song với nhau.

Hình \(c)\) cũng có thể là hình biểu diễn của hình lập phương. Tuy nhiên hình biểu diễn này không tốt vì không giúp ta hình dung được hình trong không gian.

Bài tập 9

Trong các hình \(a), b), c)\), hình nào là hình biểu diễn cho hình tứ diện?

Các Hình \(a), b), c)\) đều là hình biểu diễn cho hình tứ diện.

Bài tập 10

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Xác định ảnh của tam giác \(A'C'D'\) qua phép chiếu song song lên mặt phẳng \((ABCD)\) theo phương \(A'B\).

Gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(D\) qua \(C\).\\ Khi đó \(E\in (ABCD)\) và \(C'E\parallel D'C\parallel A'B\).

Vậy ảnh của tam giác \(A'C'D'\) qua phép chiếu song song lên mặt phẳng \((ABCD)\) theo phương \(A'B\) là tam giác \(BEC\).

Bài tập 11

Vẽ hình biểu diễn của

a) Một tam giác vuông nội tiếp trong một đường tròn;

b) Một lục giác đều.

a) Một tam giác vuông nội tiếp trong một đường tròn có hình biểu diễn như sau

b) Hình biểu diễn của một lục giác đều như sau

Bài tập 12

Vẽ hình biểu diễn của

a) Hình lăng trụ có đáy là tam giác đều.

b) Hình lăng trụ có đáy là lục giác đều.

c) Hình hộp.

Bài tập 13

Vẽ hình biểu diễn của một hình vuông nội tiếp trong một hình tròn.

Hình vuông \(A'B'C'D'\) nội tiếp \((O)\) khi có hai đường chéo là 2 đường kính vuông góc nhau, do đó \(A'C'\) và \(B'D'\) song song với hai cạnh của tam giác vuông nội tiếp \((O)\).

Trước hết, vẽ tam giác \(ABC\) là hình biểu diễn của một tam giác vuông tại nội tiếp trong một đường tròn.

Qua \(O\) ta kẻ hai dây \(A'C'\) và \(B'D'\) của elip lần lượt song song với \(AC\) và \(AB\). Khi đó tứ giác \(A'B'C'D'\) là hình biếu diễn của một hình vuông nội tiếp trong một đường tròn.

Bài tập 14

Vẽ hình biểu diễn của một lục giác đều.

Xét hình lục giác đều \(ABCDEF\), ta nhận thấy

+) Tứ giác \(OABC\) là hình thoi.

+) Các điểm \(D, E, F\) lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm \(A, B, C\), qua tâm \(O\).

Từ đó suy ra cách vẽ hình biễu diễn của lục giác đều \(ABCDEF\) như sau

+) Vẽ hình bình hành \(O'A'B'C'\) biễu diễn cho hình thoi \(OABC\).

+) Lấy các điểm \(D', E', F'\) lần lượt đối xứng với các điểm \(A', B', C'\) qua \(O\), ta được hình biễu diễn \(A'B'C'D'E'F'\) của hình lục giác đều \(ABCDEF\).