\(\S2.\) CẤP SỐ CỘNG

1. Cấp số cộng

+) Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số \(d\) không đổi, nghĩa là:

\[u_{n+1}=u_n+d\ \ \text{ với} \ n \in \mathbb{N^*}.\]

\(\quad\)Số \(d\) được gọi là công sai của cấp số cộng.

+) Nếu \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là

\[u_k=\displaystyle\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\ \left(k\geq 2\right).\]

2. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Nếu một cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\) thì số hạng tổng quát \(u_n\) của nó được xác định bởi công thức

\[u_n=u_1+(n-1)d,\ n \geq 2.\]

3. Tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Giả sử \((u_n)\) là một cấp số cộng có công sai \(d\). Đặt \(S_n=u_1+u_2+ \cdots +u_n\), khi đó

\(\)\(S_n=\displaystyle\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}\) \(\quad\) hay \(\quad\) \(S_n=\displaystyle\frac{n\left[2u_1+(n-1)d\right]}{2}.\)

Bài tập

Bài tập 1

Cho cấp số cộng \(3\); \(6\); \(9\); \(12\); \(\ldots\). Tìm số hạng đầu, công sai và \(u_5\).

Cấp số cộng đã cho có số hạng đầu \(u_1=3\), công sai \(d=3\).

Ta có \(u_4=12\), \(u_5=u_4+d=12+3=15\).

Bài tập 2

Tìm cấp số cộng trong mỗi dãy số sau

a) \(5; \ 10; \ 15; \ 20; \ 25 ; \ 30\).

b) \(1;\ 2; \ 4; \ 8\).

c) \(7;\ 7;\ 7; \ 7;\ 7\).

a) Dãy số: \(5; \ 10; \ 15; \ 20; \ 25 ; \ 30\) là cấp số cộng với công sai \(d=5\).

b) Dãy số: \(1;\ 2; \ 4; \ 8\) có \(u_2-u_1 \neq u_3-u_2\) nên không phải là cấp số cộng.

c) Dãy số: \(7;\ 7;\ 7; \ 7;\ 7\) là cấp số cộng với công sai \(d=0\).

Bài tập 3

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Vì sao?

a) \(10\); \(-2\); \(-14\); \(-26\); \(-38\).

b) \(\displaystyle\frac{1}{2}\); \(\displaystyle\frac{5}{4}\); \(2\); \(\displaystyle\frac{11}{4}\); \(\displaystyle\frac{7}{2}\).

c) \(\sqrt{1}\); \(\sqrt{2}\); \(\sqrt{3}\); \(\sqrt{4}\); \(\sqrt{5}\).

d) \(1\), \(4\), \(7\), \(10\), \(13\).

a) Ta có \(-2-10=-14-(-2)=-26-(-14)=-38-(-24)\),

do đó dãy số \(10\); \(-2\); \(-14\); \(-26\); \(-38\) là cấp số cộng.

b) Ta có \(\displaystyle\frac{5}{4}-\displaystyle\frac{1}{2} \ne 2-\displaystyle\frac{5}{4}\) nên dãy số \(\displaystyle\frac{1}{2}\); \(\displaystyle\frac{5}{4}\); \(2\); \(\displaystyle\frac{11}{4}\); \(\displaystyle\frac{7}{2}\) không là cấp số cộng.

c) Ta có \(\sqrt{2}-\sqrt{1} \ne \sqrt{3}-\sqrt{2}\) nên dãy số \(\sqrt{1}\); \(\sqrt{2}\); \(\sqrt{3}\); \(\sqrt{4}\); \(\sqrt{5}\) không là cấp số cộng.

d) Ta có \(4-1=7-4=10-7=13-10\) nên dãy số \(1\), \(4\), \(7\), \(10\), \(13\) là cấp số cộng.

Bài tập 4

Chứng minh dãy số hữu hạn sau là cấp số cộng: \(1;\ -3; \ -7; \ -11;\ -15\).

Ta có

\(-3-1=-7-(-3)=-11-(-7)=-15-(-11)=-4.\)

Do đó đãy số đã cho là cấp số cộng có công sai \(d=-4\).

Bài tập 5

Chứng minh mỗi dãy số sau là cấp số cộng. Xác định công sai của mỗi cấp số cộng đó.

a) \(3; \ 7; \ 11; \ 15; \ 19; \ 23.\)

b) Dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=9n-9\).

c) Dãy số \(\left(v_n\right)\) với \(v_n=an+b\), trong đó \(a\) và \(b\) là các hằng số.

a) \(3; \ 7; \ 11; \ 15; \ 19; \ 23.\)

Ta có \(7-3=11-7=15-11=19-15=23-19=4\).

Do đó dãy số đã cho là cấp số cộng có công sai \(d=4\).

b) Dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=9n-9\).

Ta có \(u_{n+1}=9\left(n+1\right)-9=\left(9n-9\right)+9=u_n+9, \ \forall n \in \mathbb{N^*}.\)

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng với công sai \(d=9\).

c) Dãy số \(\left(v_n\right)\) với \(v_n=an+b\), trong đó \(a\) và \(b\) là các hằng số.

Ta có \(v_{n+1}=a\left(n+1\right)+b=\left(an+b\right)+a=v_n+a, \ \forall n \in \mathbb{N^*}.\)

Vậy dãy số \(\left(v_n\right)\) là cấp số cộng với công sai \(d=a\).

Bài tập 6

Tìm số hạng tổng quát \(u_n\) của cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1=3\) và công sai \(d=9\).

Ta có \(u_n=u_1+(n-1)d=3+(n-1)\cdot 9=9n-6\).

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là \(u_n=9n-6\).

Bài tập 7

Cho cấp số \(\left(u_n\right)\) có số hạng đầu \(u_1=2\) và công sai \(d=3\). Hãy viết năm số hạng đầu của cấp số cộng này.

