Bài 3. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1. Công thức cộng

\(+)\) \(\sin (\alpha + \beta)\) \(=\sin \alpha\cos \beta+ \sin \beta\cos a\).

\(+)\) \(\sin (\alpha - \beta)\) \(=\sin \alpha\cos \beta-\sin \beta\cos a\).

\(+)\) \(\cos (\alpha + \beta)\) \(=\cos \alpha\cos \beta - \sin \alpha\sin \beta\).

\(+)\) \(\cos (\alpha - \beta)\) \(=\cos \alpha\cos \beta +\sin \alpha\sin \beta\).

\(+)\) \(\tan (\alpha + \beta)\) \(=\displaystyle\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan a\tan \beta}\).

\(+)\) \(\tan (\alpha - \beta)\) \(=\displaystyle\frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1+\tan \alpha\tan \beta}\)

2. Công thức góc nhân đôi

\(+)\) \(\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\) \(= 2\cos^2\alpha - 1\) \(= 1 - 2\sin^2\alpha\).

\(+)\) \(\sin2\alpha=2\sin \alpha\cos \alpha\).

\(+)\) \(\tan2\alpha=\displaystyle\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2\alpha}\).

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

\(+)\) \(\cos \alpha\cos \beta\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos \left({\alpha - \beta}\right)+\cos \left({\alpha + \beta}\right)\right]\)

\(+)\) \(\sin \alpha\sin \beta\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\left[{\cos\left({\alpha - \beta}\right) - \cos\left({\alpha + \beta}\right)}\right]\)

\(+)\) \(\sin \alpha\cos \beta\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\left[{\sin\left({\alpha - \beta}\right) + \sin\left({\alpha + \beta}\right)}\right]\).

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

\(+)\) \(\cos \alpha + \cos \beta \) \(= 2\cos \displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}\cos \displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}\)

\(+)\) \(\cos \alpha - \cos \beta \) \(= -2\sin\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}\)

\(+)\) \(\sin \alpha + \sin \beta \) \(= 2\sin \displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}\cos \displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}\)

\(+)\) \(\sin \alpha-\sin \beta\) \(=2\cos\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}\)

Bài tập

Bài tập 1

Tính các giá trị lượng giác của góc \(15^{\circ}\).

\(\sin15^\circ=\sin\left(45^\circ-30^\circ\right)=\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\).

\(\cos15^\circ=\cos\left(45^\circ-30^\circ\right)=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\).

\(\tan15^\circ=\displaystyle\frac{\sin15^\circ}{\cos15^\circ}=2-\sqrt{3}\).

\(\cot15^\circ=2+\sqrt{3}\).

Bài tập 2

Tính giá trị \(\sin \displaystyle\frac{\pi}{8}\).

Ta có \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos \displaystyle\frac{\pi}{4} = \cos \left(2 \cdot \displaystyle\frac{\pi}{8}\right) = 1 - 2 \sin ^2 \displaystyle\frac{\pi}{8}\).

Suy ra \(\sin ^2 \displaystyle\frac{\pi}{8} = \displaystyle\frac{2 - \sqrt{2}}{4}\).

Vì \(0 < \displaystyle\frac{\pi}{8} < \displaystyle\frac{\pi}{2}\) nên \(\sin \displaystyle\frac{\pi}{8} > 0\).

Suy ra \(\sin \displaystyle\frac{\pi}{8} = \displaystyle\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\).

Bài tập 3

Tính giá trị \(\cos \displaystyle\frac{\pi}{12}\).

\(\cos \displaystyle\frac{\pi}{12} = \cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{3} - \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \cos \displaystyle\frac{\pi}{3} \cos \displaystyle\frac{\pi}{4} + \sin \displaystyle\frac{\pi}{3} \sin \displaystyle\frac{\pi}{4}\) \(= \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} + \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} = \displaystyle\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}\).

Bài tập 4

Tính \(\sin \displaystyle\frac{\pi}{12}\) và \(\tan \displaystyle\frac{\pi}{12}\).

Ta có

\(\sin \displaystyle\frac{\pi}{12} = \sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{3} - \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \sin \displaystyle\frac{\pi}{3} \cos \displaystyle\frac{\pi}{4} - \cos \displaystyle\frac{\pi}{3} \sin \displaystyle\frac{\pi}{4}\) \( = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} - \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} = \displaystyle\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\).

