\(\S1.\) ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Điểm thuộc mặt phẳng

Cho hai điểm \(A, B\) và mặt phẳng \((P)\).

+ Nếu điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \((P)\) thì ta nói \(A\) nằm trên \((P)\) hay \((P)\) chứa \(A\), hay \((P)\) đi qua \(A\) và kí hiệu là \(A \in(P)\).

+ Nếu điểm \(B\) không thuộc mặt phẳng \((P)\) thì ta nói \(B\) nằm ngoài \((P)\) hay \((P)\) không chứa \(B\) và kí hiệu là \(B \notin(P)\).

2. Biểu diễn các hình trong không gian lên một mặt phẳng

Để biểu diễn một hình trong không gian lên một mặt phẳng (tờ giấy, mặt bảng, \(\ldots\) ), ta thường dựa vào các quy tắc sau:

+ Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.

+ Giữ nguyên tính liên thuộc (thuộc hay không thuộc) giữa điểm với đường thẳng hoặc với đoạn thẳng.

+ Giữ nguyên tính song song, tính cắt nhau giữa các đường thẳng.

+ Biểu diễn đường nhìn thấy bằng nét vẽ liền và biểu diễn đường bị che khuất bằng nét vẽ đứt đoạn.

3. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian

Tính chất 1. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.

Tính chất 2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.

Mặt phẳng đi qua ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) không thẳng hàng được kí hiệu là mặt phẳng \((ABC)\).

Tính chất 3. Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Đường thẳng \(d\) nằm trong mặt phẳng \((P)\) thường được kí hiệu là \(d \subset (P)\) hoặc \((P) \supset d\).

Tính chất 4. Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phằng, còn nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói chúng không đồng phẳng.

Tính chất 5. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.

Đường thẳng \(d\) chung của hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) được gọi là giao tuyến của \((P)\) và \((Q)\), kí hiệu \(d=(P) \cap(Q)\).

Tính chất 6. Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng.

4. Cách xác định mặt phẳng

Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa ba điểm không thẳng hàng.

Mặt phẳng xác định bởi ba điểm \(A, B, C\) không thẳng hàng kí hiệu là mp \((ABC)\) hay \((ABC)\).

Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó.

Mặt phẳng xác định bởi điểm \(A\) và đường thẳng \(a\) không qua điểm \(A\) kí hiệu là mp\((A, a)\) hay \((A, a)\).

Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Mặt phẳng xác định bởi điểm hai đường thẳng \(a, b\) cắt nhau kí hiệu là mp\((a, b)\).

5. Hình chóp và hình tứ diện

Hình chóp

+ Cho đa giác lồi \(A_1A_2\ldots A_n\) nằm trong mặt phẳng \((\alpha)\) và điểm \(S\) không thuộc \((\alpha)\). Nối \(S\) với các đỉnh \(A_1, A_2,\ldots, A_n\) ta được \(n\) tam giác \(SA_1A_2, SA_2A_3, \ldots, SA_nA_1\). Hình tạo bởi \(n\) tam giác đó và đa giác \(A_1A_2\ldots A_n\) được gọi là hình chóp, kí hiệu \(S.A_1A_2\ldots A_n\).

Trong hình chóp \(S.A_1A_2\ldots A_n\), ta gọi:

\(\bullet\ \) Điểm \(S\) là đỉnh;

\(\bullet\ \) Các tam giác \(SA_1A_2\), \(SA_2A_3\), \(\ldots\), \(SA_nA_1\) là các mặt bên;

\(\bullet\ \) Đa giác \(A_1A_2\ldots A_n\) là mặt đáy;

\(\bullet\ \) Các đoạn thẳng \(SA_1, SA_2, \ldots, SA_n\) là các cạnh bên;

\(\bullet\ \) Các cạnh của đa giác \(A_1A_2\ldots A_n\) là các cạnh đáy.

+ Ta gọi hình chóp có đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác, \(\ldots\) lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác, \(\ldots\)

Hình tứ diện

Cho bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng. Hình tạo bởi bốn tam giác \(ABC, ACD, ADB\) và \(BCD\) được gọi là hình tứ diện (hay tứ diện), kí hiệu \(ABCD\).

Trong tứ diện \(ABCD\), ta gọi:

+ Các điểm \(A, B, C, D\) là các đỉnh.

+ Các đoạn thẳng \(AB, AC, AD, BC, CD, BD\) là các cạnh của tứ diện.