Năm số hạng đầu của cấp số cộng này là:

\(u_1=2, u_2=u_1+3=5, u_3=u_2+3=8, u_4=u_3+3=11, u_5=u_4+3=14.\)

Bài tập 8

Cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có số hạng đầu \(u_1=-3\), công sai \(d=5\).

a) Viết công thức của số hạng tổng quát \(u_{n}\).

b) Số \(492\) là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?

c) Số \(300\) có là số hạng nào của cấp số cộng trên không?

a) Với số hạng đầu \(u_1=-3\), công sai \(d=5\), ta có công thức của số hạng tổng quát \(u_{n}\) là \(\)u_n=u_1+(n-1) d=-3+(n-1)\cdot 5 = -8+5n.\(\)

Vậy \(u_n=-8+5n\).

b) Ta có \(492=-8+5n \Leftrightarrow 5n=500 \Leftrightarrow n=100\). Vậy \(492\) là số hạng thứ \(100\) của cấp số cộng.

c) Xét \(300=-8+5n \Leftrightarrow n=\displaystyle\frac{308}{5}\). Do \(\displaystyle\frac{308}{5} \notin \mathbb{N}\) nên \(300\) không là số hạng nào của cấp số cộng trên.

Bài tập 9

Cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) với số hạng đầu \(u_1=\displaystyle\frac{1}{2}\), công sai \(d=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

a) Tính \(u_{20}\).

b) Số \(- 99\) là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng \(\left(u_n\right)\)?

a) Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng, ta có

\(u_{20}=u_1+(20-1)d=\displaystyle\frac{1}{2}+19 \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)=-9.\)

b) Giả sử \(- 99\) là số hạng thứ \(n\) của cấp số cộng, ta có

\( n=\displaystyle\frac{u_n-u_1}{d}+1=\displaystyle\frac{-99-\displaystyle\frac{1}{2}}{-\displaystyle\frac{1}{2}}+1=200.\)

Vậy số \(- 99\) là số hạng thứ \(200\) của cấp số cộng \(\left(u_n\right)\).

Bài tập 10

Dãy các số tự nhiên lẻ liên tiếp \(1, 3, 5, \ldots\), \(2 n-1, \ldots\) có là cấp số cộng hay không? Vì sao?

Dãy các số tự nhiên lẻ liên tiếp \(1, 3, 5, \ldots, 2n-1, \ldots\) là cấp số cộng vì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng với số hạng đứng ngay trước nó cộng với \(2\).

Công sai của cấp số cộng này là \(2\).

Bài tập 11

Cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) với \(u_1=9\), công sai \(d=-2\). Viết ba số hạng đầu của cấp số cộng đó.

Ba số hạng đầu của cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) là

\begin{eqnarray*}u_1&=&9;\\ u_2&=&u_1+d=9+(-2)=7;\\ u_3&=&u_2+d=7+(-2)=5.\end{eqnarray*}

Bài tập 12

Cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có số hạng đầu \(u_1=-3\) và công sai \(d=2\).

a) Tìm \(u_{12}\).

b) Số \(195\) là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó?

a) Tìm \(u_{12}\).

Ta có \(u_{12}=u_1+11d=-3+11\cdot 2=19\).

b) Số \(195\) là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó?

Ta có \(u_n=u_1+(n-1)d=-3+(n-1)2=195\), suy ra \(n=100\).

Vậy \(195\) là số hạng thứ \(100\) của cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) đã cho.

Bài tập 13

Cho \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1=4\) và công sai \(d=-10\). Viết công thức số hạng tổng quát \(u_n\).

Ta có \(u_n=u_1+(n-1)d=4+(n-1)(-10)=-10n+14\).

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho là \(u_n=-10n+14\).

Bài tập 14

Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ \(100\) của cấp số cộng \(\left(u_n\right)\colon 10,5,\ldots\)

Cấp số cộng này có số hạng đầu là \(u_1=10\) và công sai là \(d=-5\). Do đó,

+) Năm số hạng đầu của cấp số cộng là \(10,5,0,-5,-10\).

+) Số hạng thức \(100\) là \(u_{100}=u_1+99d=10+99\cdot (-5)=-485\).

Bài tập 15

Xác định công sai, số hạng thứ \(5\), số hạng tổng quát và số hạng thứ \(100\) của mỗi cấp số cộng sau:

a) \(4,9,14,19,\ldots;\)

b) \(1,-1-3,-5,\ldots.\)

a) Cấp số cộng với \(u_1=4\) công sai \(d=5\).

Số hạng thứ \(5\) là \(u_5= u_1+4d=4+4\cdot 5=24 \).

Số hạng tổng quát \(u_n=u_1+(n-1)\cdot d=4+5(n-1).\)

Số hạng thứ \(100\) là \(u_{100}=4+99\cdot 5= 499\).

b) Cấp số cộng với \(u_1=1\) công sai \(d=-2\).

Số hạng thứ \(5\) là \(u_5= 1+4\cdot (-2)=-7\).

Số hạng tổng quát là \(u_n= 1-2(n-1)\).

Số hạng thứ \(100\) là \(u_{100}=1-2\cdot 99=-197.\)

Bài tập 16

Cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có \(u_1=4\), \(u_2=1\). Tính \(u_{10}\).

Do cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có \(u_1=4\), \(u_2=1\) nên cấp số cộng có công sai là \(d=u_2-u_1=1-4=-3\).

Khi đó \(u_{10}=u_1+9d=4+9 \cdot (-3) = -23\).

