\(\S3.\) HÀM SỐ LIÊN TỤC

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \(K\) và \(x_0\in K\).

Hàm số \(y=f(x)\) được gọi là liên tục tại điểm \(x_0\) nếu \(\lim\limits_{x\to x_0}=f\left(x_0\right)\).

Để hàm số \(y=f(x)\) liên tục tại \(x_0\) thì phải có cả ba điều sau

+) Hàm số xác định tại \(x_0\).

+) Tồn tại \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\).

+) \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f\left(x_0\right)\).

2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

+) Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\).

\(\quad\) Hàm số \(y=f(x)\) được gọi là liên tục trên khoảng \((a;b)\) nếu \(f(x)\) liên tục tại mọi điểm trong khoảng ấy.

+) Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên đoạn \([a;b]\).

\(\quad\) Hàm số \(y=f(x)\) được gọi là liên tục trên đoạn \([a;b]\) nếu \(f(x)\) liên tục tại trên khoảng \((a;b)\) và \(\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=f(a)\), \(\lim\limits_{x\to b^-}f(x)=f(b)\).

Chú ý. Nếu hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \([a;b]\) và \(f(a)\cdot f(b)<0\) thì luôn tồn tại ít nhất một điểm \(c\in(a;b)\) sao cho \(f(c)=0\).

3. Tính liên tục của hàm số sơ cấp

+) Hàm số đa thức \(P(x)\), các hàm số lượng giác \(y=\sin x\), \(y=\cos x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

+) Hàm số phân thức \(y=\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}\), hàm số căn thức \(y=\sqrt{P(x)}\), các hàm số lượng giác \(y=\tan x\), \(y=\cot x\) liên tục trên các khoảng của tập xác định của chúng (Trong đó, \(P(x)\) và \(Q(x)\) là các đa thức).

4. Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục

Cho hai hàm số \(y=f(x)\) và \(y=g(x)\) liên tục tại điểm \(x_0\). Khi đó:

+) Các hàm số \(y=f(x)+g(x)\), \(y=f(x)-g(x)\), \(y=f(x)\cdot g(x)\) liên tục tại \(x_0\).

+) Hàm số \(y=\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\) liên tục tại \(x_0\) nếu \(g\left(x_0\right)\ne0\).

Bài tập

Bài tập 1

Hình bên cạnh biểu thị độ cao \( h \) (m) của một quả bóng được đá lên thời gian \( t \) (s), trong đó \( h(t)= -2t^{2}+8t \).

a) Chứng tỏ hàm số \( h(t) \) liên tục trên tập xác định.

b) Dựa và đồ thì hãy xác định \( \displaystyle\lim\limits_{t\to 2}\left(-2t^{2}+8t\right) \).

a) Hàm số trên là hàm đa thức nên liên tục trên \( \mathbb{R} \).

b) Dựa vào đồ thị ta có \( \displaystyle\lim\limits_{t\to 2}\left(-2t^{2}+8t\right) =8 \).

Bài tập 2

Trong các hàm số có đồ thị như hình bên dưới, hàm số nào liên tục trên tập xác định của hàm số đó? Giải thích.

a) Đồ thị hàm số \( f(x)=x^{2}-2x \)

b) Đồ thị hàm số \( g(x)=\displaystyle\frac{x}{x-1} \)

c) Đồ thị hàm số \( h(x)=\begin{cases}-2x &\text{ nếu } x < -1\\ x+1 &\text{ nếu }x\geq 1\end{cases} \)

Hàm số liên tục trên tập xác định là \( f(x)=x^{2}-2x \). Vì đồ thị là một đường liền nét trên mặt phẳng tọa độ.

Bài tập 3

Quan sát đồ thị hàm số, xác định \( f(0) \) và \(\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}f(x)\). Từ đó cho biết mỗi hàm số đó liên tục tại \( x=0 \) hay không? Giải thích.

a) Đồ thị hàm số \( f(x)=x^{2} \)

b) Đồ thị hàm số \( f(x)=\begin{cases}-1 &\text{ nếu } x < 0\\ 0 &\text{ nếu }x=0\\ 1 &\text{ nếu }x > 0\end{cases}\)

a) Trong hình ta có

\( f(0)=0\), \(\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}f(x)=\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}x^{2}=0\).