+ Hai cạnh không đi qua một đỉnh là hai cạnh đối diện.

+ Các tam giác \(ABC, ACD, ADB, BCD\) là các mặt của tứ diện.

+ Đỉnh không thuộc một mặt của tứ diện là đỉnh đối diện với mặt đó.

Chú ý.

+ Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều được gọi là hình tứ diện đều.

+ Một tứ diện có thể xem như là một hình chóp tam giác với đỉnh là một đỉnh tuỳ ý của tứ diện và đáy là mặt của tứ diện không chứa đỉnh đó.

Bài tập

Bài tập 1

Cho tam giác \(ABC\) và một điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(BC\).

a) Điểm \(M\) có thuộc mặt phẳng \((A B C)\) hay không?

b) Đường thẳng \(A M\) có nằm trong mặt phẳng \((A B C)\) hay không?

a) Đường thẳng \(B C\) có hai điểm phân biệt \(B, C\) thuộc mặt phẳng \((A B C)\) nên đường thẳng \(B C\) nằm trong mặt phẳng \((A B C)\). Vì \(M\) thuộc đường thẳng \(B C\) nên \(M\) thuộc mặt phẳng \((A B C)\).

b) Đường thẳng \(A M\) có hai điểm phân biệt \(A, M\) thuộc mặt phẳng

\((A B C)\) nên đường thẳng \(AM\) nằm trong mặt phẳng \((A B C)\).

Bài tập 2

Cho ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) không thẳng hàng và một điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(BC\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua ba điểm \(A\), \(B\), \(C\). Chứng tỏ rằng \(M \in(P)\).

Áp dụng tính chất 2, ta có \((P)\) là mặt phẳng duy nhất đi qua ba điểm \(A, B, C\). Áp dụng tính chất 3, ta có mọi điểm của đường thẳng \(BC\) đều thuộc mặt phằng \((P)\). Ta lại có \(M\in BC\) (giả thiết). Suy ra \(M \in(P)\).

Bài tập 3

Cho tam giác \(A B C\) và điểm \(S\) không thuộc mặt phẳng \((A B C)\). Lấy \(D\), \(E\) là các điểm lần lượt thuộc các cạnh \(S A\), \(S B\) và \(D\), \(E\) khác \(S\).

a) Đường thẳng \(D E\) có nằm trong mặt phẳng \((S A B)\) không?

b) Giả sử \(D E\) cắt \(A B\) tại \(F\). Chứng minh rằng \(F\) là điểm chung của hai mặt phẳng \((S A B)\) và \((C D E)\).

a) Đường thẳng \(D E\) có hai điểm phân biệt \(D\) và \(E\) thuộc mặt phẳng \((S A B)\) nên đường thẳng này nằm trong mặt phẳng \((SAB)\).

b) Ta có \(F=DE\cap AB\Rightarrow \begin{cases}F \in AB \subset (SAB) \\F \in DE \subset (CDE)\end{cases}\)

\(\Rightarrow F \in (S A B)\cap(C D E).\)

Bài tập 4

Cho hình chóp \(S.ABCD\), gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Lấy \(M\), \(N\) lần lượt thuộc các cạnh \(SA, SC\).

a) Chứng minh đường thẳng \(MN\) nằm trong mặt phẳng \((SAC)\).

b) Chứng minh \(O\) là điểm chung của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\).

a) Ta có \(M\in SA\subset (SAC)\Rightarrow M\in (SAC)\).\hfill (1)

\(N\in SC\subset (SAC)\Rightarrow N\in (SAC)\).\hfill (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(MN\subset (SAC)\).

b) Ta có \(\begin{cases}O\in AC \subset (SAC)\\O\in BD \subset (SBD)\end{cases}\Rightarrow O\in (SAC)\cap (SBD)\).

Bài tập 5

Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) và \(M\) là một điểm thuộc cạnh \(SC\) (\(M\) khác \(S\), \(C)\). Giả sử hai đường thẳng \(A B\) và \(C D\) cắt nhau tại \(N\). Chứng minh rằng đường thẳng \(M N\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((A B M)\) và \((S C D)\).

Vì \(M\in (ABM)\) và \(M\in SC \subset (SCD)\) nên \(M\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng \((ABM)\) và \((SCD)\).