\(\tan \displaystyle\frac{\pi}{12} = \tan \left(\displaystyle\frac{\pi}{3} - \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) \( = \displaystyle\frac{\tan \displaystyle\frac{\pi}{3} - \tan \displaystyle\frac{\pi}{4} }{1 + \tan \displaystyle\frac{\pi}{3} \tan \displaystyle\frac{\pi}{4}} = \displaystyle\frac{\sqrt{3} -1}{1 + \sqrt{3}}\).

Bài tập 5

Tính \(\cos \displaystyle\frac{\pi}{8}\) và \(\tan \displaystyle\frac{\pi}{8}\).

Ta có \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos \displaystyle\frac{\pi}{4} = \cos \left(2 \cdot \displaystyle\frac{\pi}{8}\right) = 2 \cos ^2 \displaystyle\frac{\pi}{8} - 1\).

Suy ra \(\cos ^2 \displaystyle\frac{\pi}{8} = \displaystyle\frac{2 + \sqrt{2}}{4}\).

Vì \(0 < \displaystyle\frac{\pi}{8} < \displaystyle\frac{\pi}{2}\) nên \(\cos \displaystyle\frac{\pi}{8} > 0\). Suy ra \(\cos \displaystyle\frac{\pi}{8} = \displaystyle\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\).

Ta có \(1 = \tan \displaystyle\frac{\pi}{4} = \tan \left(2 \cdot \displaystyle\frac{\pi}{8}\right) = \displaystyle\frac{2\tan \displaystyle\frac{\pi}{8}}{1 - \tan^2 \displaystyle\frac{\pi}{8}}\).

Suy ra \(\tan^2 \displaystyle\frac{\pi}{8} + 2\tan \displaystyle\frac{\pi}{8} - 1= 0\) \(\Leftrightarrow \tan \displaystyle\frac{\pi}{8} = -1 + \sqrt{2}\) hoặc \(\tan \displaystyle\frac{\pi}{8} = -1 - \sqrt{2}.\)

Vì \(0 < \displaystyle\frac{\pi}{8} < \displaystyle\frac{\pi}{2}\) nên \(\tan \displaystyle\frac{\pi}{8} > 0\). Suy ra \(\tan \displaystyle\frac{\pi}{8} = -1 + \sqrt{2}\).

Bài tập 6

Tính giá trị của biểu thức \(\cos \displaystyle\frac{11 \pi}{12} \cos \displaystyle\frac{7 \pi}{12}\).

\(\cos \displaystyle\frac{11 \pi}{12} \cos \displaystyle\frac{7 \pi}{12} = \displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos \left(\displaystyle\frac{11 \pi}{12} - \displaystyle\frac{7 \pi}{12}\right) + \cos \left(\displaystyle\frac{11 \pi}{12} + \displaystyle\frac{7 \pi}{12}\right)\right]\) \(= \displaystyle\frac{1}{2}\left(\cos \displaystyle\frac{\pi}{3} + \cos \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right) = \displaystyle\frac{1}{4}.\)

Bài tập 7

Tính giá trị của biểu thức \(\sin \displaystyle\frac{\pi}{24} \cos \displaystyle\frac{5 \pi}{24}\) và \(\sin \displaystyle\frac{7 \pi}{8} \sin \displaystyle\frac{5 \pi}{8}\).

Ta có

\(\sin \displaystyle\frac{\pi}{24} \cos \displaystyle\frac{5 \pi}{24} = \displaystyle\frac{1}{2}\left[\sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{24} - \displaystyle\frac{5 \pi}{24}\right) + \sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{24} + \displaystyle\frac{5 \pi}{24}\right)\right]\) \( = \displaystyle\frac{1}{2}\left[\sin \left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) + \sin \displaystyle\frac{ \pi}{4}\right] = \displaystyle\frac{-1 + \sqrt{2}}{4}.\)

\(\sin \displaystyle\frac{7 \pi}{8} \sin \displaystyle\frac{5 \pi}{8} = \displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos \left(\displaystyle\frac{7 \pi}{8} - \displaystyle\frac{5 \pi}{8}\right) - \cos \left(\displaystyle\frac{7 \pi}{8} + \displaystyle\frac{5 \pi}{8}\right)\right]\) \(= \displaystyle\frac{1}{2}\left(\cos \displaystyle\frac{\pi}{4} - \cos \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right) = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}.\)

Bài tập 8

Tính \(\sin \displaystyle\frac{5 \pi}{12} + \sin \displaystyle\frac{\pi}{12}\).