Như vậy \(\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}f(x)=f(0)\) nên hàm số liên tục tại \( x=0 \).

b) Trong hình ta có

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=-1\), \(\displaystyle\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=1\).

Do đó không tồn tại \(\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}f(x)\).

Vậy hàm số \( f(x) \) không liên tục tại \( x=0 \).

Bài tập 4

Xét tính liên tục của hàm số \( f(x)= 2x^{3}+x+1 \) tại điểm \( x=2 \).

Hàm số trên là hàm sơ cấp nên liên tục trên \( \mathbb{R} \).

Ta có \( f(2)=2\cdot 2^{3}+2+1=19 \).

\( \displaystyle\lim\limits_{x\to 2}f(x) =\displaystyle\lim\limits_{x\to 2}\left(2x^{3}+x+1\right)=2\cdot 2^{3}+2+1=19\).

Vậy \( \displaystyle\lim\limits_{x\to 2}f(x)=f(2)=19 \) nên hàm số \( y=2x^{3}+x+1 \) liên tục tại \( x=2 \).

Bài tập 5

Cho hàm số \( f(x)=x^{3}+2x+\displaystyle\frac{6}{x-2} \).

a) Xét tính liên tục của hàm số \( f(x) \) tại \( x=3 \).

b) Xét tính liên tục của hàm số \( f(x) \) trên tập xác định của hàm số đó.

Tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R}\setminus\{2\} \).

a) Ta thấy

\begin{eqnarray*}\displaystyle\lim\limits_{x\to 3}f(x)&=&\displaystyle\lim\limits_{x\to 3}\left(x^{3}+2x+\displaystyle\frac{6}{x-2}\right)\\&=&\displaystyle\lim\limits_{x\to 3}\left(x^{3}\right)+\displaystyle\lim\limits_{x\to 3}(2x)+\displaystyle\lim\limits_{x\to 3}\left(\displaystyle\frac{6}{x-2}\right)\\&=&3^{3}+2\cdot 3 +\displaystyle\frac{6}{3-2}\\&=&f(3)\end{eqnarray*}

Vậy hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( x=3 \).

b) Hàm số \( g(x) = x^{3} +2x\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\). Do đó hàm số \( g(x) \) liên tục trên mỗi khoảng \( (-\infty;2) \) và \( (2;+\infty) \).

Hàm số \( h(x) \) là hàm số phân thức hữu tỉ nên liên tục trên mỗi khoảng xác định \( (-\infty;2) \) và \( (2;+\infty) \).

Vậy hàm số \( f(x)=g(x)+h(x) \) liên tục trên mỗi khoảnh \( (-\infty;2) \) và \( (2;+\infty) \).

Bài tập 6

Xét tính liên tục của hàm số \(f(x)= \begin{cases}\sqrt{x+4} & \text { khi } x \geq 0 \\ 2 \cos x & \text { khi } x < 0.\end{cases}\)

+) Khi \(x > 0\): \(f(x)=\sqrt{x+4}\) liên tục.

+) Khi \(x < 0\): \(f(x)=2\cos x\) liên tục.

+) Tại \(x=0\): \(\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-} f(x)=f(0)=2\) \(\Rightarrow\) hàm số \(y=f(x)\) liên tục tại \(x=0\).

Vậy hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Bài tập 7

Xét tính liên tục của hàm số:

a) \(f(x)=\begin{cases}x^2+1 &\quad\text{khi } x\ge0\\ 1-x&\quad\text{khi } x < 0\end{cases}\) tại điểm \(x=0\).

b) \(f(x)=\begin{cases}x^2+2&\quad\text{khi } x\ge1\\ x&\quad\text{khi } x < 1\end{cases}\) tại điểm \(x=1\).

a) Ta có \(f(0)=0^2+1=1\), \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}\left(x^2+1\right)=0^2+1=1\),

\phantom{Ta có} \(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to0^-}(1-x)=1-0=1\).

Do \(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=f(0)\) nên hàm số \(y=f(x)\) liên tục tại điểm \(x=0\).

b) Ta có \(f(1)=1^2+2=3\), \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to1^+}\left(x^2+2\right)=1^2+2=3\),

\phantom{Ta có} \(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to1^-}(x)=1=1\).