Bài tập 17

Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số \((u_n)\) sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai \(d\) và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng \(u_n=u_1+(n-1)d\).

a) \(u_n=3+5n\);

b) \(u_n=6n-4\);

c) \(u_1=2,u_n=u_{n-1}+n\);

d) \(u_1=2,u_{n-1}+3\).

a) Năm số hạng đầu \( 8,13,18,23,28.\) Đây là một cấp số cộng. Công sai \(d=5\).

Số hạng tổng quát \(u_n=8+(n-1)\cdot 5.\)

b) Năm số hạng đầu \(2,8,14,20,26.\) Đây là một cấp số cộng với công sai \(d=6\).

Số hạng tổng quát \(u_n=2+(n-1)\cdot 6\).

c) Năm số hạng đầu \(2,4,7,11,16\). Đây không phải là cấp số cộng.

d) Năm số hạng đầu \(2,5,8,11,14.\) Đây là cấp số cộng với công sai \(d=3\).

Số hạng tổng quát \(u_n=2+(n-1)\cdot 3.\)

Bài tập 18

Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng \(\left(c_n\right)\) có \(c_4=80\) và \(c_6=40\).

Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng \(\left(c_n\right)\).

Ta có \(\begin{cases}c_4=80\\c_6=40\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}c_1+3d=80\\c_1+5d=40\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}c_1=140\\d=-20.\end{cases}\)

Do đó \(c_n=c_1+(n-1)d=140+(n-1)(-20)=-20n+160\).

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là \(c_n=-20n+160\).

Bài tập 19

Chứng minh mỗi dãy số sau là cấp số cộng. Xác định số hạng đầu và công sai của mỗi cấp số cộng đó.

a) Dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=2n+1\).

b) Dãy số \(\left(v_n\right)\) với \(u_n=-3n+5\).

a) Dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=2n+1\).

Ta có \(u_1=2\cdot 1+1=3\),

\(u_{n+1}=2\left(n+1\right)+1=\left(2n+1\right)+2=u_n+2, \ \forall n \in \mathbb{N^*}.\)

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1=3\) và công sai \(d=2\).

b) Dãy số \(\left(v_n\right)\) với \(u_n=-3n+5\).

Ta có \(v_1=(-3)\cdot 1+5=2\),

\(v_{n+1}=(-3)\left(n+1\right)+5=\left(-3n+5\right)-3=v_n+(-3), \ \forall n \in \mathbb{N^*}.\)

Vậy dãy số \(\left(v_n\right)\) là cấp số cộng với số hạng đầu \(v_1=2\) và công sai \(d=-3\).

Bài tập 20

Tìm số hạng tổng quát của các cấp số cộng sau

a) Cấp số cộng \(\left(a_n\right)\) có \(a_1=5\) và \(d=-5\);

b) Cấp số cộng \(\left(b_n\right)\) có \(b_1=2\) và \(b_{10}=20\).

a) Cấp số cộng \(\left(a_n\right)\) có \(a_1=5\) và \(d=-5\).

Ta có \(a_n=a_1+(n-1)d=5+(n-1)\cdot (-5)=-5n+10\).

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là \(a_n=-5n+10\).

b) Cấp số cộng \(\left(b_n\right)\) có \(b_1=2\) và \(b_{10}=20\).

Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng \(\left(b_n\right)\).

Ta có \(b_{10}=b_1+9d\Leftrightarrow 20=2+9d\Leftrightarrow d=2\).

Do đó \(b_n=b_1+(n-1)d=2+(n-1)\cdot 2=2n\).

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là \(b_n=2n\).

Bài tập 21

Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=4n-3\). Chứng minh rằng \(\left(u_n\right)\) là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\) của cấp số cộng này. Từ đó viết số hạng tổng quát \(u_n\) dưới dạng \(u_n=u_1+(n-1)d\).

Ta có

\(u_n-u_{n-1}=4n-3-(4(n-1)-3)=4,\)

với mọi \(n\ge 2\). Do đó, \((u_n)\) là cấp số cộng có số hạng đầu là \(u_1=4\cdot 1-3=1\) và công sai \(d=4 \).

Số hạng tổng quát \(u_n=u_1+(n-1)d=1+(n-1)\cdot 4.\)

Bài tập 22

Số hạng thứ \(10\) của một cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) bằng \(48\) và số hạng thứ \(18\) bằng \(88\). Tìm số hạng thứ \(100\) của cấp số cộng đó.

Giả sử \(u_1\), \(d\) lần lượt là số hạng đầu tiên, công sai của cấp số cộng thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó, theo giả thiết, ta có

\(\begin{cases}u_{10}=u_1+9d=48\\u_{18}=u_1+17d=88.\end{cases}\)

Giải hệ này ta được \(u_1=3\) và \(d=5\).

Vậy số hạng thức \(100\) của cấp số cộng này là \(u_{100}=u_1+99d=3+99\cdot 5=498\).

Bài tập 23

Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=-2n+3\). Chứng minh rằng \(\left(u_n\right)\) là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và công sai \(d\) của cấp số cộng này.

Ta có

\(u_n-u_{n-1}=-2n+3-(-2(n-1)+3)=-2, \text{ với mọi } n\ge 2.\)

Do đó, \((u_n)\) là cấp số cộng có số hạng đầu là \(u_1=-2\cdot 1+3=1\) và công sai \(d=-2\).

Bài tập 24

Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=5n-1\). Chứng minh rằng \(\left(u_n\right)\) là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và công sai \(d\) của nó.

Ta có

\(u_n-u_{n-1}=5n-1-\left(5(n-1)-1\right)=5,\)

với mọi \(n\ge 2\). Do đó, \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng có số hạng đầu là \(u_1=5-1=4\) và công sai \(d=5\).

