ÔN TẬP CHƯƠNG III

Bài tập 1

Cho hai dãy số không âm \(\left(u_{n}\right)\) và \(\left(v_{n}\right)\) với \(\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}=2\) và \(\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} v_{n}=3\). Tìm các giới hạn sau

a) \(\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{u_{n}^{2}}{v_{n}-u_{n}}\);

b) \(\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} \sqrt{u_{n}+2 v_{n}}\).

a) \(\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{u_{n}^{2}}{v_{n}-u_{n}} = \displaystyle\frac{\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}^{2}}{\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} v_{n}-\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}} = \displaystyle\frac{\left(\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}\right)^{2}}{\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} v_{n}-\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}}=\displaystyle\frac{2^2}{3-2}=4\) ;

a) \(\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} \sqrt{u_{n}+2 v_{n}} = \sqrt{\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}+\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} 2 v_{n}} =\sqrt{\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} u_{n}+2\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} v_{n}} =\sqrt{2+2\cdot 3}=2\sqrt{2}\).

Bài tập 2

Tìm \(\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{n^{2}+n+1}{2 n^{2}-1}\).

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho luỹ thừa cao nhất của \(n\), rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.

Áp dụng các quy tắc tính giới hạn, ta được

\(\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{n^{2}+n+1}{2 n^{2}-1}=\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{1}{n}+\displaystyle\frac{1}{n^{2}}}{2-\displaystyle\frac{1}{n^{2}}}=\displaystyle\frac{\lim \limits_{n \rightarrow+\infty}\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}+\displaystyle\frac{1}{n^{2}}\right)}{\lim \limits_{n \rightarrow+\infty}\left(2-\displaystyle\frac{1}{n^{2}}\right)}=\displaystyle\frac{1}{2}.\)

Bài tập 3

Cho hai dãy số \((u_n), (v_n)\) với \(u_n=3+\displaystyle\frac{1}{n}; v_n=5-\displaystyle\frac{2}{n^2}\). Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim u_n, \lim v_n\).

a) \(\lim \left(u_n+v_n\right)\), \(\lim \left(u_n-v_n\right)\), \(\lim \left(u_n\cdot v_n\right)\), \(\lim \displaystyle\frac{u_n}{v_n}\).

a) Ta có

\(\lim u_n=\lim \left(3+\displaystyle\frac{1}{n}\right)=\lim 3+\lim \left(\displaystyle\frac{1}{n}\right)=3+0=3\).

\(\lim v_n=\lim \left(5-\displaystyle\frac{2}{n^2}\right)=\lim 5-\lim \left(\displaystyle\frac{2}{n^2}\right)=5-0=5\).

a) Ta có

\(\lim \left(u_n+v_n\right)=\lim u_n+\lim v_n=3+5=8\).

\(\lim \left(u_n-v_n\right)=\lim u_n-\lim v_n=3-5=-2\).

\(\lim \left(u_n\cdot v_n\right)=\lim u_n\cdot \lim v_n=3\cdot 5=15\).

\(\lim \displaystyle\frac{u_n}{v_n}=\displaystyle\frac{3}{5}\).

Bài tập 4

Tính tổng \(S=1-\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{4}-\displaystyle\frac{1}{8}+\cdots+\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n-1}+\cdots\).

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với \(u_{1}=1\) và \(q=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

Do đó \(S=\displaystyle\frac{u_{1}}{1-q}=\displaystyle\frac{1}{1-\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)}=\displaystyle\frac{2}{3}.\)

Bài tập 5

a) Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn \((u_n)\) với \(u_1=\displaystyle\frac{2}{3}, q=-\displaystyle\frac{1}{4}\).

a) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn \(1,(6)\) dưới dạng phân số.

a) Ta có \(S=\displaystyle\frac{u_1}{1-q}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{3}}{1-\left(-\displaystyle\frac{1}{4}\right)}=\displaystyle\frac{8}{15}\).

a) Ta có \(1,(6)=1+0,(6)=1+\displaystyle\frac{6}{10}+\displaystyle\frac{6}{10^2}+\cdots+\displaystyle\frac{6}{10^n}+\cdots=1+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{6}{10}}{1-\displaystyle\frac{1}{10}}=\displaystyle\frac{5}{3}\).

Bài tập 6

Cho \(f(x)=x-1\) và \(g(x)=x^{3}\). Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim \limits_{x \rightarrow 1}[3 f(x)-g(x)]\).

a) \(\lim \limits_{x \rightarrow 1} \displaystyle\frac{[f(x)]^{2}}{g(x)}\).