Do \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)\ne\lim\limits_{x\to1^-}f(x)\) nên không tồn tại \(\lim\limits_{x\to1}f(x)\).

Vậy hàm số \(y=f(x)\) không liên tục tại điểm \(x=1\).

Bài tập 8

Xét tính liên tục của các hàm số sau

a) \(f(x)=\displaystyle\frac{x}{x^2-4}\).

b) \(g(x)=\sqrt{9-x^2}\).

c) \(h(x)=\cos x+\tan x\).

a) Hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{x}{x^2-4}\) là hàm phân thức, có tập xác định là \((-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)\) nên nó liên tục trên các khoảng \((-\infty;-2)\), \((-2;2)\), \((2;+\infty)\).

b) Hàm số \(g(x)=\sqrt{9-x^2}\) là hàm vô tỉ có tập xác định là \([-3;3]\) nên nó liên tục trên đoạn \([-3;3]\).

c) Hàm số \(y=\cos x\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\in\mathbb{R}\), hàm số \(y=\tan x\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\ne\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).

Do đó nên hàm số \(y=\cos x+\tan x\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\ne\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).

Bài tập 9

Xét tính liên tục của hàm số \(y=\displaystyle\frac{\sin x}{x+1}\).

Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)\).

Các hàm số \(y=\sin x\) và \(y=x+1\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\in\mathbb{R}\).

Do đó, hàm số \(y=\displaystyle\frac{\sin x}{x+1}\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\ne-1\) (hay liên tục trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\)).

Bài tập 10

Xét tính liên tục của các hàm số sau

a) \(y=3x^3-4x^2+5x+2\).

b) \(y=\displaystyle\frac{3x^2+x-1}{x-2}\).

a) \(y=3x^3-4x^2+5x+2\) là hàm số đa thức nên nó liên tục trên \(\mathbb{R}\).

b) \(y=\displaystyle\frac{3x^2+x-1}{x-2}\) là hàm số phân thức, có tập xác định \((-\infty;2)\cup(2;+\infty)\) nên nó liên tục trên các khoảng \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\).

Bài tập 11

Xét tính liên tục của hàm số \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\) trên đoạn \([-1;1]\).

Với mọi \(x_0\in(-1;1)\), ta có

\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-x_0^2}=f\left(x_0\right)\).

Do đó hàm số \(f(x)\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\in(-1;1)\).

Ta lại có

\(\lim\limits_{x\to(-1)^+}f(x)=\lim\limits_{x\to(-1)^+}\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-(-1)^2}=0=f(-1)\).

\(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to1^-}\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-1^2}=0=f(1)\).

Vậy hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([-1;1]\).

Bài tập 12

Xét tính liên tục của hàm số

a) \(f(x)=x^2-2x+3\) tại điểm \(x_0=2\).

b) \(f(x)=\begin{cases}x^2+2&\quad\text{khi } x > 0\\ 2x&\quad\text{khi } x\le0\end{cases}\) tại điểm \(x_0=0\).

a) Ta có \(f(2)=3\) và \(\lim\limits_{x\to2}f(x)=\lim\limits_{x\to2}\left(x^2-2x+3\right)=2^2-2\cdot2+3=3\), suy ra \(\lim\limits_{x\to2}f(x)=f(2)\).

Vậy hàm số \(y=f(x)\) liên tục tại \(x_0=2\).

b) Ta có \(f(0)=2\cdot0=0\), \(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to0^-}(2x)=2\cdot0=0\),

\phantom{Ta có }\(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}\left(x^2+2\right)=0+2=2\).

Do \(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)\ne\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) nên không tồn tại \(\lim\limits_{x\to0}f(x)\).

Vậy hàm số \(y=f(x)\) không liên tục tại điểm \(x_0=0\).

Bài tập 13

Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho.

a) \(f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{1}{x} &\text {nếu } x \neq 0 \\ 1 &\text {nếu } x=0\end{cases}\) tại điểm \(x=0\);

b) \(g(x)=\begin{cases}1+x &\text {nếu } x < 1 \\ 2-x& \text {nếu } x \geq 1\end{cases}\) tại điểm \(x=1\).

a) Ta có

+) \(f(0)=1. \)

+) Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x\to 0}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x\to 0} \displaystyle\frac{1}{x}\) không tồn tại.