Bài tập 25

Cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) với \(u_1=\displaystyle\frac{1}{3}\) và \(u_1+u_2+u_3=-1\).

a) Tìm công sai \(d\) và viết công thức của số hạng tổng quát \(u_n\).

b) Số \(- 67\) là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?

c) Số \(7\) có phải là một số hạng của cấp số cộng trên không?

a) Ta có

\(\begin{cases}u_1=\displaystyle\frac{1}{3}\\ u_1+u_2+u_3=-1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}u_1=\displaystyle\frac{1}{3}\\ u_1+(u_1+d)+(u_1+2d)=-1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}u_1=\displaystyle\frac{1}{3}\\ 3u_1+3d=-1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}u_1=\displaystyle\frac{1}{3}\\ d=-\displaystyle\frac{2}{3}.\end{cases}\)

Vậy công sai \(d=-\displaystyle\frac{2}{3}\) và công thức của số hạng tổng quát là

\(u_n=u_1+(n-1)d=1-\displaystyle\frac{2n}{3}\).

b) Ta có \(-67=1-\displaystyle\frac{2n}{3} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{2n}{3}=68 \Leftrightarrow n=102\).

Vậy \(-67\) là số hạng thứ \(102\) của cấp số cộng trên.

c) Xét \(7=1-\displaystyle\frac{2n}{3} \Leftrightarrow 18=-2n \Leftrightarrow n = -9\).

Do \(-9\ \notin \mathbb{N}\) nên \(7\) không là số hạng nào của cấp số cộng trên.

Bài tập 26

Trong các dãy số \(\left(u_n\right)\) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là cấp số cộng, hãy tìm số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\).

a) \(u_n=3-2 n\);

b) \(u_n=\displaystyle\frac{3 n+7}{5}\);

c) \(u_n=3^n\).

a) Với \(u_n=3-2 n\) ta có \(u_{n+1}=3-2(n+1)\), khi đó \(u_{n+1}-u_n=3-2(n+1)-(3-2n)=-2, \forall n \in \mathbb{N}\).

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng, có số hạng đầu \(u_1=1\) và công sai \(d=-2\).

b) Với \(u_n=\displaystyle\frac{3 n+7}{5}\) ta có \(u_{n+1}=\displaystyle\frac{3(n+1)+7}{5}=\displaystyle\frac{3n+10}{5}\).

Khi đó \(u_{n+1}-u_n=\displaystyle\frac{3n+10}{5}-\displaystyle\frac{3n+7}{5}=\displaystyle\frac{3}{5}, \forall n \in \mathbb{N}\).

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là cấp số cộng, có số hạng đầu \(u_1=2\) và công sai \(d=\displaystyle\frac{3}{5}\).

c) Với \(u_n=3^n\), ta có \(u_1=3; u_2=9; u_3=27\), khi đó \(u_3-u_2 \ne u_2-u_1\).

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) không là cấp số cộng.

Bài tập 27

Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng \(\left(u_n\right)\), biết:

a) \(\begin{cases}u_3-u_1=20\\u_2+u_5=54;\end{cases}\)

b) \(\begin{cases}u_2+u_3=0\\u_2+u_5=80;\end{cases}\)

c) \(\begin{cases}u_5-u_2=3\\u_8\cdot u_3=24.\end{cases}\)

a) \(\begin{cases} u_3-u_1=20\\ u_2+u_5=54\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} \left(u_1+2d\right)-u_1=20\\ \left(u_1+d\right)+\left(u_1+4d\right)=54\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 2d=20\\ 2u_1+5d=54.\end{cases}\)

Giải hệ phương trình này ta được \(u_1=2\) và \(d=10\).

b) \(\begin{cases} u_2+u_3=0\\ u_2+u_5=80\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} \left(u_1+d\right)+\left(u_1+2d\right)=0\\ \left(u_1+d\right)+\left(u_1+4d\right)=80\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 2u_1+3d=0\\ 2u_1+5d=80.\end{cases}\)

Giải hệ phương trình này ta được \(u_1=-60\) và \(d=40\).

c) \(\begin{cases} u_5-u_2=3\\ u_8\cdot u_3=24\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} \left(u_1+4d\right)-\left(u_1+d\right)=3\\ \left(u_1+7d\right)\left(u_1+2d\right)=24\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 3d=3 \quad (1)\\ \left(u_1+7d\right)\left(u_1+2d\right)=24.\quad (2)\end{cases}\)

Từ \(3d=3\), suy ra \(d=1\). Thay \(d=1\) vào \((2)\) ta được

\(\left(u_1+7\cdot 1\right)\left(u_1+2\cdot 1\right)=24\Leftrightarrow u^2_1+9u_1-10=0.\)

Giải phương trình này ta được \(u_1=1\), \(u_1=-10\).

Vậy \(\begin{cases} u_1=1\\ d=1\end{cases}\) và \(\begin{cases} u_1=-10\\ d=1.\end{cases}\)

Bài tập 28

Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\) của cấp số cộng \((u_n)\) biết:

a) \(\begin{cases}5u_1+10u_5=0\\S_4=14;\end{cases}\)

b) \(\begin{cases}u_7+u_{15}=60\\u_4^2+u_{12}^2=1170.\end{cases}\)

a) Ta có:

\(\begin{cases}5u_1+10u_5 =0\\ S_4=14\end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases}5u_1+10u_1+40d=0\\ 4u_1+6d =14\end{cases}\\ \Leftrightarrow \begin{cases}15u_1+40d =0\\ 4u_1+6d=14\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}u_1=8\\ d=-3.\end{cases}\)

Vậy \(u_1=8\); \(d=-3\).

b) Ta có:

\begin{align*}\begin{cases}2u_1+20d=60\\(u_1+3d)^2+(u_1+11d)^2=1170\end{cases} & \Leftrightarrow \begin{cases}u_1=30-10d\\(30-7d)^2+(30+7d)^2=1170\end{cases}\\ &\Leftrightarrow\begin{cases}u_1=30-7d\\5d^2-36d+63=0\end{cases}\\ & \Leftrightarrow \begin{cases}u_1=0\\d=3\end{cases} \text{hoặc} \begin{cases}u_1=36\\d=-\displaystyle\frac{3}{5}.\end{cases}\end{align*}

Bài tập 29

Một cấp số cộng có số hạng thứ \(5\) bằng \(18\) và số hạng thứ \(12\) bằng \(32\). Tìm số hạng thứ \(50\) của cấp số cộng này.