Mặt khác \(N=AB\cap CD\Rightarrow \begin{cases}N \in AB \subset (ABM) \\N \in CD \subset (SCD)\end{cases}\)\(\Rightarrow N \in (ABM)\cap(S CD).\)

Hay \(N\) là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng \((ABM)\) và \((SCD)\).

Vậy \((ABM)\cap (SCD)=MN\).

Bài tập 6

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M\) là trung điểm của \(SC\).

a) Tìm giao điểm \(I\) của đường thẳng \(AM\) và mặt phẳng \((SBD)\). Chứng minh \(IA=2IM\).

b) Tìm giao điểm \(E\) của đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \((ABM)\).

c) Gọi \(N\) là một điểm tuỳ ý trên cạnh \(AB\). Tìm giao điểm của đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \((SBD)\).

a) Trong \((SAC)\colon AM \cap SO=I\).

Ta có \(\begin{cases}I\in AM\\I\in SO \subset (SBD)\end{cases}\Rightarrow I=AM\cap (SBD)\).

Tam giác \(SAC\) có hai đường trung tuyến \(AM\) và \(SO\) cắt nhau tại \(I\), suy ra \(I\) là trọng tâm của tam giác \(SAC\). Từ đó ta có \(IA=2IM\) (đpcm).

b) Trong \((SBD)\colon BI\cap SD=E\).

Ta có \(\begin{cases}E\in SD\\E\in BI \subset (ABM)\end{cases}\Rightarrow E=SD\cap (ABM)\).

c) Trong \((ABCD)\colon CN\cap BD=F\).

Trong \((SNC)\colon SF\cap MN=J\).

Ta có \(\begin{cases}J\in MN\\I\in SF\subset (SBD)\end{cases}\Rightarrow J=MN\cap (SBD)\).

Bài tập 7

Cho hai đường thẳng cắt nhau \(a\), \( b\) và gọi \(S\) là một điểm không thuộc mp\((a, b)\). Xác định giao tuyến của mp\((S, a)\) và mp\((S, b)\).

Gọi \(M\) là giao điểm của \(a\) và \(b\). Vì \(M\) thuộc \(a\) nên \(M\) thuộc mp\((S, a)\). Vì \(M\) thuộc \(b\) nên \(M\) thuộc mp\((S, b)\). Hai điểm \(S\), \(M\) cùng thuộc mp\((S, a)\) và mp\((S, b)\) nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng \(SM\).

Bài tập 8

Trong mặt phẳng \( (P) \), cho hình bình hành \( ABCD \), ngoài mặt phẳng \( (P) \) cho một điểm \( S \). Hãy xác định:

a) Giao tuyến của hai mặt phẳng \( (SCB) \) và \( (SCD) \);

b) Giao điểm của mặt phẳng \( (SAC) \) với đường thẳng \( BD \).

a) Vì \( S \) và \( C \) cùng thuộc hai mặt phẳng \( (SCB) \) và \( (SCD) \) nên giao tuyến của hai mặt phẳng \( (SCB) \) và \( (SCD) \) là đường thẳng \( SC \).

b) Gọi \( O \) là giao điểm của \( AC \) và \( BD \). Khi đó vì \( O \) thuộc mặt phẳng \( (SAC) \) nên điểm \( O \) là giao điểm của mặt phẳng \( (SAC) \) với đường thẳng \( BD \).

Bài tập 9

Cho tam giác \(A B C\) và một điểm \(S\) không thuộc mặt phẳng \((A B C)\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(AB\), \(AC\).

a) Chỉ ra một điểm chung của hai mặt phẳng \((SBN)\), \((SCM)\) và khác điểm \(S\).

b) Giao tuyến của hai mặt phẳng \((S B N)\) và \((S C M)\) có đi qua trọng tâm của tam giác \(A B C\) hay không?

a) Trong tam giác \(A B C\), hai đường trung tuyến \(B N\) và \(C M\) cắt nhau tại trọng tâm \(G\) của tam giác. Điểm \(G\) thuộc \(B N\) nên cũng thuộc mặt phẳng \((S B N)\). Điểm \(G\) thuộc \(C M\) nên cũng thuộc mặt phẳng \((S C M)\). Vậy \(G\) là một điểm chung của hai mặt phẳng \((S B N)\) và \((S C M)\).

b) Vì \(S\), \(G\) là hai điểm chung của hai mặt phẳng \((S B N)\) và \((S C M)\) nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng \(S G\). Đường thẳng này đi qua trọng tâm \(G\) của tam giác \(A B C\).