Vậy hàm số gián đoạn tại \(x=0\).

b) Ta có

+) \(f(1)=2-1=1. \)

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x\to 1^-}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x\to 1^-} (1+x)=2.\)

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x\to 1^+}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x\to 1^+} (2-x)=1.\)

Vậy \(f(1)=\mathop {\lim }\limits_{x\to 1^+}f(x)\ne \mathop {\lim }\limits_{x\to 1^-}f(x)\) nên hàm số gián đoạn tại \(x=1\).

Bài tập 14

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

a) \(f(x)=\displaystyle\frac{x}{x^2+5x+6}\);

b) \(f(x)=\begin{cases}1+x^2&\text{nếu }&x < 1\\ 4-x&\text{nếu }&x\ge 1.\end{cases}\)

a) Tập xác định của hàm số đã cho là \(\mathbb{R}\setminus \{-2;-3\}\).

Do đó hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \((-\infty;-3)\), \((-3;-2)\) và \((-2,+\infty)\);

b) Hàm số đã cho xác định trên \(\mathbb{R}\).

Với \(x < 1\), ta có \(f(x)= 1+x^2\) là hàm đa thức, do đó liên tục trên khoảng \((-\infty;1)\).

Với \(x > 1\), ta có \(f(x)=4-x\) cũng là hàm đa thức, do đó liên tục trên khoảng \((1;+\infty).\)

Tại \(x=1\), ta có

+) \(\lim\limits_{x\to 1^-}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 1^-}{(1+x^2)}=2. \)

+) \(\lim\limits_{x\to 1^+}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 1^+}{(4-x)}=3. \)

Vì \(\lim\limits_{x\to 1^+}{f(x)}\neq \lim\limits_{x\to 1^-}{f(x)}\) do đó hàm số đã cho không liên tục tại \(x=1\). Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \((-\infty;1)\) và \((1;+\infty)\).

Bài tập 15

Cho hàm số \( f(x)=\begin{cases}x+1 &\text{ nếu } x\ne 3\\ a &\text{ nếu } x = 3\end{cases}\).

Tìm \( a \) để hàm số \( f(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \).

Do \( f(x)=x+1 \) nếu \( x\ne 3 \) nên hàm số đó liên tục trên mỗi khoảng \( (-\infty;3) \) và \( (3;+\infty) \).

Với \( x=3 \) thì \( f(3)=a \).

Ta có \( \displaystyle\lim\limits_{x\to 3}f(x) =\displaystyle\lim\limits_{x\to 3}(x+1)=3+1=4 \).

Vậy hàm số \( f(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \) khi hàm số \( f(x) \) liên tục tại điểm \( x=3 \) khi và chỉ khi

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to 3}f(x)=f(3)=4 \Leftrightarrow a=4.\)

Bài tập 16

a) Hàm số \( f(x)=2x+3 \) có liên tục trên đoạn \( [3;4] \) hay không?

b) Hàm số \( f(x)=\displaystyle\frac{x+1}{x-2} \, (x\ne 2)\) có liên tục trên khoảng \( (1;3) \) hay không?

a) Với mỗi \( x_{0}\in (3;4) \) ta có \( \displaystyle\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=\displaystyle\lim\limits_{x\to x_{0}}(2x+3) =2x_{0}+3=f\left(x_{0}\right)\).

Ta lại có

\( \displaystyle\lim\limits_{x\to 3^{+}}f(x) = \displaystyle\lim\limits_{x\to 3^{+}}(2x+3) =9=f(3) \).

\( \displaystyle\lim\limits_{x\to 4^{-}}f(x) = \displaystyle\lim\limits_{x\to 4^{-}}(2x+3) =11=f(4) \).

Vậy hàm số đã cho liên tục trên đoạn \( [3;4] \).

b) Hàm số \( f(x)=\displaystyle\frac{x+1}{x-2} \) không xác định tại \( x=2 \) nên hàm số không liên tục tại \( x=2 \).

Do \( 2\in (1;3) \) nên hàm số đã cho không liên tục trên khoảng \( (1;3) \).