Giả sử \(u_1\), \(d\) lần lượt là số hạng đầu tiên, công sai của cấp số cộng thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó, theo giả thiết, ta có

\(\begin{cases}u_{5}=u_1+4d=18\\u_{12}=u_1+11d=32.\end{cases}\)

Giải hệ này ta được \(u_1=10\) và \(d=2\).

Vậy số hạng thức \(50\) của cấp số cộng này là \(u_{50}=u_1+49d=10+49\cdot 2=108\).

Bài tập 30

Cho \(a\), \(b\), \(c\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng. Tính \(b\) theo \(a\) và \(c\).

Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng, ta có \(d=b-a=c-b\). Do đó \(b=\displaystyle\frac{a+c}{2}\).

Bài tập 31

Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành cấp số cộng. Tìm số đo ba góc đó.

Giả sử tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có số đo ba góc \( \ 90^\circ; \ B; \ C\) lập thành cấp số cộng. Khi đó

\(\begin{cases}90^\circ+ B+C=180^\circ\\ \displaystyle\frac{90^\circ+C}{2}=B\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}B+C=90^\circ\\2B-C=90^\circ\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}B=60^\circ\\C=30^\circ.\end{cases}\)

Vậy số đo ba góc cần tìm là \(90^\circ; \ 60^\circ; \ 30^\circ\).

Bài tập 32

Một cấp số cộng có số hạng đầu bằng \(5\) và công sai bằng \(2\). Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để có tổng bằng \(2700\)?

Cấp số cộng này có số hạng đầu là \(u_1=5\) và công sai là \(d=2\). Gọi \(n\) là số các số hạng đầu của cấp số cộng cần lấy tổng, ta có

\(2700=S_n=\displaystyle\frac{n}{2}\left(2u_1+(n-1)d\right)=\displaystyle\frac{n}{2}\left(2\cdot 5+(n-1)\cdot 2\right)=\displaystyle\frac{n}{2}\left(2n+8\right).\)

Do đó \(2n^2+8n-5400=0\). Giải phương trình bậc hai này ta được \(n=-54 \text{(loại)}\) và \(n=50\). Vậy phải lấy tổng của \(50\) số hạng đầu của cấp số cộng đã cho để được tổng bằng \(2700\).

Bài tập 33

Cần lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng \(2\), \(5\), \(8\), \(\ldots\) để được kết quả bằng \(345\)?

Cấp số cộng này có số hạng đầu là \(u_1=2\) và công sai là \(d=3\). Gọi \(n\) là số các số hạng đầu của cấp số cộng cần lấy tổng, ta có

\(345=S_n=\displaystyle\frac{n}{2}\left(2u_1+(n-1)d\right)=\displaystyle\frac{n}{2}\left(2\cdot 2+(n-1)\cdot 3\right)=\displaystyle\frac{n}{2}\left(3n+1\right).\)

Do đó \(3n^2+n-390=0\). Giải phương trình bậc hai này ta được \(n=-\displaystyle\frac{230}{15}\text{(loại)}\) và \(n=15\). Vậy phải lấy tổng của \(15\) số hạng đầu của cấp số cộng đã cho để được tổng bằng \(345\).

Bài tập 34

Tính tống \(S=1+5+9+13+\cdots+97\).

Ta thấy dãy số \(1, 5, 9, \ldots , 97\) là cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1=1\), số hạng cuối \(u_n=97\), công sai \(d=4\). Vì thế, số các số hạng của cấp số cộng trên là

\(n=\displaystyle\frac{u_n-u_1}{d}+1=\displaystyle\frac{97-1}{4}+1=25.\)

Vậy \(S=\displaystyle\frac{(1+97) \cdot 25}{2}=1225\).

Bài tập 35

Tính tổng sau

a) Tính tổng của \(50\) số tự nhiên chẵn đầu tiên.

b) Cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có \(u_3+u_{28}=100\). Tính tổng \(30\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

c) Cho cấp số cộng \(\left(v_n\right)\) có \(S_6=18\) và \(S_{10}=110\). Tính \(S_{20}\).

a) Tính tổng của \(50\) số tự nhiên chẵn đầu tiên.

Ta có thể sắp xếp \(50\) số tự nhiên chẵn đầu tiên thành cấp số cộng có \(u_1=2\), \(u_{50}=100\).

Suy ra \(S_{50}=\displaystyle\frac{50\left(2+100\right)}{2}=2550\).

b) Cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có \(u_3+u_{28}=100\). Tính tổng \(30\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

Ta có \(u_3+u_{28}=\left(u_1+2d\right)+\left(u_1+27d\right)=2u_1+29d=100\).

Suy ra \(S_{30}=\displaystyle\frac{30\left(2u_1+29d\right)}{2}=\displaystyle\frac{30\cdot 100}{2}=1500\).

c) Cho cấp số cộng \(\left(v_n\right)\) có \(S_6=18\) và \(S_{10}=110\). Tính \(S_{20}\).

Ta có \(S_6=\displaystyle\frac{6\left(2v_1+5d\right)}{2}=18\), suy ra \(2v_1+5d=6\).

Lại có \(S_{10}=\displaystyle\frac{10\left(2v_1+9d\right)}{2}=110\), suy ra \(2v_1+9d=22\).