Ta có

\(\sin \displaystyle\frac{5 \pi}{12} + \sin \displaystyle\frac{\pi}{12} = 2 \sin \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{5 \pi}{12} + \displaystyle\frac{\pi}{12}}{2} \cos \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{5 \pi}{12} - \displaystyle\frac{\pi}{12}}{2}\) \(= 2 \sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \cos \displaystyle\frac{\pi}{6} = 2 \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} = \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}.\)

Bài tập 9

Tính \(\cos \displaystyle\frac{7 \pi}{12} + \cos \displaystyle\frac{\pi}{12}\).

Ta có

\(\cos \displaystyle\frac{7 \pi}{12} + \cos \displaystyle\frac{\pi}{12} = 2\cos \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{7 \pi}{12} + \displaystyle\frac{\pi}{12}}{2} \cos \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{7 \pi}{12} - \displaystyle\frac{\pi}{12}}{2}\) \(= 2 \cos \displaystyle\frac{\pi}{3} \cos \displaystyle\frac{\pi}{4} = 2 \cdot \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}.\)

Bài tập 10

Tính

a) \(\tan \displaystyle\frac{7 \pi}{12}\).

b) \(\tan 165^{\circ}\).

a) Áp dụng công thức cộng đối với tang, ta có:

\(\tan \displaystyle\frac{7 \pi}{12}=\tan \left(\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\) \(=\displaystyle\frac{\tan \frac{\pi}{4}+\tan \frac{\pi}{3}}{1-\tan \frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{3}}=\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}=-2-\sqrt{3}\).

b) Áp dụng công thức cộng đối với tang, ta có:

\(\tan 15^{\circ}=\tan \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)=\displaystyle\frac{\tan 45^{\circ}-\tan 30^{\circ}}{1+\tan 45^{\circ} \tan 30^{\circ}}\) \(=\displaystyle\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}=2-\sqrt{3}\).

Bài tập 11

Tính

a) \(\sin 75^{\circ}\).

b) \(\sin \displaystyle\frac{\pi}{12}\).

a) Áp dụng công thức cộng, ta có:

\(\sin 75^{\circ}=\sin \left(30^{\circ}+45^{\circ}\right)\) \(=\sin 30^{\circ} \cos 45^{\circ}+\cos 30^{\circ} \sin 45^{\circ}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\).

b) Áp dụng công thức cộng, ta có:

\(\sin \displaystyle\frac{\pi}{12}=\sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{3}-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) \(=\sin \displaystyle\frac{\pi}{3} \cos \displaystyle\frac{\pi}{4}-\cos \displaystyle\frac{\pi}{3} \sin \displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\).

Bài tập 12

Tính

a) \(\cos \displaystyle\frac{5\pi}{12}\).

b) \(\cos 15^{\circ}\).

a) Áp dụng công thức cộng, ta có:

\(\cos \displaystyle\frac{5 \pi}{12}=\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{6}+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) \(=\cos \displaystyle\frac{\pi}{6} \cos \displaystyle\frac{\pi}{4}-\sin \displaystyle\frac{\pi}{6} \sin \displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\).

b) Áp dụng công thức cộng, ta có:

\(\sin 15^{\circ}=\sin \left(60^{\circ}-45^{\circ}\right)\) \(=\sin 60^{\circ} \cos 45^{\circ}+\cos 60^{\circ} \sin 45^{\circ}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\).

Bài tập 13

Tính \(\sin \left(\alpha + \displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\), \(\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\) biết \(\sin \alpha = -\displaystyle\frac{5}{13}\) và \(\pi < \alpha < \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\).

Do \(\pi < \alpha < \displaystyle\frac{3 \pi}{2} \Rightarrow \cos \alpha < 0\).

Ta có

\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(-\displaystyle\frac{5}{13}\right)^2} = -\displaystyle\frac{12}{13}\).

Suy ra

\(\sin \left(\alpha + \displaystyle\frac{\pi}{6}\right) = \sin \alpha \cos \displaystyle\frac{\pi}{6} + \sin \displaystyle\frac{\pi}{6} \cos \alpha\) \(= -\displaystyle\frac{5}{13} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} - \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{12}{13} = \displaystyle\frac{-5\sqrt{3} -12}{26}\);

\(\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos \displaystyle\frac{\pi}{4} \cos \alpha + \sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \sin \alpha\) \(= -\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \displaystyle\frac{12}{13} - \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \displaystyle\frac{5}{13} = -\displaystyle\frac{17\sqrt{2}}{26}\).