Bài tập 17

Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó

a) \( f(x)=x^{2}+\sin x \).

b) \( g(x)=x^{4}-x^{2}+\displaystyle\frac{6}{x-1} \).

c) \( h(x)=\displaystyle\frac{2x}{x-3}+\displaystyle\frac{x-1}{x+4} \).

a) Hàm số \( y=x^{2} \) và hàm số \( y=\sin x \) liên tục trên \( \mathbb{R} \) nên hàm số \( f(x)=x^{2}+\sin x \) là tổng của hai hàm số trên cũng liên tục trên \( \mathbb{R} \).

b) Tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R}\setminus\{1\} \).

Vậy hàm số \( f(x) \) liên tục trên các khoảng \( (-\infty;1) \) và \( (1;+\infty) \).

c) Tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R}\setminus\{-4;3\} \).

Vậy hàm số \( f(x) \) liên tục trên các khoảng \( (-\infty;-4) \); (-4;3) và \( (3;+\infty) \).

Bài tập 18

Cho hàm số \( f(x)=\begin{cases}x^{2}+x+1 &\text{ nếu } x\ne 4\\ 2a+1 &\text{ nếu } x=4.\end{cases}\)

a) Với \( a=0 \), xét lính liên tục của hàm số tại \( x=4 \).

b) Với giá trị nào của \( a \) thì hàm số liên tục tại \( x=4 \).

c) Với giá trị nào của \( a \) thì hàm số liên tục trên tập xác định của nó?

a) Hàm số trên là hàm đa thức nên liên tục trên \( \mathbb{R} \).

Ta có \( f(4) =2a+1=1 \) (do \( a=0 \)).

\( \displaystyle\lim\limits_{x\to 4}f(x)= \displaystyle\lim\limits_{x\to 4}\left(x^{2}+x+1\right) =4^{2}+4+1 =21\).

Vì \(\displaystyle\lim\limits_{x\to 4}f(x) \ne f(4) \) nên hàm số trên không liên tục tại \( x=4 \) khi \( a=0 \).

b) Hàm số trên là hàm đa thức nên liên tục trên \( \mathbb{R} \).

Ta có \( f(4) =2a+1 \).

\( \displaystyle\lim\limits_{x\to 4}f(x)= \displaystyle\lim\limits_{x\to 4}\left(x^{2}+x+1\right) =4^{2}+4+1 =21\).

Để hàm số liên tục tại \( x=4 \) thì \( \displaystyle\lim\limits_{x\to 4}f(x) =f(4) \Leftrightarrow 2a+1=21\Leftrightarrow a=10 \).

Vậy \( a=10 \) thì hàm số liên tục tại \( x=4 \).

c) Tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \).

+) TH1: \( x\ne 4 \), hàm số trên là hàm đa thức nên liên tục trên \( \mathbb{R} \).

+) TH2: \( x=4 \), hàm số trên là hàm hằng nên liên tục trên \( \mathbb{R} \).

Vậy hàm số trên liên tục trên \( \mathbb{R} \).

Bài tập 19

Cho hàm số \(f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{x^2-25}{x-5} & \text {khi } x \neq 5\\ a & \text { khi } x=5.\end{cases}\)

Tìm \(a\) để hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Với \(x\neq 5\) thì \(f(x)=\displaystyle\frac{x^2-25}{x-5}=x+5\) là hàm liên tục.

Do đó, để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số phải liên tục tại \(x=5\).

Tức là \(\lim\limits_{x\to 5} f(x)=f(5)\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to 5} (x+5)=a\Leftrightarrow a=10\).

Vậy với \(a=10\) thì hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Bài tập 20

Cho hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{lr}2 x+a & \text { nếu } x < 2 \\ 4 & \text { nếu } x=2 \\ -3 x+b & \text { nếu } x > 2\end{array}\right.\)

a) Với \(a=0, b=1\), xét tính liên tục của hàm số tại \(x=2\).

b) Với giá trị nào của \(a, b\) thì hàm số liên tục tại \(x=2\) ?

c) Với giá trị nào của \(a, b\) thì hàm số liên tục trên tập xác định?

a) Với \(a=0 ; b=1\), ta có:

\(f(x)= \begin{cases}2 x & \text { nếu } x < 2 \\ 4 & \text { nếu } x=2 \\ -3 x+1 & \text { nếu } x > 2.\end{cases}\)

