ÔN TẬP CHƯƠNG I

Bài tập 1

Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác của góc có số đo từ \(0\) đến \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) hoặc từ \(0^\circ\) đến \(45^\circ\) và tính:

a) \(\cos \displaystyle\frac{21 \pi}{6}\);

b) \(\sin \displaystyle\frac{129 \pi}{4}\);

c) \(\tan 1020^\circ\).

a) \(\cos \displaystyle\frac{21 \pi}{6}=\cos \left(4\pi - \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=\cos \left(-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=\cos \displaystyle\frac{\pi}{2}=\sin 0 =0\);

b) \(\sin \displaystyle\frac{129 \pi}{4}=\sin \left(32\pi + \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\sin \displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\);

c) \(\tan 1020^\circ =\tan (1080^\circ -60^\circ)=\tan (-60^\circ)=-\tan 60^\circ=-\cot 30^\circ=-\sqrt{3}\).

Bài tập 2

Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\), nếu:

a) \(\sin \alpha=\displaystyle\frac{5}{13}\) và \(\displaystyle\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\);

b) \(\cos \alpha=\displaystyle\frac{2}{5}\) và \(0<\alpha<90^\circ\);

c) \(\tan \alpha=\sqrt{3}\) và \(\pi<\alpha<\displaystyle\frac{3 \pi}{2}\);

d) \(\cot \alpha=-\displaystyle\frac{1}{2}\) và \(270^\circ<\alpha<360^\circ\).

a) Ta có \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\displaystyle\frac{25}{169}=\displaystyle\frac{144}{169}\).

Do đó, \(\cos \alpha=\displaystyle\frac{12}{13}\) hoặc \(\cos \alpha=-\displaystyle\frac{12}{13}\).

Vì \(\displaystyle\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\) nên \(\cos \alpha <0\).

Suy ra, \(\cos \alpha=-\displaystyle\frac{12}{13}\).

Do đó, \(\tan \alpha=\displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=-\displaystyle\frac{5}{12}\) và \(\cot \alpha=\displaystyle\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=-\displaystyle\frac{12}{5}\).

b) Ta có \(\sin ^2 \alpha=1-\cos ^2 \alpha=\displaystyle\frac{21}{25}\).

Do đó \(\sin \alpha=-\displaystyle\frac{\sqrt{21}}{5}\) hoặc \(\sin \alpha=\displaystyle\frac{\sqrt{21}}{5}\).

Vì \(0 < \alpha < 90^\circ\) nên điểm biểu diễn của góc \(\alpha\) trên đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ \(I\), do đó \(\sin \alpha > 0\).

Suy ra \(\sin \alpha=\displaystyle\frac{\sqrt{21}}{5}\).

Do đó \(\tan \alpha=\displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\displaystyle\frac{\sqrt{21}}{2}\) và \(\cot \alpha=\displaystyle\frac{1}{\tan \alpha}=\displaystyle\frac{2 \sqrt{21}}{21}\).

c) Ta có \(1+\tan ^2 \alpha=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 \alpha}\Rightarrow \cos^2\alpha=\displaystyle\frac{1}{1+\tan^2\alpha}=\displaystyle\frac{1}{1+3}=\displaystyle\frac{1}{4}\).

Do đó, \(\cos \alpha=\displaystyle\frac{1}{2}\) hoặc \(\cos \alpha=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

Vì \(\pi <\alpha<\displaystyle\frac{3\pi}{2}\) nên \(\cos \alpha <0\).

Suy ra, \(\cos \alpha =-\displaystyle\frac{1}{2}\); \(\sin \alpha=\cos \alpha \cdot \tan \alpha=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\); \(\cot \alpha=\displaystyle\frac{1}{\tan \alpha}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\).

d) Ta có \(1+\cot^2\alpha=\displaystyle\frac{1}{\sin^2\alpha}\Rightarrow \sin^2\alpha=\displaystyle\frac{1}{1+\cot^2\alpha}=\displaystyle\frac{1}{1+\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2}=\displaystyle\frac{4}{5}\).

Do đó, \(\sin \alpha=\displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{5}\) hoặc \(\sin \alpha=-\displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{5}\).