Bài tập 10

Cho tứ diện \(SABC\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là hai điểm trên hai cạnh \(AB\) và \(BC\) sao cho \(MN\) không song song với \(AC\).

a) Tìm giao điểm của đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \((SAC)\).

b) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng \((SMN)\) và \((SAC)\); \((SAN)\) và \((SCM)\).

a) Trong mặt phẳng \((ABC)\), vẽ giao điểm \(E\) của \(MN\) và \(AC\). Ta có \(E \in AC\), suy ra \(E \in(SAC)\). Vậy \(E\) là giao điểm của đường thẳng \(M N\) và mặt phẳng \((SAC)\).

b) Ta có \(S\) và \(E\) là hai điểm chung của hai mặt phẳng \((SMN)\) và \((SAC)\), suy ra \((SMN) \cap(SAC)=SE\).

Trong mặt phẳng \((ABC)\), vẽ giao điểm \(F\) của \(AN\) và \(MC\). Ta có \(S\) và \(F\) là hai điểm chung của hai mặt phẳng \((SAN)\) và \((SCM)\), suy ra \((SAN) \cap(SCM)=SF\).

Bài tập 11

Cho hình tứ diện \(A B C D\). Trên các cạnh \(A C\), \(B C\), \(B D\) lần lượt lấy các điểm \(M\), \(N\), \(P\) sao cho \(A M=C M\), \(B N=C N\), \(B P=2 D P\).

a) Xác định giao điểm của đường thẳng \(C D\) và mặt phẳng \((M N P)\).

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((A C D)\) và ( \(M N P)\).

a) Trong mặt phẳng \((BCD)\), ta có \(\displaystyle\frac{BP}{BD}=\displaystyle\frac{2}{3}\ne \displaystyle\frac{BN}{BC}=\displaystyle\frac{1}{2}\) nên hai đường thẳng \(NP\) và \(CD\) cắt nhau. Gọi giao điểm này là \(E\) thì \(E\) chính là giao điểm của đường thẳng \(CD\) và mặt phẳng \((MNP)\).

b) Hai điểm \( M \) và \(E\) là hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng \((ACD)\) và \((MNP)\) nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng \(ME\).

Bài tập 12

Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) và lấy một điểm \(E\) thuộc cạnh \(S A\) của hình chóp (\(E\) khác \(S\), \(A)\). Trong mặt phẳng \((A B C D)\) vẽ một đường thẳng \(d\) cắt các cạnh \(C B\), \(C D\) lần lượt tại \(M\), \(N\) và cắt các tia \(A B\), \(A D\) lần lượt tại \(P\), \(Q\).

a) Xác định giao điểm của mp\((E, d)\) với các cạnh \(S B\), \(S D\) của hình chóp.

b) Xác định giao tuyến của mp\((E, d)\) với các mặt của hình chóp.

a) Trong mặt phẳng \((SAB)\) hai điểm \(E\) và \(P\) nằm về hai phía khác nhau đối với đường thẳng \(SB\) nên hai đường thẳng \(SB\) và \(EP\) phải cắt nhau. Gọi giao điểm này là \(H\) thì \(H\) chính là giao điểm của đường thẳng \(SB\) và mp\((E,d)\).

Tương tự, trong mặt phẳng \((SAD)\), hai đường thẳng \(SD\) và \(EQ\) cũng cắt nhau, gọi giao điểm là \(K\) thì \(K\) chính là giao điểm của \(SD\) và mp\((E,d)\).

b) Xác định giao tuyến của mp\((E, d)\) với các mặt của hình chóp.

Quan sát hình vẽ, ta thấy

+) mp\((E,d)\cap (ABCD)=PQ\),

+) mp\((E,d)\cap (SAB)=EP\),

+) mp\((E,d)\cap (SBC)=HM\),

+) mp\((E,d)\cap (SCD)=NK\),

+) mp\((E,d)\cap (SDA)=EK\).