Ta có \(\underset{x \rightarrow 2^{-}}\lim f(x)=\underset{x \rightarrow 2^{-}}\lim (2 x)=4 \text{ và }

\underset{x \rightarrow 2^{+}}\lim f(x)=\underset{x \rightarrow 2^{+}}\lim (-3 x+1)=-5.\)

Vì \(\underset{x \rightarrow 2^{-}}\lim f(x) \neq \underset{x \rightarrow 2^{+}}\lim f(x) \) nên không tồn tại \(\underset{x \rightarrow 2}\lim f(x)\).

b) Ta có

\(\underset{x \rightarrow 2^{-}}\lim f(x)=\underset{x \rightarrow 2^{-}}\lim(2 x+a)=4+a\)

\(\underset{x \rightarrow 2^{+}}\lim f(x)=\underset{x \rightarrow 2^{+}}\lim (-3 x+b)=-6+b.\)

Hàm số liên tục của hàm số tại \(x=2\) khi và chỉ khi tồn tại \(\underset{x \rightarrow 2}\lim f(x)\) và \(\underset{x \rightarrow 2}\lim f(x)=f(2)\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}4+a=4 \\ -6+b=4\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=0 \\ b=10.\end{cases}\)

Vậy \(a=0 ; b=10\) thoả mãn yêu cầu bài toán.

c) Để hàm số liên tục trên tập xác định điều kiện cần và đủ là hàm số liên tục tại \(x=2\). Do đó với \(a=0, b=10\) thì hàm số liên tục trên tập xác định.

Bài tập 21

Cho hàm số \(f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{x^2-4}{x+2}&\quad\text{khi }&x\ne-2\\a&\quad\text{khi }&x=-2.\end{cases}\)

Tìm \(a\) để hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Với mọi \(x_0\ne-2\), ta có \(f(x)=\displaystyle\frac{x^2-4}{x+2}\) luôn xác định nên liên tục tại đó.

Mặt khác ta có \(f(-2)=a\), \(\lim\limits_{x\to-2}f(x)=\lim\limits_{x\to-2}\displaystyle\frac{x^2-4}{x+2}=\lim\limits_{x\to-2}(x-2)=-2-2=-4\).

Để hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số \(y=f(x)\) phải liên tục tại \(x=-2\)

\(\lim\limits_{x\to-2}f(x)=f(-2)\Leftrightarrow a=-4.\)

Bài tập 22

Tìm các giá trị của \(a\) để hàm số \(f(x)=\begin{cases}x+1 &\text{nếu } x\le a\\ x^2&\text{nếu } x > a\end{cases}\) liên tục trên \(\mathbb{R}.\)

Hàm số liên tục trên các khoảng \((-\infty; a)\) và \((a;+\infty)\).

Ta có

+) \(f(a)=a+1. \)

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x\to a^-}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x\to a^-} (x+1)=a+1.\)

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x\to a^+}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x\to a^+} x^2=a^2.\)

Để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\), ta cần

\(f(a)=\mathop {\lim }\limits_{x\to a^+}f(x)= \mathop {\lim }\limits_{x\to a^-}f(x)\Leftrightarrow a+1=a^2 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&a=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\&a=\displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{2}.\end{aligned}\right.\)

Bài tập 23

Tìm giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(f(x)=\begin{cases}\sin x&\text{nếu } x\ge 0\\ -x+m&\text{nếu }&x < 0\end{cases}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((0;+\infty)\).

Xét tại \(x=0\).

Ta có

+) \(f(0)=\sin0=0\).

+) \(\lim\limits_{x\to 0^+}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 0^+}{\sin x}=0.\)

+) \(\lim\limits_{x\to 0^-}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 0^-}{(-x+m)}=m.\)

Hàm số đã cho liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi

\(f(0)=\lim\limits_{x\to 0^+}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 0^-}{f(x)}\Leftrightarrow m=0.\)

Bài tập 24

Chứng minh rằng phương trình \(x^5+x^3-10=0\) có ít nhất một nghiệm.

Xét hàm số \(f(x)=x^5+x^3-10\) với \(x\in \mathbb{R}\). Ta có

+) Vì \(f(x)\) là hàm số đa thức nên \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}.\)

+) \(f(0)=-1 < 0\), \(f(2)=30 > 0\). Suy ra \(f(0)f(2) < 0\).

