\(\S1.\) GÓC LƯỢNG GIÁC

1. Đơn vị radian

+) Trên đường tròn bán kính \(R\) tuỳ ý, góc ở tâm chắn một cung có độ dài đúng bằng \(R\) được gọi là một góc có số đo 1 radian.

+) Công thức chuyển đổi số đo góc từ đơn vị radian sang độ và ngược lại như sau:

\[a^{\circ}=\displaystyle\frac{\pi a}{180}\, \mathrm{rad};\quad \alpha \operatorname{rad}=\left(\displaystyle\frac{180 \alpha}{\pi}\right)^{\circ}.\]

2. Góc lượng giác

Cho hai tia \(Oa\), \(Ob\)

+) Nếu một tia \(Om\) quay quanh gốc \(O\) của nó theo một chiều cố định bắt đầu từ vị trí tia \(Oa\) và dừng ở vị trí tia \(Ob\) thì ta nói tia \(Om\) quét một góc lượng giác có tia đầu \(Oa\), tia cuối \(Ob\). Ký hiệu: \((Oa,Ob)\).

+) Với hai tia \(Oa\) và \(Ob\) cho trước, có vô số góc lượng giác có tia đầu \(Oa\) và tia cuối \(Ob\).

+) Số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu \(Oa\) và tia cuối \(Ob\) sai khác nhau một bội nguyên của \(360^\circ\) nên có công thức tổng quát là

\[\left(Oa,Ob\right) = a^\circ + k360^\circ\, (k\in \mathbb{Z})\]

với \(a^\circ\) là số đo của một góc lượng giác bất kì có tia đầu \(Oa\) và tia cuối \(Ob\).

+) Với đơn vị radian, công thức số đo tổng quát của góc lượng giác \((O a, O b)\) là

\[(O a, O b)=\alpha+k 2 \pi\; (k \in \mathbb{Z}).\]

Trong đó \(\alpha\ \text{rad}=a^\circ\).

+) Không được viết \(\alpha+k 360^{\circ}\) hay \(a^{\circ}+k 2 \pi\) (vì không cùng đơn vị đo).

3. Hệ thức Chasles (Sa-lơ)

Với ba tia \(Oa\), \(Ob\) và \(Oc\) bất kì, ta có

\[(Oa,Ob) + (Ob,Oc) = (Oa,Oc) + k 360^\circ, \quad (k\in \mathbb{Z})\]

Hoặc

\[(Oa,Ob) + (Ob,Oc) = (Oa,Oc) + k2\pi, \quad (k\in \mathbb{Z}).\]

4. Đường tròn lượng giác

+ Trong mặt phẳng toạ độ \(O x y\), cho đường tròn tâm \(O\) bán kính bằng 1. Trên đường tròn này, chọn điểm \(A(1;0)\) làm gốc, chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ và chiều âm là chiều cùng chiều kim đồng hồ. Đường tròn cùng với gốc và chiều như trên được gọi là đường tròn lương giác.

+ Cho số đo góc \(\alpha\) bất kì. Trên đường tròn lượng giác, ta xác định được duy nhất một điểm \(M\) sao cho số đo góc lượng giác (\(O A, O M\)) bằng \(\alpha\). Khi đó điểm \(M\) được gọi là điểm biểu diễn của góc có số đo \(\alpha\) trên đường tròn lượng giác.

Bài tập

Bài tập 1

Đổi từ độ sang rađian hoặc ngược lại các góc sau:

a) \(45^{\circ}\).

b) \(150^{\circ}\).

c) \(\displaystyle\frac{\pi}{3}\).

d) \(\displaystyle\frac{5 \pi}{4}\).

a) \(45^{\circ}=45 \cdot \frac{\pi}{180}=\displaystyle\frac{\pi}{4}\).

b) \(150^{\circ}=150 \cdot \frac{\pi}{180}=\displaystyle\frac{5 \pi}{6}\).

c) \(\displaystyle\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3} \cdot\left(\displaystyle\frac{180}{\pi}\right)^\circ=60^{\circ}\).

d) \(\displaystyle\frac{5 \pi}{4}=\displaystyle\frac{5 \pi}{4} \cdot\left(\displaystyle\frac{180}{\pi}\right)^{\circ}=225^{\circ}\).