Do đó ta có hệ phương trình

\(\begin{cases}2v_1+5d=6\\2v_1+9d=22.\end{cases}\)

Giải hệ phương trình này ta được \(v_1=-7\) và \(d=4\).

Do đó \(S_{20}=\displaystyle\frac{20\left(2v_1+19d\right)}{2}=\displaystyle\frac{20\left[2\cdot (-7)+19\cdot 4\right]}{2}=620\).

Vậy \(S_{20}=620\).

Bài tập 36

Tính các tổng sau

a) Tính tổng của \(100\) số nguyên dương đầu tiên.

b) Cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có \(u_4+u_6=20\). Tính tổng \(9\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

c) Cho cấp số cộng \(\left(v_n\right)\) có \(S_3=-3\) và \(S_5=-15\). Tính \(S_{50}\).

a) Tính tổng của \(100\) số nguyên dương đầu tiên.

Ta có thể sắp xếp \(100\) số nguyên dương đầu tiên thành cấp số cộng có \(u_1=1\), \(u_{100}=100\).

Suy ra \(S_{100}=\displaystyle\frac{100\left(1+100\right)}{2}=5050\).

b) Cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) có \(u_4+u_6=20\). Tính tổng \(9\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

Ta có \(u_4+u_6=\left(u_1+3d\right)+\left(u_1+5d\right)=2u_1+8d=20\).

Suy ra \(S_9=\displaystyle\frac{9\left(2u_1+8d\right)}{2}=\displaystyle\frac{9\cdot 20}{2}=90\).

c) Cho cấp số cộng \(\left(v_n\right)\) có \(S_3=-3\) và \(S_5=-15\). Tính \(S_{50}\).

Ta có \(S_3=\displaystyle\frac{3\left(2v_1+2d\right)}{2}=-3\), suy ra \(v_1+d=-1\).

Lại có \(S_5=\displaystyle\frac{5\left(2v_1+4d\right)}{2}=-15\), suy ra \(v_1+2d=-3\).

Do đó ta có hệ phương trình

\(\begin{cases}v_1+d=-1\\ v_1+2d=-3.\end{cases}\)

Giải hệ phương trình này ta được \(v_1=1\) và \(d=-2\).

Do đó \(S_{50}=\displaystyle\frac{50\left(2v_1+49d\right)}{2}=\displaystyle\frac{50\left[2\cdot 1+49(-2)\right]}{2}=-2400\).

Bài tập 37

Tính tổng \(100\) số hạng đầu của dãy số \((u_n)\) với \(u_n=0{,}3n+5\), với mọi \(n \geq 1\).

Dãy số có \(u_n=0{,}3n+5\) là cấp số cộng, khi đó \(u_1=5{,}3\) và \(u_{100}=35\).

Do đó tổng \(100\) số hạng đầu của dãy số \((u_n)\) là \(S_{100}=\displaystyle\frac{100 \cdot (u_1+u_{100})}{2}=50 \cdot (5{,}3+35)=2015\).

Bài tập 38

Gọi \(u_n\) là số hình tròn ở hàng thứ \(n\) trong hình bên. Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số \((u_n)\).

Ta thấy

+) Hàng \(1\) có \(1\) hình tròn.

+) Hàng \(2\) có \(2\) hình tròn.

+) Hàng \(3\) có \(3\) hình tròn.

+) Hàng \(4\) có \(4\) hình tròn.

Vậy ta dự đoán công thức tổng quát của dãy số \((u_n)\) là \(u_n = n\) với mọi \(n\in\mathbb{N}^*\).

Bài tập 39

Mặt sàn tầng một (tầng trệt) của một ngôi nhà cao hơn mặt sân \(0,5 \mathrm{~m}\). Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm \(25\) bậc, mỗi bậc cao \(16 \mathrm{~cm}\).

a) Viết công thức để tìm độ cao của bậc cầu thang thứ \(n\) so với mặt sân.

b) Tính độ cao của sân tầng hai so với mặt sân.

a) Mỗi bậc thang cao \(16\) cm = \(0{,}16\) m \(\Rightarrow n\) bậc thang cao \(0{,}16\cdot n\) (m).

Vì mặt bằng sàn cao hơn mặt sân \(0{,}5\) m nên công thức tính độ cao của bậc \(n\) so với mặt sân sẽ là \(h_n = (0{,} 5 + 0{,}16n)\) (m).

b) Độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân ứng với \(n = 25\) là \(h_{25} = 0{,}5 + 0{,}16.25 = 4,5\) (m)

Bài tập 40

Khi kí kết hợp đồng với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau

Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là \(120\) triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương được tăng \(18\) triệu.

Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là \(24\) triệu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng \(1{,}8\) triệu.

Nếu là người được tuyển dụng vào doanh nghiệp, em sẽ chọn phương án nào khi

a) Kí hợp đồng lao động \(3\) năm?

b) Kí hợp đồng lao động \(10\) năm?

a) Kí hợp đồng lao động \(3\) năm.

Phương án 1: Ta có \(u_1=120\) và \(d=18\).

Khi đó trong \(3\) năm sẽ nhận được \(\displaystyle\frac{3\cdot(2\cdot 120+2\cdot 18)}{2}=414\) (triệu đồng).

Phương án 2: Ta có \(u_1=24\) triệu và \(d=1{,}8\).

Khi đó trong \(3\) năm (tương ứng \(12\) quý) sẽ nhận được \(\displaystyle\frac{12\cdot(2 \cdot 24+ 11\cdot 1{,}8)}{2}=406{,}8\) (triệu đồng).

Vậy lựa chọn phương án \(1\).

b) Kí hợp đồng lao động \(10\) năm.

Phương án 1: Ta có \(u_1=120\) và \(d=18\).