Bài tập 14

Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc:

a) \(\displaystyle\frac{5 \pi}{12}\).

b) \(-555^{\circ}\).

a) Ta có

\(\sin \displaystyle\frac{5 \pi}{12}=\sin\left( \displaystyle\frac{3\pi}{12}+\displaystyle\frac{2\pi}{12} \right)=\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\) \(=\sin\displaystyle\frac{\pi}{4}\cos\displaystyle\frac{\pi}{6}+\cos\displaystyle\frac{\pi}{4} \sin\displaystyle\frac{\pi}{6}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\).

Ta có \(\cos \displaystyle\frac{5 \pi}{12}=\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\) \(=\cos\displaystyle\frac{\pi}{4}\cos\displaystyle\frac{\pi}{6}-\sin\displaystyle\frac{\pi}{4} \sin\displaystyle\frac{\pi}{6}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\).

Suy ra \(\tan\displaystyle\frac{5\pi}{12}=\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{5\pi}{12}}{\cos\displaystyle\frac{5\pi}{12}}\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt 6+\sqrt 2}{\sqrt 6-\sqrt 2}\Rightarrow \cot\displaystyle\frac{5\pi}{12}=\displaystyle\frac{\sqrt 6-\sqrt 2}{\sqrt 6+\sqrt 2}\).

b) Ta có \(-555^{\circ}=-2\cdot360^\circ+165^\circ\).

Suy ra \begin{eqnarray*}\sin(-555^\circ)&=&\sin 165^\circ \\ &=&\sin 15^\circ=\sin\left(45^\circ-30^\circ\right)\\ &=&\sin 45^\circ\cos 30^\circ-\sin 30^\circ \cos 45^\circ\\ &=&\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4};\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}\cos(-555^\circ)&=&\cos 165^\circ \\ &=&-\cos 15^\circ=-\cos\left(45^\circ-30^\circ\right)\\ &=&-\left( \cos 45^\circ\cos 30^\circ+\sin 30^\circ \sin 45^\circ\right) \\ &=&-\displaystyle\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.\end{eqnarray*}

Suy ra \(\tan (-555^\circ)=\displaystyle\frac{\sin (-555^\circ)}{\cos(-555^\circ)}\) \(=-\displaystyle\frac{\sqrt6-\sqrt2}{\sqrt6+\sqrt2}\Rightarrow \cot(-555^\circ)=-\displaystyle\frac{\sqrt6+\sqrt2}{\sqrt6-\sqrt2}\).

Bài tập 15

Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\), biết:

a) \(\cos 2 \alpha = \displaystyle\frac{2}{5}\) và \(-\displaystyle\frac{\pi}{2} < \alpha < 0\);

b) \(\sin 2 \alpha = -\displaystyle\frac{4}{9}\) và \(\displaystyle\frac{\pi}{2} < \alpha < \displaystyle\frac{3 \pi}{4}\).

a) Do \(-\displaystyle\frac{\pi}{2} < \alpha < 0 \Rightarrow \begin{cases}\cos \alpha > 0\\ \sin \alpha < 0\\ \tan \alpha < 0\\ \cot \alpha < 0.\end{cases}\)

Ta có

\(\cos 2 \alpha = \displaystyle\frac{2}{5} \Leftrightarrow 2\cos^2 \alpha - 1 = \displaystyle\frac{2}{5} \Leftrightarrow \cos^2 \alpha = \displaystyle\frac{7}{10}\) \(\Leftrightarrow \cos \alpha = \sqrt{\displaystyle\frac{7}{10}}\) hoặc \(\cos \alpha = -\sqrt{\displaystyle\frac{7}{10}}\) (loại).

Do \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \sin \alpha = - \sqrt{1 -\cos^2 \alpha} = - \sqrt{1 - \displaystyle\frac{7}{10}} = -\sqrt{\displaystyle\frac{3}{10}}\).

Suy ra \(\tan \alpha = \displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = - \sqrt{\displaystyle\frac{3}{7}} \Rightarrow \cot \alpha = - \sqrt{\displaystyle\frac{7}{3}}\).

b) Do \(\displaystyle\frac{\pi}{2} < \alpha < \displaystyle\frac{3 \pi}{4} \Rightarrow \begin{cases}\sin \alpha > 0\\ \cos \alpha < 0\\ \tan \alpha < 0\\ \cot \alpha < 0.\end{cases}\)

Mặt khác \(\displaystyle\frac{\pi}{2} < \alpha < \displaystyle\frac{3 \pi}{4} \Rightarrow \pi < 2\alpha < \displaystyle\frac{3 \pi}{2} \Rightarrow \cos 2\alpha < 0\).