Bài tập 2

Đổi số đo của các góc sau đây sang radian:

a) \(38^{\circ}\);

b) \(-115^{\circ}\);

c) \(\left(\displaystyle\frac{3}{\pi}\right)^{\circ}\).

a) \(38^{\circ}=\displaystyle\frac{38\pi}{180}=\displaystyle\frac{19\pi}{90}\).

b) \(-115^{\circ}=\displaystyle\frac{-115\pi}{180}=-\displaystyle\frac{23\pi}{36}\);

c) \(\left(\displaystyle\frac{3}{\pi}\right)^{\circ}=\displaystyle\frac{3\pi}{\pi\cdot 180}=\displaystyle\frac{1}{60}\).

Bài tập 3

Đổi số đo của các góc sau đây sang độ:

a) \(\displaystyle\frac{\pi}{12}\);

b) \(-5\);

c) \(\displaystyle\frac{13 \pi}{9}\).

a) \(\displaystyle\frac{\pi}{12}=\left(\displaystyle\frac{\pi\cdot 180}{12\cdot \pi}\right)^\circ=15^\circ\);

b) \(-5=\left(\displaystyle\frac{-5\cdot 180}{\pi}\right)^\circ=\left(\displaystyle\frac{-900}{\pi}\right)^\circ\);

c) \(\displaystyle\frac{13 \pi}{9}=\left(\displaystyle\frac{13 \pi\cdot 180}{9\cdot \pi}\right)=260^\circ\).

Bài tập 4

Đổi số đo các góc sau đây từ radian sang độ hoặc ngược lại

a) \(-60^{\circ}\).

b) \(\displaystyle\frac{2 \pi}{5}\, \mathrm{rad}\).

c) \(3\, \mathrm{rad}\).

a) \(-60^{\circ}=-\displaystyle\frac{60 \pi}{180}\, \mathrm{rad}=-\displaystyle\frac{\pi}{3}\, \mathrm{rad}\).

b) \(\displaystyle\frac{2 \pi}{5}\, \mathrm{rad}=\left(\displaystyle\frac{2 \pi}{5}\cdot \displaystyle\frac{180}{\pi}\right)^{\circ}=72^{\circ}\).

c) \(3\, \mathrm{rad}=\left(3 \cdot \displaystyle\frac{180}{\pi}\right)^{\circ}=\left(\displaystyle\frac{540}{\pi}\right)^{\circ} \approx 171{,}89^{\circ}\).

Bài tập 5

Xác định số đo của các góc lượng giác \((Oa,Ob)\) trong các hình sau

a) Số đo của góc lượng giác \((Oa,Ob)\) trong hình vẽ là \(90^\circ\).

b) Số đo của góc lượng giác \((Oa,Ob)\) trong hình vẽ là \(90^\circ + 360^\circ = 450^\circ\).

c) Số đo của góc lượng giác \((Oa,Ob)\) trong hình vẽ là \(90^\circ + 2\cdot 360^\circ = 810^\circ\).

d) Số đo của góc lượng giác \((Oa,Ob)\) trong hình vẽ là \(\displaystyle\frac{3}{4}\cdot \left(-360^\circ\right)=-270^\circ\).

Bài tập 6

Cho \(\widehat{MON} = 60^\circ\). Xác định số đo của các góc lượng giác được biểu diễn trong hình vẽ và viết công thức tổng quát của số đo góc lượng giác \((OM,ON)\).

a) Số đo của góc lượng giác \((OM,ON)\) là \(60^\circ\).

b) Số đo của góc lượng giác \((OM,ON)\) là \(60^\circ + 2\cdot 360^\circ = 780^\circ\).

c) Số đo của góc lượng giác \((OM,ON)\) là \(-300^\circ\).

Công thức tổng quát: \(\text{sđ}(OM,ON) = 60^\circ + k360^\circ\), \(k\in\mathbb{Z}\).

Bài tập 7

Trong các khoảng thời gian từ \(0\) giờ đến \(2\) giờ \(15\) phút, kim phút quét một góc lượng giác là bao nhiêu độ?

Gọi \(Om\), \(On\) là các tia biểu diễn cho vị trí của kim phút lần lượt tại \(0\) giờ và \(2\) giờ \(15\) phút.

Khi đó kim phút đã quay hết \(2\) vòng và đi tiếp \(\displaystyle\frac{1}{4}\) vòng của đồng hồ.