Bài tập 13

Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(E\), \(F\), \(G\) lần lượt là ba điểm trên ba cạnh \(AB\), \(AC\), \(BD\) sao cho \(EF\) cắt \(BC\) tại \(I\) (\(I \neq C\)), \(EG\) cắt \(AD\) tại \(H\) (\(H \neq D)\).

a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng \((EFG)\) và \((BCD)\); \((EFG)\) và \((ACD)\).

b) Chứng minh ba đường thẳng \(CD, IG, HF\) cùng đi qua một điểm.

a) Ta có \(\begin{cases}G\in (EFG)\\G\in BD\subset (BCD)\end{cases}\Rightarrow G\in (EFG)\cap (BCD)\).\hfill (1)

Mặt khác, \(\begin{cases}I\in EF \subset (EFG)\\I\in BC\subset (BCD)\end{cases}\Rightarrow I\in (EFG)\cap (BCD)\).\hfill (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(GI=(EFG)\cap (BCD)\).

Trong \((BCD)\colon GI\cap CD=K\).

Ta có \(\begin{cases}F\in (EFG)\\F\in AC\subset (ACD)\end{cases}\Rightarrow F\in (EFG)\cap (ACD)\).\hfill (3)

Mặt khác, \(\begin{cases}K\in GI\subset (EFG)\\K\in CD\subset (ACD)\end{cases}\Rightarrow K\in (EFG)\cap (ACD)\).\hfill (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(FK=(EFG)\cap (ACD)\).

b) Vì \(IG\) và \(CD\) cắt nhau tại \(K\) nên để chứng minh \(CD, IG, HF\) cùng đi qua một điểm, ta chứng minh \(H, K, F\) thẳng hàng. Thật vậy:

Ta có \(\begin{cases}H\in EG\subset (EFG)\\K\in GI\subset (EFG)\\F\in (EFG)\end{cases}\Rightarrow H, K, F\in (EFG)\).\hfill (5)

Mặt khác, \(\begin{cases}H\in AD\subset (ACD)\\K\in CD\subset (ACD)\\F\in AC\subset (ACD)\end{cases}\Rightarrow H, K, F\in (ACD)\).\hfill (6)

Từ (5) và (6) suy ra \(H, K, F\in (ACD)\cap (EFG)\), do đó \(H, K, F\) thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng \(CD, IG, HF\) cùng đi qua một điểm.

Bài tập 14

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\); \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(SB, SD\); \(P\) thuộc đọan \(SC\) và không là trung điểm của \(SC\).

a) Tìm giao điểm \(E\) của đường thẳng \(SO\) và mặt phẳng \((MNP)\).

b) Tìm giao điểm \(Q\) của đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \((MNP)\).

c) Gọi \(I, J, K\) lần lượt là giao điểm của \(QM\) và \(AB, QP\) và \(AC, QN\) và \(AD\). Chứng minh \(I, J, K\) thẳng hàng.

a) Trong \((SBD)\colon SO\cap MN=E\).

Ta có \(\begin{cases}E\in SO\\E\in MN\subset (MNP)\end{cases}\Rightarrow E=SO\cap (MNP)\).

b) Trong \((SAC)\colon PE\cap SA=Q\).

Ta có \(\begin{cases}Q\in SA\\Q\in PE\subset (MNP)\end{cases}\Rightarrow Q=SA\cap (MNP)\).

c) Từ giả thiết ta có

\(\begin{cases}I\in QM \subset (MNP)\\J\in QP\subset (MNP)\\K\in QN \subset (MNP)\end{cases}\Rightarrow I, J, K\in (MNP)\). \hfill (1)

Mặt khác, \(\begin{cases}I\in AB \subset (ABCD)\\J\in (AC)\subset (ABCD)\\K\in AD \subset (ABCD)\end{cases}\Rightarrow I, J, K\in (ABCD)\). \hfill (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(I, J, K \in (MNP)\cap (ABCD)\). Suy ra \(I, J, K\) thẳng hàng.

Bài tập 15

Cho bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) không cùng nằm trên một mặt phẳng.

a) Gọi \(O\) là trung điểm của \(CD\), \(G\) và \(G'\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(ACD\) và \(BCD\). Chứng minh \(GG' \parallel AB\).

b) Cho điểm \(E\) trên \(A B\) sao cho \(E G\) cắt mặt phẳng đi qua ba điểm \(B, C, D\) tại \(F\). Chứng minh bốn điểm \(B, G', O, F\) thẳng hàng.

a) Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua ba điểm \(O, A, B\) được xác định theo tính chất 2 . Trong mặt phẳng \((P)\) ta có:

\(\displaystyle\frac{OG}{OA}=\displaystyle\frac{1}{3}\) (vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ACD\));

\(\displaystyle\frac{OG'}{OB}=\displaystyle\frac{1}{3}\) (vì \(G'\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\) ).