Ta có \(\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha = 1 \Rightarrow \cos 2 \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 2\alpha} = -\sqrt{1 - \left(-\displaystyle\frac{4}{9}\right)^2} = -\displaystyle\frac{\sqrt{65}}{9}.\)

Ta có

\(\cos 2 \alpha = -\displaystyle\frac{\sqrt{65}}{9} \Leftrightarrow 2\cos^2 \alpha - 1 = -\displaystyle\frac{\sqrt{65}}{9} \Leftrightarrow \cos^2 \alpha = \displaystyle\frac{9 - \sqrt{65}}{18}\) \(\Leftrightarrow \cos \alpha = \sqrt{\displaystyle\frac{9 - \sqrt{65}}{18}}\) (loại) hoặc \(\cos \alpha = -\sqrt{\displaystyle\frac{9 - \sqrt{65}}{18}}.\)

Do \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \sin \alpha = \sqrt{1 -\cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{9 - \sqrt{65}}{18}} = \sqrt{\displaystyle\frac{9 + \sqrt{65}}{18}}\).

Suy ra \(\tan \alpha = \displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = - \sqrt{\displaystyle\frac{9 + \sqrt{65}}{9 - \sqrt{65}}} \Rightarrow \cot \alpha = - \sqrt{\displaystyle\frac{9 - \sqrt{65}}{9 + \sqrt{65}}}\).

Bài tập 16

Cho \(\cos 2 x=\displaystyle\frac{1}{4}\). Tính

a) \(A=\cos \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) \cos \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\).

b) \(B=\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\).

a) \(A=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\cos 2 x+\cos \displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{2}\right)=\displaystyle\frac{3}{8}\).

b) \(B=-\displaystyle\frac{1}{2}\left(\cos 2 x-\cos \displaystyle\frac{2\pi}{3}\right)\) \(=-\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{2}\right)=-\displaystyle\frac{3}{8}\).

Bài tập 17

Cho \(\sin a=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}\). Tính: \(\cos 2 a, \cos 4 a\).

+) \(\cos 2a=1-2\sin^2a=1-2\cdot \left(\displaystyle\frac{2}{\sqrt 5}\right)^2=-\displaystyle\frac{3}{5}\).

+) \(\cos 4a=2\cos^2(2a)-1=2\cdot \left(-\displaystyle\frac{3}{5} \right)^2-1=-\displaystyle\frac{7}{25}\).

Bài tập 18

Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức

\(B=\cos \displaystyle\frac{\pi}{9}+\cos \displaystyle\frac{5 \pi}{9}+\cos \displaystyle\frac{11 \pi}{9}.\)

Ta có

\(B=\left(\cos \displaystyle\frac{\pi}{9}+\cos \displaystyle\frac{5 \pi}{9}\right)+\cos \displaystyle\frac{11 \pi}{9}\) \(=2 \cos \displaystyle\frac{2 \pi}{9} \cos \displaystyle\frac{\pi}{3}+\cos \displaystyle\frac{11 \pi}{9}=\cos \displaystyle\frac{2 \pi}{9}-\cos \displaystyle\frac{2 \pi}{9}=0.\)

Bài tập 19

Tính giá trị của các biểu thức

\(A=\cos \displaystyle\frac{5 \pi}{12} \cos \displaystyle\frac{7 \pi}{12}\); \(B=\cos 75^{\circ} \sin 15^{\circ}.\)

Ta có:

\(\begin{aligned}A & =\cos \displaystyle\frac{5 \pi}{12} \cos \displaystyle\frac{7 \pi}{12}=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos \left(\displaystyle\frac{5 \pi}{12}-\displaystyle\frac{7 \pi}{12}\right)+\cos \left(\displaystyle\frac{5 \pi}{12}+\displaystyle\frac{7 \pi}{12}\right)\right] \\ & =\displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos \left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)+\cos \pi\right]=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}-1\right)=\displaystyle\frac{\sqrt{3}-2}{4}.\\ B & =\cos 75^{\circ} \sin 15^{\circ}=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\sin \left(15^{\circ}-75^{\circ}\right)+\sin \left(15^{\circ}+75^{\circ}\right)\right] \\ & =\displaystyle\frac{1}{2}\left[\sin \left(-60^{\circ}\right)+\sin 90^{\circ}\right]=\displaystyle\frac{1}{2}\left(-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)=\displaystyle\frac{2-\sqrt{3}}{4}.\end{aligned}\)