Mà kim phút chuyển động theo chiều âm nên ta có

\[(Om,On) = \displaystyle\frac{1}{4}\cdot (-360^\circ) + 2\cdot (-360^\circ) = -810^\circ.\]

Vậy kim phút đã quét hết một góc lượng giác là \(-810^\circ\).

Bài tập 8

Trong hình bên, chiếc quạt có ba cánh được phân bố đều nhau. Viết công thức tổng quát đo số đo của các góc lượng giác \((Ox,ON)\) và \((Ox,OP)\).

Vì ba cánh quạt phân bố đều nhau nên ta có \(\widehat{MON}=\widehat{NOP}=\widehat{POM}=\displaystyle\frac{360^\circ}{3}=120^\circ\).

Suy ra \(\left(OM,ON\right)=120^\circ\), \((OM,OP)=-120^\circ\).

Theo hình vẽ, ta lại có \((Ox,OM)= -50^\circ\).

Khi đó, công thức tổng quát đo số đo các góc lượng giác \((Ox,ON)\), \((Ox,OP)\) là

\begin{eqnarray*}(Ox,ON)&=& (Ox,OM) + (OM,ON) + k360^\circ= -50^\circ + 120^\circ +k360^\circ=70^\circ + k360^\circ;\\ (Ox,OP)&=& (Ox,OM) + (OM,OP) + k360^\circ= -50^\circ + (-120^\circ)+ k360^\circ = -170^\circ+ k360^\circ.\end{eqnarray*}

Bài tập 9

Cho góc lượng giác gốc \(O\) có tia đầu \(Ou\), tia cuối \(Ov\) và có số đo \(60^\circ\). Cho góc lượng giác \((O'u',O'v')\) có tia đầu \(O'u'\equiv Ou\), tia cuối \(O'v'\equiv Ov\). Viết công thức biểu thị số đo góc lượng giác \((O'u',O'v')\).

Ta có \((O'u',Ov')=(Ou,Ov)+k360^\circ=60^\circ+k360^\circ\ (k\in \mathbb{Z})\).

Bài tập 10

Cho góc lượng giác gốc \(O\) có tia đầu \(Ou\), tia cuối \(Ov\) và có số đo \(-\displaystyle\frac{4\pi}{3}\). Cho góc lượng giác \((O'u',O'v')\) có tia đầu \(O'u'\equiv Ou\), tia cuối \(O'v'\equiv Ov\). Viết công thức biểu thị số đo góc lượng giác \((O'u',O'v')\).

Ta có \((O'u',Ov')=(Ou,Ov)+k2\pi=-\displaystyle\frac{4\pi}{3}+k2\pi\ (k\in \mathbb{Z})\).

Bài tập 11

Cho góc lượng giác \((Ou,Ov)\) có số đo là \(\displaystyle\frac{3\pi}{4}\), góc lượng giác \((Ou,Ow)\) có số đo là \(\displaystyle\frac{5\pi}{4}\). Tìm số đo của góc lượng giác \((Ov,Ow)\).

Theo hệ thức Chasles, ta có

\begin{eqnarray*}(Ov,Ow)&=&(Ou,Ow)-(Ou,Ov)+k2\pi\\ &=&\displaystyle\frac{5\pi}{4}-\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\\ &=&\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\ (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

Bài tập 12

Cho góc lượng giác \((Ou,Ov)\) có số đo là \(-\displaystyle\frac{11\pi}{4}\), góc lượng giác \((Ou,Ow)\) có số đo là \(\displaystyle\frac{3\pi}{4}\). Tìm số đo của góc lượng giác \((Ov,Ow)\).

Theo hệ thức Chasles, ta có

\begin{eqnarray*}(Ov,Ow)&=&(Ou,Ow)-(Ou,Ov)+k2\pi\\ &=&\displaystyle\frac{3\pi}{4}+\displaystyle\frac{11\pi}{4}+k2\pi\\ &=&\displaystyle\frac{7\pi}{2}+k2\pi\ (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

Bài tập 13

Viết công thức số đo tổng quát của các góc lượng giác (\(OA, OM\)) và \((OA, ON)\) trong hình bên.

+) \((OA, OM)=120^\circ+k360^\circ\;(k\in \mathbb{Z})\).

+) \((OA, ON)=-75^\circ+k360^\circ\;(k\in \mathbb{Z})\).