Suy ra \(f(x)=0\) có ít nhất một nghiệm trên \(\left(0;2\right)\).

Bài tập 25

Bạn Nam cho rằng: Nếu hàm số \( y=f(x) \) liên tục tại điểm \( x_{0} \), còn hàm số \( y=g(x) \) không liên tục tại \( x_{0} \), thì hàm số \( y=f(x)+g(x) \) không liên tục tại \( x_{0} \). Theo em, ý kiến của bạn Nam đúng hay sai? Giải thích.

Giả sử hàm số \( h(x)=f(x)+g(x) \) là hàm số liên tục tại \( x_{0} \).

Khi đó, hàm số \( g(x)=h(x) -f(x) \) là hiệu của hai hàm số liên tục tại \( x_{0} \) nên hàm số \( g(x) \) là hàm số liên tục tại \( x_{0} \). Điều này mâu thuẫn với giả thiết là \( g(x) \) không liên tục tại \( x_{0} \).

Vậy ý kiến trên là đúng.

Bài tập 26

Trong một phòng thí nghiệm, nhiệt độ trong tủ sấy được điều khiển tăng từ \(10^{\circ} \mathrm{C}\), mỗi phút tăng \(2^{\circ} \mathrm{C}\) trong \(60\) phút, sau đó giảm mỗi phút \(3^{\circ} \mathrm{C}\) trong \(40\) phút. Hàm số biểu thị nhiệt độ (tính theo \(^{\circ} \mathrm{C}\) ) trong tủ theo thời gian \(t\) (tính theo phút) có dạng

\(T(t)= \begin{cases}10+2 t & \text { khi } 0 \leq t \leq 60 \\ k-3 t & \text { khi } 60 < t \leq 100\end{cases}\) (với \(k\) là hằng số).

Biết rằng, \(T(t)\) là hàm liên tục trên tập xác định. Tìm giá trị của \(k\).

Vì \(T(t)\) là hàm liên tục trên tập xác định nên ta có hàm \(T(t)\) liên tục tại \(t=60\)

\(\Leftrightarrow \lim\limits_{t\to 60^-} T(t)=\lim\limits_{t\to 60^+} T(t)=T(60)\)

\(\Leftrightarrow 10+2\cdot 60=k-3\cdot 60\Leftrightarrow k=310\).

Vậy \(k=310\).

Bài tập 27

Lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách \(r\) tính từ tâm của nó là \(F(r)=\begin{cases}\displaystyle\frac{GMr}{R^3}&\quad\text{khi }&0 < r\le R\\ \displaystyle\frac{GM}{r^2}&\quad\text{khi }&r\ge R\end{cases}\), trong đó \(M\) là khối lượng, \(R\) là bán kính của Trái Đất, \(G\) là hằng số hấp dẫn. Hàm số \(F(r)\) có liên tục trên \((0;+\infty)\) không?

+) Với mọi \(r\in(0;R)\), hàm số \(F(r)=\displaystyle\frac{GMr}{R^3}\) luôn xác định nên liên tục tại đó.

+) Với mọi \(r\in(R;+\infty)\), hàm số \(F(r)=\displaystyle\frac{GM}{r^2}\) luôn xác định nên liên tục tại đó.

+) Ta có \(\begin{cases}\lim\limits_{r\to R^-}F(r)=\lim\limits_{r\to R^-}\displaystyle\frac{GMr}{R^3}=\displaystyle\frac{GM}{R^2}\\ \lim\limits_{x\to R^+}F(r)=\lim\limits_{x\to R^+}\displaystyle\frac{GM}{r^2}=\displaystyle\frac{GM}{R^2}\\ F(R)=\displaystyle\frac{GM}{R^2}\end{cases}\) nên hàm số \(F(r)\) liên tục tại \(r=R\).

Vậy hàm số \(F(r)\) liên tục trên \((0;+\infty)\).

Bài tập 28

Một bãi đậu xe ô-tô đưa ra giá \(C(x)\) (đồng) khi thời gian đậu xe là \(x\) (giờ) như sau:

\(C(x)=\begin{cases}60\.000&\quad\text{khi }&0 < x\le2\\ 100\.000&\quad\text{khi }&2 < x\le4\\ 200\.000&\quad\text{khi }&4 < x\le 24.\end{cases}\)

Xét tính liên tục của hàm số \(C(x)\).