Suy ra \(\displaystyle\frac{OG}{OA}=\displaystyle\frac{OG}{OR}\). Áp dụng tính chất 6, suy ra \(GG'\parallel AB\).

b) Gọi \((Q)\) là mặt phẳng đi qua ba điểm \(B, C, D\). Các điểm \(B, G', O, F\) là điểm chung của hai mặt phằng phân biệt \((P)\) và \((Q)\). Suy ra chúng phải cùng nằm trên giao tuyến của \((P)\) và \((Q)\). Vậy \(B\), \(G'\), \(O\), \(F\) thẳng hàng.

Bài tập 16

Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\), \(BD\). Điểm \(P\) thuộc cạnh \(AC\) sao cho \(PA=2PC\).

a) Xác định giao điểm \(E\) của đường thẳng \(MP\) với mặt phẳng \((BCD)\).

b) Xác định giao điểm \(Q\) của đường thẳng \(CD\) với mặt phẳng \((MNP)\).

c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \((ACD)\) với mặt phẳng \((MNP)\).

d) Gọi \(I\) là giao điểm của \(MQ\) và \(NP\), \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABD\). Chứng minh \(C\), \(I\), \(G\) thẳng hàng.

a) Xác định giao điểm \(E\) của đường thẳng \(MP\) với mặt phẳng \((BCD)\).

Trong \((ABC)\) gọi \(E=MP\cap BC\Rightarrow \begin{cases}E\in MP\\E\in BC,\, BC\subset (BCD)\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}E\in MP\\E\in (BCD)\end{cases}\)

\(\Rightarrow E=MP\cap (BCD)\).

b) Xác định giao điểm \(Q\) của đường thẳng \(CD\) với mặt phẳng \((MNP)\).

Trong \((BCD)\) gọi \(Q=CD\cap NE\Rightarrow \begin{cases}Q\in CD\\Q\in NE,\, NE\subset (MNP)\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}Q\in CD\\Q\in (MNP)\end{cases}\)

\(\Rightarrow Q=CD\cap (MNP)\).

c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \((ACD)\) với mặt phẳng \((MNP)\).

Ta có \(Q=CD\cap (MNP)\Rightarrow \begin{cases}Q\in CD,\, CD\subset (ACD)\\Q\in (MNP)\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}Q\in (ACD)\\Q\in (MNP)\end{cases}\)

\(\Rightarrow Q\in (ACD)\cap (MNP)\).

Lại có \(\begin{cases}P\in (MNP)\\P\in AC,\, AC\subset (ACD)\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}P\in (MNP)\\P\in (ACD)\end{cases}\Rightarrow P\in (ACD)\cap (MNP)\).

Do đó \(QP=(ACD)\cap (MNP)\).

d) Gọi \(I\) là giao điểm của \(MQ\) và \(NP\), \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABD\). Chứng minh \(C\), \(I\), \(G\) thẳng hàng.

Ta có \(C\in (MCD)\cap (ACN)\).

Trong \((MNE)\colon I=MQ\cap NP\Rightarrow \begin{cases}I\in MQ,\,MQ\subset (MCD)\\I\in NP,\,NP\subset (ACN)\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}I\in (MCD)\\I\in (ACN)\end{cases}\)

\(\Rightarrow I\in (MCD)\cap (ACN)\).

Lại có \(G=MD\cap AN\Rightarrow \begin{cases}G\in (MCD)\\G\in (ACN)\end{cases}\Rightarrow G\in (MCD)\cap (ACN)\).

Vậy \(C\), \(I\), \(G\) thẳng hàng.

Bài tập 17

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(AC\) cắt \(BD\) tại \(O\) và \(AB\) cắt \(CD\) tại \(P\). Điểm \(M\) thuộc cạnh \(SA\) (\(M\) khác \(S\), \(M\) khác \(A\)). Gọi \(N\) là giao điểm của \(MP\) và \(SB\), \(I\) là giao điểm của \(MC\) và \(DN\). Chứng minh rằng \(S\), \(O\), \(I\) thẳng hàng.

Ta có \( \begin{cases}S\in (SAC)\cap (SDB)\\O\in (SAC)\cap (SDB)\end{cases}\) suy ra \( SO= (SAC)\cap (SDB) \).