Bài tập 14

Trong hình vẽ bên, mâm bánh xe ô tô được chia thành năm phần bằng nhau. Viết công thức số đo tổng quát của góc lượng giác \((Ox, ON)\).

Ta có \(\widehat{AON}=\left(\displaystyle\frac{360^\circ}{5} -45^\circ\right)+72^\circ=99^\circ\).

Vậy \((Ox, ON)=-99^\circ+k360^\circ \; (k \in \mathbb{Z})\).

Bài tập 15

Xác định điểm \(M\) trên đường tròn lượng giác sao cho \((OA,OM)=135^\circ\).

Gọi \(M\) là điểm chính giữa của cung \(BA'\) trên đường tròn lượng giác.

Ta có \((OA,OM)=135^\circ\).

Bài tập 16

Một đường tròn có bán kính \(20\) cm. Tìm độ dài các cung trên đường tròn đó có số đo sau:

a) \(\displaystyle\frac{\pi}{12}\);

b) \(1{,}5\);

c) \(35^\circ\);

d) \(315^\circ\).

a) \(l=R\alpha=20\cdot\displaystyle\frac{\pi}{12}=\displaystyle\frac{5\pi}{3}\) cm;

b) \(l=R\alpha=20\cdot1{,}5=30\) cm;

c) Đổi \(35^{\circ}=35 \cdot \displaystyle\frac{\pi}{180}=\displaystyle\frac{7\pi}{36} \mathrm{rad}\).

Độ dài cung tròn là \(l=R\alpha=20\cdot\displaystyle\frac{7\pi}{36}=\displaystyle\frac{35\pi}{9}\) cm;

d) Đổi \(315^{\circ}=315 \cdot \displaystyle\frac{\pi}{180}=\displaystyle\frac{7\pi}{4} \mathrm{rad}\).

Độ dài cung tròn là \(l=R\alpha=20\cdot\displaystyle\frac{7\pi}{4}=35\) cm.

Bài tập 17

Xác định điểm \(N\) trên đường tròn lượng giác sao cho \((OA,ON)=-\displaystyle\frac{\pi}{3}\).

Gọi \(M\) là điểm của cung \(AB'\) trên đường tròn lượng giác sao cho số đo cung \(AM\) bằng \(\displaystyle\frac{1}{3}\) số đo cung \(AB'\).

Ta có \((OA,OM)=-\displaystyle\frac{\pi}{3}\).

Bài tập 18

Gọi \(M\), \(N\), \(P\) là các điểm trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của góc lượng giác \((OA,OM)\), \((OA,ON)\), \((OA,OP)\) lần lượt là \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\); \(\displaystyle\frac{7\pi}{6}\); \(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\). Chứng minh rằng tam giác \(MNP\) là tam giác đều.

Theo hệ thức Chasles, ta có

\((OM,ON)=(OA,ON)-(OA,OM)+k2\pi=\displaystyle\frac{7\pi}{6}-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\ (k\in \mathbb{Z}).\)

Suy ra \((OM,ON)=\displaystyle\frac{2\pi}{3}\).

Theo hệ thức Chasles, ta có

\((OP,OM)=(OA,OM)-(OA,OP)=\displaystyle\frac{\pi}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\ (k\in \mathbb{Z}).\)

Suy ra \((OP,OM)=\displaystyle\frac{2\pi}{3}\).

Theo hệ thức Chasles, ta có

\((ON,OP)=(OA,OP)-(OA,ON)=-\displaystyle\frac{4\pi}{3}+k2\pi=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\ (k\in \mathbb{Z}).\)

Suy ra \((ON,OP)=\displaystyle\frac{2\pi}{3}\).

Do đó \(\triangle OMN=\triangle OMP=\triangle ONP\) hay tam giác \(MNP\) là tam giác đều.