Khi đó trong \(10\) năm sẽ nhận được \(\displaystyle\frac{10\cdot(2\cdot 120+9\cdot 18)}{2}=2~010\) (triệu đồng).

Phương án 2: Ta có \(u_1=24\) triệu và \(d=1{,}8\).

Khi đó trong \(10\) năm (tương ứng \(40\) quý) sẽ nhận được \(\displaystyle\frac{40\cdot(2 \cdot 24+ 39\cdot 1{,}8)}{2}=2~364\) (triệu đồng).

Vậy lựa chọn phương án \(2\).

Bài tập 41

Chiều cao (đơn vị: centimét) của một đứa trẻ \(n\) tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức \(x_n=75+5 \cdot (n-1)\).

a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm \(3\) tuổi là bao nhiêu centimét?

b) Dãy số \((x_n)\) có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm. chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimét?

a) Ta có \(x_3=75+5\cdot(3-1)=85\), do đó một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm \(3\) tuổi là \(85\) centimét.

b) Ta có \(x_n=75+5(n-1)\) nên \(x_{n+1}=75+5(n+1-1)=75+5n\),\\ do đó \(u_{n+1}-u_n=5\) nên dãy số \((x_n)\) có là một cấp số cộng.

Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên \(5\) centimét.

Bài tập 42

Từ \(0\) giờ đến \(12\) giờ trưa, chuông của một chiếc đồng hồ quả lắc sẽ đánh bao nhiêu tiếng, biết rằng nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ?

Lúc \(1\) giờ đồng hồ đánh \(1\) tiếng chuông.

Lúc \(2\) giờ đồng hồ đánh \(2\) tiếng chuông.

......

Lúc \(12\) giờ trưa đồng hồ đánh \(12\) tiếng chuông.

Do đó, từ \(0\) giờ đến \(12\) giờ trưa, đồng hồ đánh số tiếng chuông là

\(1+ 2+ 3+ \cdots + 11+ 12\).

Đây là tổng \(12\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1= 1\), công sai \(d = 1\).

Vậy tổng số tiếng chuông đồng hồ trong khoảng thời gian từ \(0\) đến \(12\) giờ trưa là \(\displaystyle\frac{12\cdot (1+12)}{2}=78\).

Bài tập 43

Vào năm \(2020\), dân số của một thành phố là khoảng \(1,2\) triệu người. Giả sử mỗi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng \(30\) nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố này vào năm \(2030\).

Ta thấy dân số của thành phố này qua các năm lập thành cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1=1200000\) và \(d=30000\).

Vào năm 2030 dân số thành phố này tương ứng với năm thứ 11 kể từ năm 2020.

Do đó \(u_{11}=1200000+10\cdot 30000=1500000\).

Vậy dân số thành phố này vào năm 2030 là 1,5 triệu người.

Bài tập 44

Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với \(15\) ghế ngồi ở hàng thứ nhất, \(18\) ghế ngồi ở hàng thứ hai, \(21\) ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất \(870\) ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế?

Số ghế ở mỗi hàng của nhà hát lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1=15\) và công sai \(d=3\). Gọi \(n\) là số hàng ghế trong hội trường. Tổng các số hạng này là

\(S_{n}=\displaystyle\frac{n}{2}\left[2u_1+(n-1)d\right]=\displaystyle\frac{n}{2}\left[2\cdot 15+(n-1)\cdot 3\right]=\displaystyle\frac{n}{2}(3n+27)\ge 870.\)

Do đó \(3n^2+27n-1740\ge0\).

Giải bất phương trình bậc hai này ta được \(n\le-29 \text{\ (loại)}\) và \(n\ge 20\).

Vậy phải thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế.

Bài tập 45

Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là \(680\) triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá của chiếc ô tô đó giảm \(55\) triệu đồng. Tính giá còn lại của chiếc xe sau \(5\) năm sử dụng.

Sau mỗi năm giá của chiếc ô tô giảm \(55\) triệu đồng, do đó ta có thể xem giá của chiếc ô tô đó là một cấp số cộng với \(u_1=680\) và công sai \(d=-55\).

Vậy giá của chiếc ô tô sau \(5\) năm sử dụng là \( u_5=680+4\cdot (-55)=460\) triệu đồng.

Bài tập 46

Anh Nam được nhận vào làm việc ở một công ty về công nghệ với mức lương khởi điểm là \(100\) triệu đồng một năm. Công ty sẽ tăng thêm lương cho anh Nam mỗi năm là \(20\) triệu đồng. Tính tổng số tiền lương mà anh Nam nhận được sau \(10\) năm làm việc cho công ty đó.

Số tiền lương của anh Nam qua các năm lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1=100\) và công sai \(d=20\).

Khi đó \(u_{10}=u_1+9d=100+9\cdot 20=280\).

Vậy sau 10 năm làm việc cho công ty số tiền lương mà anh Nam sẽ nhận là \(280\) triệu đồng.

Bài tập 47

Mặt cắt của một tổ ong có hình lưới tạo bởi các ô hình lục giác đều. Từ một ô đầu tiên, bước thứ nhất, các ong thợ tạo ra vòng \(1\) gồm \(6\) ô lục giác; bước thứ hai, các ong thợ tạo ra vòng \(2\) gồm \(12\) ô bao quanh vòng \(1\); bước thứ \(3\), các các ong thợ tạo ra vòng \(3\) gồm \(18\) ô bao quanh vòng \(2\); cứ thế tiếp tục. Số ô trên các vòng theo thứ tự có có tạo thành cấp số cộng không? Nếu có tìm công sai của cấp số cộng này.

Số ô trên mỗi vòng ong thợ tạo ra

Vòng \(1\) có \(6\) ô.

Vòng \(2\) có \(12\) ô.

Vòng \(3\) có \(18\) ô.