Bài tập 20

Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức:

\(A=\cos 75^{\circ} \cos 15^{\circ};\) \(B=\sin \displaystyle\frac{5 \pi}{12} \cos \displaystyle\frac{7 \pi}{12}.\)

\(\begin{aligned}A & =\cos 75^{\circ} \cos 15^{\circ}=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos \left(75^{\circ}-15^{\circ}\right)+\cos \left(75^{\circ}+15^{\circ}\right)\right] \\ & =\displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos \left(60^{\circ}\right)+\cos 90^{\circ}\right]=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{2}+0\right)=\displaystyle\frac{1}{4}.\\ B & =\sin \displaystyle\frac{5 \pi}{12} \cos \displaystyle\frac{7 \pi}{12}=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\sin \left(\displaystyle\frac{5 \pi}{12}-\displaystyle\frac{7 \pi}{12}\right)+\sin \left(\displaystyle\frac{5 \pi}{12}+\displaystyle\frac{7 \pi}{12}\right)\right] \\ & =\displaystyle\frac{1}{2}\left[\sin \left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)+\sin \pi\right]=\displaystyle\frac{1}{2}\left(-\displaystyle\frac{1}{2}+0\right)=-\displaystyle\frac{1}{4}.\end{aligned}\)

Bài tập 21

Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức \(A=\sin \displaystyle\frac{\pi}{9}-\sin \displaystyle\frac{5 \pi}{9}+\sin \displaystyle\frac{7 \pi}{9}.\)

Ta có

\(A=\left(\sin \displaystyle\frac{\pi}{9}+\sin \displaystyle\frac{7 \pi}{9}\right)-\sin \displaystyle\frac{5 \pi}{9}\) \(=2 \sin \displaystyle\frac{4 \pi}{9} \cos \displaystyle\frac{\pi}{3}-\sin \displaystyle\frac{5 \pi}{9}=\sin \displaystyle\frac{4 \pi}{9}-\sin \displaystyle\frac{5 \pi}{9}=0.\)

Bài tập 22

Không dùng máy tính, tính \(\cos \displaystyle\frac{\pi}{8}\).

Ta có

\(\cos^{2} \displaystyle\frac{\pi}{8}=\displaystyle\frac{1+\cos \left(2\cdot\displaystyle\frac{\pi}{8}\right)}{2}\) \(=\displaystyle\frac{1+\cos \displaystyle\frac{\pi}{4}}{2}=\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\displaystyle\frac{2+\sqrt{2}}{4}\).

Suy ra \(\cos \displaystyle\frac{\pi}{8}=\displaystyle\frac{\sqrt{{2+\sqrt{2}}}}{2}\).

Bài tập 23

Không dùng máy tính, hãy tính

a) \(\cos 75^{\circ}\);

b) \(\tan \displaystyle\frac{\pi}{12}\).

a) Ta có

\(\begin{aligned}\cos 75^{\circ}&=\cos \left(45^{\circ}+30^{\circ}\right)=\cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ}-\sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ}\\ &=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.\end{aligned}\)

b) Ta có

\(\begin{aligned}\tan \displaystyle\frac{\pi}{12}&=\tan \left(\displaystyle\frac{\pi}{3}-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\displaystyle\frac{\tan \displaystyle\frac{\pi}{3}-\tan \displaystyle\frac{\pi}{4}}{1+\tan \displaystyle\frac{\pi}{3} \cdot \tan \displaystyle\frac{\pi}{4}}\\ &=\displaystyle\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}=\displaystyle\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1}=2-\sqrt{3}.\end{aligned}\)

Bài tập 24

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(A=\displaystyle\frac{\sin \displaystyle\frac{\pi}{15} \cos \displaystyle\frac{\pi}{10}+\sin \displaystyle\frac{\pi}{10} \cos \displaystyle\frac{\pi}{15}}{\cos \displaystyle\frac{2 \pi}{15} \cos \displaystyle\frac{\pi}{5}-\sin \displaystyle\frac{2 \pi}{15} \cdot \sin \displaystyle\frac{\pi}{5}}\);

b) \(B=\sin \displaystyle\frac{\pi}{32} \cos \displaystyle\frac{\pi}{32} \cos \displaystyle\frac{\pi}{16} \cos \displaystyle\frac{\pi}{8}\).