Ta có \(\lim \limits_{x \rightarrow 1} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 1}(x-1)=\lim \limits_{x \rightarrow 1} x-\lim \limits_{x \rightarrow 1} 1=1-1=0\). Mặt khác, ta thấy \(\lim \limits_{x \rightarrow 1} g(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 1} x^{3}=1\).

a) Ta có

\(\lim \limits_{x \rightarrow 1}[3 f(x)-g(x)]=\lim \limits_{x \rightarrow 1}[3 f(x)]-\lim \limits_{x \rightarrow 1} g(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 1} 3 \cdot \lim \limits_{x \rightarrow 1} f(x)-\lim \limits_{x \rightarrow 1} g(x)=3 \cdot 0-1=-1.\)

a) Ta có

\(\lim \limits_{x \rightarrow 1} \displaystyle\frac{[f(x)]^{2}}{g(x)}=\displaystyle\frac{\lim \limits_{x \rightarrow 1}[f(x)]^{2}}{\lim \limits_{x \rightarrow 1} g(x)}=\displaystyle\frac{\lim \limits_{x \rightarrow 1} f(x) \cdot \lim \limits_{x \rightarrow 1} f(x)}{\lim \limits_{x \rightarrow 1} g(x)}=\displaystyle\frac{0}{1}=0.\)

Bài tập 7

Biết rằng hàm số \(f(x)\) thoả mãn \(\lim\limits_{x \to 2^-} f(x)=3\) và \(\lim\limits_{x \to 2^+} f(x)=5\). Trong trường hợp này có tồn tại giới hạn \(\lim\limits_{x \to 2} f(x)\) hay không? Giải thích.

Ta có \(\lim\limits_{x \to 2^-} f(x)=3\) và \(\lim\limits_{x \to 2^+} f(x)=5\), do đó \(\lim\limits_{x \to 2^-} f(x)\neq \lim\limits_{x \to 2^+} f(x)\).

Vậy không tồn tại \(\lim\limits_{x \to 2} f(x)\).

Bài tập 8

Cho hàm số \(f(x)=2x-\sin x\), \(g(x)=\sqrt{x-1}\).

Xét tính liên tục của hàm số \(y=f(x)\cdot g(x)\) và \(y=\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\).

a) Hàm số \(f(x)=2x-\sin x\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\in\mathbb{R}\).

a) Hàm số \(g(x)=\sqrt{x-1}\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\ge1\).

a) Ta có \(g(x)=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\).

\end{itemize}

Vậy ta có hàm số \(y=f(x)\cdot g(x)\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\ge1\), hàm số \(y=\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\) liên tục tại mọi điểm \(x_0>1\).

Bài tập 9

Tính \(\lim \limits_{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}\).

Do mẫu thức có giới hạn là \(0\) khi \(x \rightarrow 0\) nên ta không thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số.

Chú ý rằng \(\displaystyle\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}=\displaystyle\frac{(\sqrt{x+9})^{2}-3^{2}}{x(\sqrt{x+9}+3)}=\displaystyle\frac{x}{x(\sqrt{x+9}+3)}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}\).

Do đó \(\lim \limits_{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}=\displaystyle\frac{1}{\lim \limits_{x \rightarrow 0}[\sqrt{x+9}+3]}=\displaystyle\frac{1}{6}\).

Bài tập 10

Cho hàm số \(f(x)= \begin{cases}x^{2} &\text { nếu } 0<x<1\\ x+1 &\text { nếu } 1 \leq x<2.\end{cases}\)

Tính \(\lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}} f(x)\) và \(\lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)\).

Với dãy số \(\left(x_{n}\right)\) bất kì sao cho \(0<x_{n}<1\) và \(x_{n} \rightarrow 1\), ta có \(f\left(x_{n}\right)=x_{n}^{2}\).

Do đó \(\lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} f\left(x_{n}\right)=1\).

Tương tự, với dãy số \(\left(x_{n}\right)\) bất kì mà \(1<x_{n}<2\), \(x_{n} \rightarrow 1\), ta có \(f\left(x_{n}\right)=x_{n}+1\), cho nên \(\lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} f\left(x_{n}\right)=2\).

Bài tập 11

Xét tính liên tục của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{x-1}{x+1}\) tại điểm \(x_0=2\).

Rõ ràng, hàm số đã cho xác định trên \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\), do đó \(x_0=2\) thuộc tập xác định của hàm số.

Ta có

\[\lim\limits_{x\to 2}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 2}{\displaystyle\frac{x-1}{x+1}}=3=f(2).\]

Do đó, hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x_0=2\).

Bài tập 12

Xét tính liên tục của\textbf{ hàm dấu} \(s(x)=\begin{cases}1 &\text{nếu\ }\,x>0\\ 0 &\text{nếu\ }\,x=0\\-1\text{nếu\ }\,x<0\end{cases}\) tại điểm \(x_0=0\).

Ta thấy rằng \(\lim\limits_{x\to 0^+}s(x)=1\) và \(\lim\limits_{x\to 0^-}s(x)=-1\). Do đó, không tồn tại giới hạn \(\lim\limits_{x\to 0}s(x)\).

Vậy hàm số không liên tục tại \(x=0\).

Bài tập 13

Xét tính liên tục của hàm số \(f(x)=\begin{cases}x &\text{nếu }\,x>0\\ 0 &\text{nếu }\,x=0\\-x &\text{nếu }\,x<0\end{cases}\) tại điểm \(x_0=0\).

Ta có \(f(0)=0\), \(\lim\limits_{x\to 0^+}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 0^+}{x^2}=0\), \(\lim\limits_{x\to 0^-}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 0^-}{(-x)}=0\).