\(\ldots\)

Số ô trên các vòng \(1\), \(2\), \(3\), \(\ldots\) theo thứ tự có tạo thành cấp số cộng có công sai \(d=6\).

Bài tập 48

Một rạp hát có \(20\) hàng ghế xếp theo hình quạt. Hàng thứ nhất có \(17\) ghế, hàng thứ hai có \(20\) ghế, hàng thứ ba có \(23\) ghế, ... cứ thế tiếp tục cho đến hàng cuối cùng.

a) Tính số ghế có ở hàng cuối cùng.

b) Tính tổng số ghế có ở trong rạp.

a) Tính số ghế có ở hàng cuối cùng.

Số ghế của hàng thứ nhất, thứ hai, thứ ba, .... được xếp thành cấp số cộng

\(17;\ 20; \ 23; \ \ldots \) có \(u_1=17\) và công sai \(d=3\).

Số ghế có ở hàng thứ \(20\) là

\(u_{20}=u_1+19d=17+19\cdot 3=74\ \text{(ghế)}.\)

b) Tính tổng số ghế có ở trong rạp.

Tổng số ghế có ở trong rạp là tổng số ghế của \(20\) hàng

\(S_{20}=\displaystyle\frac{20\left(u_1+u_{20}\right)}{2}=\displaystyle\frac{20\left(17+74\right)}{2}=910 \ \text{(ghế)}.\)

Bài tập 49

Ở một loài thực vật lưỡng bội, tính trạng chiều cao cây do hai gene không alen là \(A\) và \(B\) cùng quy định theo kiểu tương tác cộng gộp. Trong kiểu gene nếu cứ thêm một alen trội \(A\) hay \(B\) thì chiều cao cây tăng thêm \(5\) cm. Khi trưởng thành, cây thấp nhất của loài này với kiểu gene \(aabb\) có chiều cao \(100\) cm. Hỏi cây cao nhất với kiểu gene \(AABB\) có chiều cao bao nhiêu?

Tính trạng chiều cao cây do hai gene không alen là \(A\) và \(B\) cùng quy định theo kiểu tương tác cộng gộp.

Khi thêm mỗi alen trội \(A\) hay \(B\) thì chiều cao cây tăng thêm \(5\) cm.

Khi trưởng thành, cây thấp nhất của loài này với kiểu gene \(aabb\) có chiều cao \(100\) cm.

Cây cao nhất với kiểu gene \(AABB\) có chiều cao là \(100+5+5+5+5=120\) (cm).

Bài tập 50

Khi một vận động viên nhảy dù nhảy ra khỏi máy bay, giả sử quãng đường người ấy rơi tự do (tính theo feet) trong mỗi giây liên tiếp theo thứ tự trước khi bung dù lần lượt là: \(16\); \(48\); \(80\); \(112\); \(144\); \(\ldots\) (các quãng đường này tạo thành cấp số cộng).

a) Tính công sai của cấp số cộng trên.

b) Tính tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong \(10\) giây đầu tiên.

a) Tính công sai của cấp số cộng trên.

Ta có \(48-16=80-48=112-80=144-112=\cdots =32\).

Do đó cấp số cộng trên có công sai \(d=32\).

b) Tính tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong \(10\) giây đầu tiên.

Tổng quãng đường người đó rơi tự do trong \(10\) giây đầu tiên là tổng của \(10\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng: \(16\); \(48\); \(80\); \(112\); \(144\); \(\ldots\).

\(S=\displaystyle\frac{10(2u_1+9d)}{2}=\displaystyle\frac{10(2\cdot 16+9\cdot 32)}{2}=1600\ \text{(feet)}.\)

Bài tập 51

Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là \(45\) cm, \(43\) cm, \(41\) cm, \(\ldots\), \(31\) cm.

a) Cái thang đó có bao nhiêu bậc?

b) Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều dài các mối nối (phần gỗ bị cắt thành mùn cưa) là không đáng kể.

a) Cái thang đó có bao nhiêu bậc?

Số bậc của cái thang bằng số thanh ngang có chiều dài lần lượt là \(45\) cm, \(43\) cm, \(41\) cm, \(\ldots\), \(31\) cm (gồm có \(8\) thanh ngang).

Vậy cái thang có \(8\) bậc.

b) Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều dài các mối nối (phần gỗ bị cắt thành mùn cưa) là không đáng kể.

Chiều dài của thang gỗ cần mua bằng tổng chiều dài của các thanh ngang

\(45+43+41+39+37+35+33+31=\displaystyle\frac{8\left(45+31\right)}{2}=304 ~\text{(cm)}.\)

Bài tập 52

Một nhà thi đấu có \(20\) hàng ghế dành cho khán giả. Hàng thứ nhất có \(20\) ghế, hàng thứ hai có \(21\) ghế, hàng thứ ba có \(22\) ghế, ... Cứ như thế, số ghế ở hàng sau nhiều hơn số ghế ở hàng trước là \(1\) ghế. Trong một giải thi đấu, ban tổ chức đã bán được hết số vé phát ra và số tiền thu được từ bán vé là \(70~800~000\) đồng. Tính giá tiền của mỗi vé (đơn vị: đồng), biết số vé bán ra bằng số ghế dành cho khán giả của nhà thi đấu và các vé là đồng giá.

Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1=20\), công sai \(d=1\). Cấp số cộng này có \(20\) số hạng. Do đó, tổng số ghế trong nhà thi đấu là \(S_{20}=\displaystyle\frac{[2 \cdot 20+(20-1) \cdot 1] \cdot 20}{2}=590.\)

Vì số vé bán ra bằng số ghế dành cho khán giả của nhà thi đấu nên số vé bán ra là \(590\).

Vậy giá tiền của một vé là \(\displaystyle\frac{70~800~000}{590} = 120~000\) (đồng).