Bài tập 19

Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm \(M\) biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:

a) \(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\);

b) \(-\displaystyle\frac{11\pi}{4}\);

c) \(150^\circ\);

d) \(-225^\circ\).

a) Điểm \(M\) trên đường đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng \(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\) được xác định trong hình sau

b) Điểm \(M\) trên đường đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng \(-\displaystyle\frac{11\pi}{4}\) được xác định trong hình sau

c) Điểm \(M\) trên đường đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng \(150^{\circ}\) được xác định trong hình sau

d) Điểm \(M\) trên đường đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng \(-225^{\circ}\) được xác định trong hình sau

Bài tập 20

Hãy biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác trong mỗi trường hợp sau

a) Góc lượng giác gốc \(O\) có tia đầu \(Ou\), tia cuối \(Ov\) và có số đo \(510^\circ\);

b) Góc lượng giác gốc \(O\) có tia đầu \(Ou\), tia cuối \(Ov\) và có số đo \(-\displaystyle\frac{7\pi}{6}\).

a) Ta có \(510^\circ=360^\circ+150^\circ\). Góc lượng giác gốc \(O\) có tia đầu \(Ou\), tia cuối \(Ov\) và có số đo \(510^\circ\) được biểu diễn ở hình bên.

b) Ta có \(-\displaystyle\frac{7\pi}{4}=-\pi+\left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\). Góc lượng giác gốc \(O\) có tia đầu \(Ou\), tia cuối \(Ov\) và có số đo \(-\displaystyle\frac{7\pi}{6}\) được biểu diễn ở hình bên.

Bài tập 21

Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các góc lượng giác có số đo là:

a) \(865^{\circ}\);

b) \(\displaystyle\frac{-7 \pi}{3}\).

a) Ta có \(865^{\circ}=145^{\circ}+2\cdot 360^{\circ}\). Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo \(865^{\circ}\) là điểm \(M\) trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ II sao cho \(\widehat{A O M}=145^{\circ}\).

b) Ta có \(\displaystyle\frac{-7 \pi}{3}=\displaystyle\frac{-\pi}{3}+(-1) \cdot 2 \pi\). Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\displaystyle\frac{-7 \pi}{3}\) là điểm \(N\) trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ IV sao cho \(\widehat{A O N}=\displaystyle\frac{\pi}{3}\).

Bài tập 22

Biểu diễn các góc lượng giác sau trên đường tròn lượng giác:

a) \(\displaystyle\frac{-17 \pi}{3}\);

b) \(\displaystyle\frac{13 \pi}{4}\);

c) \(-765^{\circ}\).

a) Ta có \(\displaystyle\frac{-17 \pi}{3}=\displaystyle\frac{\pi}{3}+(-3) \cdot 2 \pi\). Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\displaystyle\frac{-17 \pi}{3}\) là điểm \(M\) trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ I sao cho \(\widehat{A O M}=\displaystyle\frac{\pi}{3}\).

b) Ta có \(\displaystyle\frac{13 \pi}{4}=-\displaystyle\frac{3\pi}{4}+(2) \cdot 2 \pi\). Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\displaystyle\frac{13 \pi}{4}\) là điểm \(N\) trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ III sao cho \(\widehat{A O N}=\displaystyle\frac{3\pi}{4}\).

c) Ta có \(-765^{\circ}=-45^{\circ}+(-2)\cdot 360^{\circ}\). Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo \(865^{\circ}\) là điểm \(K\) trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ IV sao cho \(\widehat{A O M}=45^{\circ}\).

Bài tập 23

Góc lượng giác \(\displaystyle\frac{31 \pi}{7}\) có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc lượng giác nào sau đây:

\(\displaystyle\frac{3 \pi}{7}\); \(\displaystyle\frac{10 \pi}{7}\); \(\displaystyle\frac{-25 \pi}{7}.\)

+) \(\displaystyle\frac{31 \pi}{7}=\displaystyle\frac{3 \pi}{7}+(2) \cdot 2 \pi\).

+) \(\displaystyle\frac{10 \pi}{7}=-\displaystyle\frac{4 \pi}{7}+\cdot 2 \pi\).

+) \(\displaystyle\frac{-25 \pi}{7}=\displaystyle\frac{3 \pi}{7}+(-2) \cdot 2 \pi\).

Vậy góc lượng giác \(\displaystyle\frac{31 \pi}{7}\) có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc lượng giác \(\displaystyle\frac{3 \pi}{7};\displaystyle\frac{-25 \pi}{7}\).

Bài tập 24

Trên đường tròn lượng giác, hãy biểu diễn các góc lượng giác có số đo có dạng là:

a) \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi\,(k \in \mathbb{Z})\);

b) \(k \displaystyle\frac{\pi}{4}\,(k \in \mathbb{Z})\).

a) Ta có \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi=\displaystyle\frac{\pi}{2}+\displaystyle\frac{k2\pi}{2}\,(k \in \mathbb{Z})\).