Vì \(270^\circ<\alpha<360^\circ\) nên \(\sin \alpha<0\).

Suy ra \(\sin \alpha=-\displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{5}\); \(\cos \alpha=\sin \alpha\cdot\cot \alpha=-\displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{5}\cdot\left( -\displaystyle\frac{1}{2}\right) =\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{5}\); \(\tan \alpha=\displaystyle\frac{1}{\cot \alpha}=\displaystyle\frac{1}{-\displaystyle\frac{1}{2}}=-2\).

Bài tập 3

Giải các phương trình sau

a) \(\tan x=\sqrt{3}\).

b) \(\tan 2 x=\tan \displaystyle\frac{\pi}{11}\).

a) Vì \(\sqrt{3}=\tan \displaystyle\frac{\pi}{3}\) nên phương trình \(\tan x=\sqrt{3}=\tan \displaystyle\frac{\pi}{3}\) có các nghiệm là \(x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+k \pi,\ k \in \mathbb{Z}.\)

b) \(\tan 2 x=\tan \displaystyle\frac{\pi}{11} \Leftrightarrow 2 x=\displaystyle\frac{\pi}{11}+k \pi,\ k \in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{22}+k \displaystyle\frac{\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}.\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x=\displaystyle\frac{\pi}{22}+k \displaystyle\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\).

Bài tập 4

Giải các phương trình sau

a) \(\cot x=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\).

b) \(\cot 3 x=\cot \displaystyle\frac{\pi}{7}\).

a) Vì \(-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}=\cot \displaystyle\frac{2 \pi}{3}\) nên phương trình

\(\cot x=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}=\cot \displaystyle\frac{2 \pi}{3}\) có các nghiệm là \(x=\displaystyle\frac{2 \pi}{3}+k \pi,\ k \in \mathbb{Z}.\)

b) \(\cot 3 x=\cot \displaystyle\frac{\pi}{7} \Leftrightarrow 3 x=\displaystyle\frac{\pi}{7}+k \pi,\ k \in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{21}+k \displaystyle\frac{\pi}{3},\ k \in \mathbb{Z}\).

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x=\displaystyle\frac{\pi}{21}+k \displaystyle\frac{\pi}{3},\ k \in \mathbb{Z}\).

Bài tập 5

Giải các phương trình sau

a) \(\sin \left(2 x-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\);

b) \(\cos \left(\displaystyle\frac{3 x}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\);

c) \(\sin 3 x-\cos 5 x=0\);

d) \(\cos ^2 x=\displaystyle\frac{1}{4}\);

e) \(\sin x-\sqrt{3} \cos x=0\);

f) \(\sin x+\cos x=0\).

a) \(\sin \left(2 x-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&2 x-\displaystyle\frac{\pi}{6}=-\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\\&2 x-\displaystyle\frac{\pi}{6}=\pi-\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=-\displaystyle\frac{\pi}{12}+k\pi\\&x=\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k\pi\end{aligned}\right. (k \in \mathbb{Z}).\)

b) \(\cos \left(\displaystyle\frac{3 x}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&\displaystyle\frac{3 x}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\\&\displaystyle\frac{3 x}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{4}=-\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{18}+k\displaystyle\frac{4\pi}{3}\\&x=-\displaystyle\frac{7\pi}{18}+k\displaystyle\frac{4\pi}{3}\end{aligned}\right. (k \in \mathbb{Z}).\)

c)

\begin{eqnarray*}& &\sin 3 x-\cos 5 x=0 \\&\Leftrightarrow& \sin 3x = \cos 5x \\&\Leftrightarrow &\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-3x\right) =\cos{5x} \\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&\displaystyle\frac{\pi}{2}-3x=5x+k2\pi\\&\displaystyle\frac{\pi}{2}-3x=-5x+k2\pi\end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&x=-\displaystyle\frac{\pi}{16}-k\displaystyle\frac{\pi}{4}\\&x=-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\end{aligned}\right. (k \in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

d) \(\cos ^2 x=\displaystyle\frac{1}{4} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&\cos x = \displaystyle\frac{1}{2}\\&\cos x =-\displaystyle\frac{1}{2}\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\pm\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\\&x=\pm \displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\end{aligned}\right. (k \in \mathbb{Z}).\)

e) \(\sin x-\sqrt{3} \cos x=0 \Leftrightarrow \sin x =\sqrt{3}\cos x. \qquad (1)\)

Nếu \( \cos x=0 \) thì theo \( (1) \) ta được \( \sin x=0 \) điều này vô lí vì khi đó \( \sin^2x+\cos^2 x =0 \).