Suy ra \(f(0)=\lim\limits_{x\to 0^+}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 0^-}{f(x)}.\)

Vậy hàm số liên tục tại điểm \(x_0=0\).

Bài tập 14

Xét tính liên tục của hàm số \(f(x)=\begin{cases}x-1 &\text{nếu }\,x\in\left(0;1\right)\\ 1&\text{nếu }\,x=1\end{cases}\) trên nửa khoảng \(\left(0;1\right]\).

Ta có \(f(x)=x-1\) với \(x\in \left(0;1\right)\). Với \(x_0\in \left(0;1\right)\) bất kì, ta có\[\lim\limits_{x\to x_0}\left(x-1\right)=x_0-1=f\left(x_0\right).\]

Do đó, hàm số đã cho liên tục trên khoảng \(\left(0;1\right)\).

Hơn nữa, ta có

\[\lim\limits_{x\to 1^-}{f(x)}=0=f(1)\] nên \(f(x)\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[0;1\right)\).

Bài tập 15

Cho hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{x+1}{x-1}\). Tìm các khoảng liên tục của hàm số \(f(x)\).

Tập xác định của hàm số đã cho là \(\mathscr{D}=\left(-\infty;1\right)\cup \left(1;+\infty\right)\). Vậy, hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \(\left(-\infty;1\right)\) và \( \left(1;+\infty\right).\)

Bài tập 16

Tìm các khoảng liên tục của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{x^2+1}{x+2}\).

Tập xác định của hàm số \(f(x)\) là \((-\infty,-2)\cup (-2,+\infty)\). Vậy hàm số liên tục trên các khoảng \((-\infty,-2)\) và \((-2,+\infty)\).

Bài tập 17

Xét tính liên tục của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{\sin x}{x-1}\).

Hàm số xác định trên các khoảng \(\left(-\infty;1\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\). Trên các khoảng này, tử thức (hàm lượng giác) và mẫu thức (hàm đa thức) là các hàm liên tục. Do đó, hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Bài tập 18

Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng \(1\), người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như hình bên. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn.

a) Tính diện tích \(S_n\) của hình vuông được tạo thành từ bước thứ \(n\).

a) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.}

a) Từ giả thiết suy ra diện tích hình vuông sau bằng \(\displaystyle\frac{1}{2}\) diện tích hình vuông trước.

Khi đó diện tích của các hình vuông tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \(S_1=1\) và công bội \(q=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Diện tích \(S_n\) của hình vuông được tạo thành từ bước thứ \(n\) là \(S_n=S_1\cdot q^{n-1}=\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n-1}\).

a) Tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành là:

\(S=\displaystyle\frac{u_1}{1-q}=\displaystyle\frac{1}{1-\displaystyle\frac{1}{2}}=2.\)

Bài tập 19

Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất \(x\) sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số \(C(x)=50000+105 x\).

a) Tính chi phí trung bình \(\overline{C}(x)\) để sản xuất một sản phẩm.

a) Tính \(\lim\limits_{x \to+\infty} \overline{C}(x)\) và cho biết ý nghĩa của kết quả.

a) Chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm là \(\overline{C}(x)=\displaystyle\frac{50000+105 x}{x}\).

a) Ta có

\begin{eqnarray*}\lim\limits_{x \to+\infty} \overline{C}(x)=\lim\limits_{x \to+\infty}\displaystyle\frac{50000+105 x}{x}\\ =\lim\limits_{x \to+\infty}\left(105+\displaystyle\frac{50000}{x}\right)\\ =\lim\limits_{x \to+\infty}105+\lim\limits_{x \to+\infty}\displaystyle\frac{50000}{x}\\ =105.\end{eqnarray*}

Ý nghĩa của kết quả: số lượng sản phẩm càng nhiều thì chi phí sản xuất sẽ càng giảm, chi phí thấp nhất là \(105\) nghìn đồng.

Bài tập 20

Một công ty sản xuất máy tính đã xác định được rằng, tính trung bình một nhân viên có thể lắp ráp được \(N(t)=\displaystyle\frac{50 t}{t+4}\, (t \geq 0)\) bộ phận mỗi ngày sau \(t\) ngày đào tạo. Tính \(\lim\limits_{t \to+\infty} N(t)\) và cho biết ý nghĩa của kết quả.

Ta có

\begin{eqnarray*}&&\lim\limits_{t \to+\infty} N(t)=\lim\limits_{t \to+\infty}\displaystyle\frac{50 t}{t+4}=\lim\limits_{t \to+\infty}\displaystyle\frac{50t}{t\left(1+\displaystyle\frac{4}{t}\right)}\\ &=&\lim\limits_{t \to+\infty}\displaystyle\frac{50}{1+\displaystyle\frac{4}{t}}=\displaystyle\frac{\lim\limits_{t \to+\infty}50}{\lim\limits_{t \to+\infty}1+\lim\limits_{t \to+\infty}\displaystyle\frac{4}{t}}\\ &=&\displaystyle\frac{50}{1+0}=50.\end{eqnarray*}

Ý nghĩa của kết quả: năng suất lao động cao nhất trong một ngày của một nhân viên là \(50\).