Vậy có \(2\) điểm \(M_1\), \(M_2\) biểu diễn góc lượng giác \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi\,(k \in \mathbb{Z})\) trên đường tròn lượng giác là \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) và \(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\).

b) Ta có \(k \displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{k 2\pi}{8}\,(k \in \mathbb{Z})\).\\

Vậy có \(8\) điểm \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\), \(M_4\), \(M_5\), \(M_6\), \(M_7\) và \(M_8\) biểu diễn góc lượng giác \(k \displaystyle\frac{\pi}{4}\,(k \in \mathbb{Z})\) trên đường tròn lượng giác là \(0\), \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\), \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\), \(\displaystyle\frac{3\pi}{4}\), \(\pi\), \(\displaystyle\frac{5\pi}{4}\), \(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\), \(\displaystyle\frac{7\pi}{4}\).

Bài tập 25

Vị trí các điểm \(B\), \(C\), \(D\) trên cánh quạt động cơ máy bay trong hình 16 có thể được biểu diễn cho các góc lượng giác nào sau đây?

\(\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \displaystyle\frac{2 \pi}{3}\,(k \in \mathbb{Z}) ; \displaystyle\frac{-\pi}{6}+k \displaystyle\frac{2 \pi}{3}\,(k \in \mathbb{Z}) ; \displaystyle\frac{\pi}{2}+k \displaystyle\frac{\pi}{3}\,(k \in \mathbb{Z}).\)

Từ hình vẽ ta suy ra các điểm biểu diễn góc lượng giác như sau: điểm \(B\colon\displaystyle\frac{\pi}{2}\), \(C\colon\displaystyle\frac{7\pi}{6}\), \(D\colon\displaystyle\frac{11\pi}{6}\).

+) Với \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \displaystyle\frac{2 \pi}{3}\,(k \in \mathbb{Z})\).

Ta có bảng sau

+) Với \(\displaystyle\frac{-\pi}{6}+k \displaystyle\frac{2 \pi}{3}\,(k \in \mathbb{Z})\).

Ta có bảng sau

+) Với \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \displaystyle\frac{\pi}{3}\,(k \in \mathbb{Z})\).

Ta có bảng sau

Vậy \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \displaystyle\frac{2 \pi}{3}\,(k \in \mathbb{Z}) ; \displaystyle\frac{-\pi}{6}+k \displaystyle\frac{2 \pi}{3}\,(k \in \mathbb{Z})\) biểu diễn cho các điểm \(B,C,D\).

Bài tập 26

Tính

a) \(A=\sin^2 5^\circ+\sin^2 10^\circ+\sin^2 15^\circ+\cdots+\sin^2 85^\circ\) (\(17\) số hạng);

b) \(B=\cos 5^\circ+\cos 10^\circ+\cos 15^\circ+\cdots+\cos 175^\circ\) (\(35\) số hạng).

a) Nhận xét thấy \(\sin^2 85^\circ=\left[\sin (90^\circ-5^\circ)\right]^2=\cos^2 5^\circ\).

Do đó

\begin{eqnarray*}A&=&\sin^2 5^\circ+\sin^2 10^\circ+\sin^2 15^\circ+\cdots+\sin^2 85^\circ\\ &=&\sin^2 5^\circ+\sin^2 85^\circ+\sin^2 10^\circ+\sin^2 80^\circ+\cdots+\sin^2 45^\circ\\ &=&\sin^2 5^\circ+\cos^2 5^\circ+\sin^2 10^\circ+\cos^2 10^\circ+\cdots+\sin^2 45^\circ\\ &=&\underbrace {1+1+\cdots+1}_{8\text{ số hạng}}+\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{17}{2}.\end{eqnarray*}

b) Nhận xét thấy \(\cos 175^\circ=\cos (180^\circ-5^\circ)=-\cos 5^\circ\).