Do đó \( \cos x \neq 0 \). Chia hai vế của \( (1) \) cho \( \cos x \), ta được

\[ \tan x= \sqrt{3} \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}).\]

f) \(\sin x+\cos x=0 \Leftrightarrow \sin x= -\cos x. \qquad (1)\)

Nếu \( \cos x=0 \) thì theo \( (1) \) ta được \( \sin x=0 \) điều này vô lí vì khi đó \( \sin^2x+\cos^2 x =0 \).

Do đó \( \cos x \neq 0 \). Chia hai vế của \( (1) \) cho \( \cos x \), ta được

\[ \tan x= -1 \Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}). \]

Bài tập 6

Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) \(\sin ^4 \alpha-\cos ^4 \alpha=1-2 \cos ^2 \alpha\);

b) \(\tan \alpha + \cot \alpha=\displaystyle\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}\).

a) Ta có

\(VT=\sin ^4 \alpha-\cos ^4 \alpha = \left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)\left(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha\right)\)

Ta có \(VT=\sin ^4 \alpha-\cos ^4 \alpha\) \(=\left(\sin^2\alpha-\cos ^2\alpha\right)=1-2\cos^2\alpha=VP\);

b) Ta có

\(VT=\tan \alpha+\cot \alpha =\displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\displaystyle\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\displaystyle\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin \alpha\cdot \cos \alpha}=\displaystyle\frac{1}{\sin \alpha\cdot \cos \alpha}=VP\).

Bài tập 7

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(\displaystyle\frac{1}{\tan \alpha+1}+\displaystyle\frac{1}{\cot \alpha+1}\);

b) \(\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\sin (\pi+\alpha)\);

c) \(\sin \left(\alpha-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)+\cos (-\alpha+6 \pi)-\tan (\alpha+\pi) \cot (3 \pi-\alpha)\).

a) Ta có

\(\displaystyle\frac{1}{\tan \alpha+1}+\displaystyle\frac{1}{\cot \alpha+1}=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+1}+\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}+1}=\displaystyle\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}+\displaystyle\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}=1\);

b) Ta có

\(\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\sin (\pi+\alpha)=\sin \alpha + \sin \alpha =2\sin \alpha\);

c) Ta có

\begin{eqnarray*}\sin \left(\alpha-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)+\cos (-\alpha+6 \pi)-\tan (\alpha+\pi) \cot (3 \pi-\alpha)& = & -\sin \alpha + \cos (-\alpha) + \tan \alpha \cot \alpha\\& = & -\sin \alpha + \cos \alpha + 1\\&=& 1-\sin \alpha +\cos \alpha.\end{eqnarray*}

Bài tập 8

Giả sử một vật dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình

\(x=2 \cos \left(5 t-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right).\)

Ở đây, thời gian \(t\) tính bằng giây và quãng đường \(x\) tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ \( 0 \) đến \( 6 \) giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

Vật đi qua vị trí cân bằng khi và chỉ khi

\[ x=0 \Leftrightarrow 2 \cos \left(5 t-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=0 \Leftrightarrow \cos \left(5 t-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=0\\\Leftrightarrow 5 t-\displaystyle\frac{\pi}{6}=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi \Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{2\pi}{15}+\displaystyle\frac{k\pi}{5} \left(k\in \mathbb{Z}\right).\]

Vì \( 0\leq t \leq 6 \) nên \( 0\leq\displaystyle\frac{2\pi}{15}+\displaystyle\frac{k\pi}{5}\leq 6 \Leftrightarrow -0{,}6\leq k \leq 8{,}8\) mà \( k \in \mathbb{Z} \). Do đó \( k\in \{0;1;2;3;4;5;6;7;8\} \).

Vậy vật đi qua vị trí cân bằng \( 9 \) lần.