a) \(A=\displaystyle\frac{\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{15}+\displaystyle\frac{\pi}{10}\right)}{\cos\left(\displaystyle\frac{2\pi}{15}+\displaystyle\frac{\pi}{5}\right)}\) \(=\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}}{\cos\displaystyle\frac{\pi}{3}}=\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}}{\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)}=\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}}{\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}}=1\).

b) Áp dụng công thức nhân đôi \(\sin2a=2\sin a\cos a\), ta có

\begin{eqnarray*}B&=&\sin \displaystyle\frac{\pi}{32} \cos \displaystyle\frac{\pi}{32} \cos \displaystyle\frac{\pi}{16} \cos \displaystyle\frac{\pi}{8}\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\cdot2\sin \displaystyle\frac{\pi}{32} \cos \displaystyle\frac{\pi}{32} \cos \displaystyle\frac{\pi}{16} \cos \displaystyle\frac{\pi}{8}\\&=&\displaystyle\frac{1}{4}\cdot2\sin \displaystyle\frac{\pi}{16} \cos \displaystyle\frac{\pi}{16} \cos \displaystyle\frac{\pi}{8}\\&=&\displaystyle\frac{1}{8}\cdot2\sin \displaystyle\frac{\pi}{8} \cos \displaystyle\frac{\pi}{8}\\&=&\displaystyle\frac{1}{8}\cdot\sin\displaystyle\frac{\pi}{4}\\&=&\displaystyle\frac{1}{8}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{16}.\end{eqnarray*}

Bài tập 25

Tính \(D=\displaystyle\frac{\sin \frac{7 \pi}{9}+\sin \frac{\pi}{9}}{\cos \frac{7 \pi}{9}-\cos \frac{\pi}{9}}\).

Ta có \(\sin \displaystyle\frac{7\pi}{9}+\sin \displaystyle\frac{\pi}{9}=2 \sin \displaystyle\frac{\frac{7 \pi}{9}+\frac{\pi}{9}}{2} \cos \displaystyle\frac{\frac{7\pi}{9}-\frac{\pi}{9}}{2}\) \(=2 \sin \displaystyle\frac{4 \pi}{9} \cos \displaystyle\frac{\pi}{3}=\sin \displaystyle\frac{4 \pi}{9}\).

\(\cos \displaystyle\frac{7\pi}{9}-\cos \displaystyle\frac{\pi}{9}=-2 \sin \displaystyle\frac{\frac{7 \pi}{9}+\frac{\pi}{9}}{2} \sin \displaystyle\frac{\frac{7\pi}{9}-\frac{\pi}{9}}{2}\) \(=-2 \sin \displaystyle\frac{4 \pi}{9} \sin \displaystyle\frac{\pi}{3}=-\sqrt{3}\sin \displaystyle\frac{4 \pi}{9}\).

Suy ra \(D=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\).

Bài tập 26

Tính

a) \(\sin \displaystyle\frac{11 \pi}{12}-\sin \displaystyle\frac{5 \pi}{12}\).

b) \(\cos 105^{\circ}+\cos 15^{\circ}\).

a) \(\sin \displaystyle\frac{11 \pi}{12}-\sin \displaystyle\frac{5 \pi}{12}=2 \cos \displaystyle\frac{\frac{11 \pi}{12}+\frac{5 \pi}{12}}{2} \sin \displaystyle\frac{\frac{11 \pi}{12}-\frac{5 \pi}{12}}{2}\) \(=2 \cos \displaystyle\frac{2 \pi}{3} \sin \displaystyle\frac{\pi}{4}=2 \cdot\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right) \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\).

b) \(\cos 105^{\circ}+\cos 15^{\circ}=2 \cos \displaystyle\frac{105^{\circ}+15^{\circ}}{2} \cos \displaystyle\frac{105^{\circ}-15^{\circ}}{2}\) \(=2 \cos 60^{\circ} \cos 45^{\circ}=2 \cdot \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Bài tập 27

Cho \(\sin 2 x=-\displaystyle\frac{1}{3}\). Tính: \(A=\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) \cos \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\).

\(\begin{aligned}A&=\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \cos \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}+x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)+\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}-x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\right] \\ &=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\sin 2 x+\sin \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\left(-\displaystyle\frac{1}{3}+1\right)=\displaystyle\frac{1}{3}.\end{aligned}\)

Bài tập 28

Cho \(\cos a=\displaystyle\frac{2}{3}\). Tính: \(B=\cos \displaystyle\frac{3 a}{2} \cos \displaystyle\frac{a}{2}\).