+) Hàm số \(C(x)\) là hàm hằng trên từng khoảng \((0;2)\), \((2;4)\), \((4;6)\) nên liên tục trên từng khoảng đó.

+) Ta có \(\begin{cases} \lim\limits_{x\to2^-}C(x)=60\.000\\ \lim\limits_{x\to2^+}C(x)=100\.000\end{cases}\Rightarrow\) không tồn tại \(\lim\limits_{x\to2}C(x)\), vậy \(C(x)\) không liên tục tại \(x_0=2\).

+) Ta có \(\begin{cases}\lim\limits_{x\to4^-}C(x)=100.000\\ \lim\limits_{x\to4^+}C(x)=200\,000\end{cases}\Rightarrow\) không tồn tại \(\lim\limits_{x\to4}C(x)\), vậy \(C(x)\) không liên tục tại \(x_0=4\).

Vậy hàm số \(C(x)\) liên tục trên từng khoảng \((0;2)\), \((2;4)\), \((4;6)\).

Bài tập 29

Trong Thuyết tương đối của Einstein, khối lượng của vật chuyển động với vận tốc v cho bởi công thức \(m=\displaystyle\frac{m_0}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{v^2}{c^2}}}.\) Trong đó \(m_0\) là khối lượng của vật khi nó đứng yên, \(c\) là vận tốc ánh sáng. Chuyện gì xảy ra với khối lượng của vật khi vận tốc của vật gần với vận tốc ánh sáng?

Từ công thức khối lượng \(m=\displaystyle\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\). Ta thấy \(m\) là một hàm số của \(v\), với tập xác định là nửa khoảng \([0 ; c)\). Rõ ràng khi \(v\) tiến gần tới vận tốc ánh sáng, tức là \(v \rightarrow c^{-}\), ta có \(\sqrt{1-\displaystyle\frac{v^{2}}{c^{2}}} \rightarrow 0\). Do đó \(\lim \limits_{v \rightarrow c^{-}} m(v)=+\infty\), nghĩa là khối lượng \(m\) của vật trở nên vô cùng lớn khi vận tốc của vật gần với vận tốc ánh sáng.

Bài tập 30

Một bảng giá cước taxi được cho như sau:

a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển.

b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a.

a) Gọi \(x\) là quãng đường di chuyển, \(f(x)\) là giá tiền tính theo quãng đường.

+) \(0\le x\le 0{,}5\), ta có \(f(x)=10000\) đồng.

+) \(0{,}5 < x \le 30\), \(f(x)= 10000+13500(x-0{,}5)\) đồng.

+) \(x>30\), \(f(x)= 408250+11000(x-30)\) đồng.

Vậy \(f(x)=\begin{cases}10000&\text{nếu }& 0\le x\le 0{,}5\\ 10000+13500(x-0{,}5)&\text{nếu }& 0{,}5 < x\le 30\\ 408250+11000(x-30)&\text{nếu }& x>30.\end{cases}\)

b) Hàm số \(f(x)\) liên tục trên các khoảng \((0; 0{,}5)\), \((0{,}5; 30)\) và \((30;+\infty)\).

Tại \(x=0{,}5\), ta có \(f(0{,}5)=10000\), \(\lim\limits_{x\to {0{,}5}^+}{f(x)}=10000\), \(\lim\limits_{x\to {0{,}5}^-}{f(x)}=10000\).

Vì \(f(0,5)=\lim\limits_{x\to {0{,}5}^+}{f(x)}=\lim\limits_{x\to {0{,}5}^-}{f(x)}\), do đó \(f(x)\) liên tục tại \(x=0,5\).

Tại \(x=30\), ta có \(f(30)=408250\), \(\lim\limits_{x\to 30^-}{f(x)}=408250\), \(\lim\limits_{x\to 30^+}{f(x)}=408250\).

Vì \(f(30)=\lim\limits_{x\to 30^-}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 30^+}{f(x)}\), do đó\(f(x)\) liên tục tại \(x=30\).

Vậy \(f(x)\) liên tục trên khoảng \((0;+\infty)\).