Xét \( (MPD) \), \( I\in MC\cap DN \Rightarrow \begin{cases}I\in MC,\,MC\subset (SAC)\\I\in DN,\,DN\subset (SBD)\end{cases}\)\\ suy ra \(I\in (SAC)\cap (SDB) \) hay \( I\in SO \).

Vậy \(S\), \(O\), \(I\) thẳng hàng.

Bài tập 18

Cho hình chóp \(S.ABC\). Các điểm \(M\), \(N\) lần lượt thuộc các cạnh \(SA\), \(SC\) sao cho \(MA=2MS\), \(NS=2 NC\).

a) Xác định giao điểm của \(M N\) với mặt phẳng \((ABC)\).

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \((B M N)\) với mặt phẳng \((A B C)\).

a) Trong \( (SAC) \), gọi \( E=MN\cap AC \).

Ta có \( \begin{cases}E\in MN\\E\in AC,\,AC\subset (ABC)\end{cases}\)\\ suy ra \(E=MN\cap (ABC) \).

b) Ta có \( \begin{cases}B\in (BMN)\cap (ABC)\\E\in (BMN)\cap (ABC)\end{cases}\)

suy ra \( SO= (BMN)\cap (ABC) \).

Bài tập 19

Cho tứ diện \(ABCD\). Các điểm \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt thuộc các cạnh \(AB\), \(AC\), \(AD\) sao cho: \(\displaystyle\frac{AM}{AB}=\displaystyle\frac{1}{3}\), \(\displaystyle\frac{A N}{A C}=\displaystyle\frac{2}{3}\), \(\displaystyle\frac{AP}{AD}=\displaystyle\frac{1}{2}\).

a) Xác định \(E\), \(F\), \(G\) lần lượt là giao điểm của các đường thẳng \(MN\), \(MP\), \(NP\) với mặt phẳng \((BCD)\).

b) Chứng minh rằng các điểm \(E\), \(F\), \( G\) thẳng hàng.

a) Trong mặt phẳng \((ABC)\), gọi \(E\) là giao điểm của \(MN\) và \(BC\). Vì \(E \in B C\) nên \(E \in(BCD)\). Do đó, \(E\) là giao điểm của \(M N\) với mặt phẳng \((BCD)\).

Trong mặt phẳng \((ABD)\), gọi \(F\) là giao điểm của \(M P\) và \(B D\). Vì \(F \in BD\) nên \(F \in(B C D)\). Do đó, \(F\) là giao điểm của \(MP\) với mặt phẳng \((B C D)\).

Trong mặt phẳng \((ACD)\), gọi \(G\) là giao điểm của \(N P\) và \(C D\). Vì \(G \in CD\) nên \(G \in(B C D)\). Do đó, \(G\) là giao điểm của \(NP\) với mặt phẳng \((BCD)\).

b) Do \(E\), \(F\), \(G\) cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt \((MNP)\) và \((BCD)\) nên theo Tính chất 4, các điểm \(E\), \(F\), \(G\) đều thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng \((MNP)\) và \((BCD)\). Vậy ba điểm \(E\), \(F\), \(G\) thẳng hàng.

Bài tập 20

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA\), \(BC\).

a) Xác định giao điểm của mặt phẳng \((DMN)\) với các đường thẳng \(AB\), \(SB\).

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \((DMN)\) với các mặt phẳng \((S A B)\) và \((S B C)\).

a) Trong mặt phẳng \((A B C D)\) có \(D N\) cắt \(A B\) tại \(P\). Vì \(P \in D N\) nên \(P \in(D M N)\). Do đó, \(P\) là giao điểm của mặt phẳng \((D M N)\) với \(A B\).

Trong mặt phẳng \((SAB)\) có \(M P\) cắt \(S B\) tại \(E\). Vì \(E \in MP\) nên \(E \in(DMN)\). Do đó, \(E\) là giao điểm của mặt phẳng (\(DMN)\) với \(SB\).

b) Vì \(M\) và \(E\) cùng thuộc hai mặt phẳng \((DMN)\) và \((SAB)\) nên giao tuyến của mặt phẳng \((DMN)\) với mặt phẳng \((SAB)\) là đường thẳng \(M E\).

Vì \(N\) và \(E\) cùng thuộc hai mặt phẳng \((DMN)\) và \((SBC)\) nên giao tuyến của mặt phẳng (\(DMN)\) với mặt phẳng \((SBC)\) là đường thẳng \(N E\).