Do đó

\begin{eqnarray*}B&=&\cos 5^\circ+\cos 10^\circ+\cos 15^\circ+\cdots+\cos 175^\circ\\ &=&\cos 5^\circ+\cos 175^\circ+\cos 10^\circ+\cos 170^\circ+\cdots+\cos 90^\circ\\ &=&\cos 5^\circ-\cos 5^\circ+\cos 10^\circ-\cos10^\circ+\cdots+\cos 90^\circ\\ &=&\cos 90^\circ\\ &=&0.\end{eqnarray*}

Bài tập 27

Hải lí là một đơn vị chiều dài hàng hải, được tính bằng độ dài một cung chắn một góc \(\alpha=\left(\displaystyle\frac{1}{60}\right)^{\circ}\) của đường kinh tuyến (Hình 17). Đổi số đo \(\alpha\) sang radian và cho biết 1 hải lí bằng khoảng bao nhiêu kilômét, biết bán kính trung bình của Trái Đất là \(6371\, km\). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

1 hải lí = \(\alpha\cdot R=\displaystyle\frac{1\cdot \pi }{60\cdot 180}\cdot 6371 \approx 1{,}85\) km.

Bài tập 28

Bánh xe của người đi xe đạp quay được \(11\) vòng trong \(5\) giây.

a) Tính góc (theo độ và theo radian) mà bánh xe quay được trong \(1\) giây;

b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong \(1\) phút, biết rằng đường kính của xe đạp là \(680\) mm.

a) Trong \(1\) giây, bánh xe quay được \(\displaystyle\frac{11}{5}\) (vòng).

Vì \(1\) vòng ứng với \(360^\circ\) nên góc mà bánh xe quay được trong \(1\) giây là \(\displaystyle\frac{11}{5}\cdot360^\circ=792^\circ\).

Vì \(1\) vòng ứng với \(2\pi\) rad nên góc mà bánh xe quay được trong \(1\) giây là \(\displaystyle\frac{11}{5}\cdot2\pi=\displaystyle\frac{22\pi}{5}\)(rad).

b) Đổi \(1\) phút \(=60\) s.

Trong \(60\) giây, bánh xe quay được số vòng là \(\displaystyle\frac{11}{5}\cdot60=132\) (vòng).

Chu vi mỗi vòng xe là \(680\pi\) (mm).

Độ dài quãng đường người đó đi trong \(1\) phút là \(132\cdot680\pi=89760\pi\) (mm).

Bài tập 29

Một vệ tinh được định vị tại vị trí \(A\) trong không gian. Từ vị trí \(A\), vệ tinh bắt đầu chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm \(O\) của Trái Đất, bán kính \(9~000\) km. Biết rằng vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong \(2\) giờ.

a) Hãy tính quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau \(1\) giờ; \(3\) giờ; \(5\) giờ.

b) Vệ tinh chuyển động được quãng đường \(200~000\) km sau bao nhiêu giờ (làm tròn đến kết quả hàng đơn vị)?

a) Sau \(1\) giờ, vệ tinh chuyển động hết \(\displaystyle\frac{1}{2}\) vòng của quỹ đạo.

Suy ra quãng đường vệ tinh đã chuyển động là

\(S=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2\pi\cdot 9~000=9~000\pi\approx 28247{,}3\text{ km.}\)

Sau \(3\) giờ, vệ tinh chuyển động hết \(\displaystyle\frac{3}{2}\) vòng của quỹ đạo.

Suy ra quãng đường vệ tinh đã chuyển động là

\(S=\displaystyle\frac{3}{2}\cdot 2\pi \cdot 9~000=27~000\pi\approx 84823\text{ km.}\)

Sau \(5\) giờ, vệ tinh chuyển động hết \(\displaystyle\frac{5}{2}\) vòng của quỹ đạo.

Suy ra quãng đường vệ tinh đã chuyển động là

\(S=\displaystyle\frac{5}{2}\cdot 2\pi\cdot 9~000=45~000\pi\approx 141371{,}7\text{ km.}\)

a) Vệ tinh chuyển động được quãng đường \(200~000\) km. Gọi \(x\) là thời gian vệ tinh chuyển động. Khi đó

\(200~000=x\cdot 2\pi \cdot 9~000\Leftrightarrow x\approx 11{,}1\text{ giờ}.\)

Bài tập 30

Một chiếc quạt trần năm cánh quay với tốc độ 45 vòng trong một phút. Chọn chiều quay của quạt là chiều thuận. Sau 3 giây, quạt quay được một góc có số đo bao nhiêu radian?

Trong 3 giây, số vòng quạt quay được là: \(\displaystyle\frac{3}{60}\cdot 45=2{,}25\).

Suy ra, góc quay có số đo là: \(2{,}25\cdot 2\pi=4{,}5\) (rad).