Ta có \(\cos2a=2\cos^2 a-1=-\displaystyle\frac{1}{9}\).

Do đó

\(B=\cos \displaystyle\frac{3 a}{2} \cos \displaystyle\frac{a}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos \left(\displaystyle\frac{3 a}{2}+\displaystyle\frac{a}{2}\right)+\cos \left(\displaystyle\frac{3 a}{2}-\displaystyle\frac{a}{2}\right)\right]\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\cos 2a+\cos a \right)=\displaystyle\frac{5}{18}.\)

Bài tập 29

Cho \(\cos \alpha=\displaystyle\frac{1}{3}\) và \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}<\alpha<0\). Tính:

\(\sin \alpha\); \(\sin 2 \alpha\); \(\cos \left(\alpha+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\).

Ta có

\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\Rightarrow \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2=\displaystyle\frac{8}{9}\Rightarrow \sin\alpha=\pm \displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}\).

Mặt khác, \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}<\alpha<0\) nên \(\sin\alpha<0\). Do đó \(\sin\alpha=-\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}\).

\(\sin 2 \alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot \displaystyle\frac{-2\sqrt{2}}{3}\cdot \displaystyle\frac{1}{3}=-\displaystyle\frac{4\sqrt{2}}{9}\).

\(\cos \left(\alpha+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=\cos\alpha\cos\displaystyle\frac{\pi}{3}-\sin\alpha\sin\displaystyle\frac{\pi}{3}\) \(=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot \displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{-2\sqrt{2}}{3}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}=\displaystyle\frac{1+2\sqrt{6}}{6}\).

Bài tập 30

Tính các giá trị lượng giác của góc \(2 \alpha\), biết:

a) \(\sin \alpha = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\) và \(0 < \alpha < \displaystyle\frac{\pi}{2}\);

b) \(\sin \displaystyle\frac{\alpha}{2} = \displaystyle\frac{3}{4}\) và \(\pi < \alpha < 2 \pi\).

a) Do \(0 < \alpha < \displaystyle\frac{\pi}{2} \Rightarrow \cos \alpha > 0\).

Ta có \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\).

Suy ra \(\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 2 \left(\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 - 1 = \displaystyle\frac{1}{3}\);

\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3} = \displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}\);

\(\tan 2\alpha = \displaystyle\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} =2\sqrt{2}\Rightarrow \cot 2\alpha = \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}} \).

b) Ta có \(\cos \alpha=\cos \left( 2\cdot\displaystyle\frac{\alpha}{2}\right) =1-2\sin^2 \displaystyle\frac{\alpha}{2}=1-2\cdot \left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2=-\displaystyle\frac{1}{8}\).

Ta có \(\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\displaystyle\frac{1}{64}=\displaystyle\frac{63}{64}\).

Vì \(\pi<\alpha<2\pi\) nên \(\sin \alpha<0\). Suy ra \(\sin \alpha=-\sqrt{\displaystyle\frac{63}{64}}=-\displaystyle\frac{\sqrt{63}}{8}\).

Do đó \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha \cos \alpha=2\left(-\displaystyle\frac{\sqrt{63}}{8}\right)\left(-\displaystyle\frac{1}{8}\right)=\displaystyle\frac{\sqrt{63}}{32}\);

\(\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1=2\left(-\displaystyle\frac{1}{8}\right)^2-1=-\displaystyle\frac{31}{32}\).

Suy ra \(\tan 2\alpha=\displaystyle\frac{\sin2\alpha}{\cos 2\alpha}=-\displaystyle\frac{\sqrt{63}}{31}\) và \(\cot 2\alpha=-\displaystyle\frac{31}{\sqrt{63}} \).

Bài tập 31

Cho \(\cos a=-\displaystyle\frac{1}{3}\) với \(\displaystyle\frac{\pi}{2}<a<\pi\). Tính \(\sin 2 a\).

Vì \(\displaystyle\frac{\pi}{2}0\).

Do đó \(\sin a=\sqrt{1-\cos ^2 a}=\sqrt{1-\left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2}=\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{9}}=\sqrt{\displaystyle\frac{8}{9}}=\displaystyle\frac{2 \sqrt{2}}{3}\) .

Vậy \(\sin 2 a=2 \sin a \cos a=2 \cdot \displaystyle\frac{2 \sqrt{2}}{3} \cdot\left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)=-\displaystyle\frac{4 \sqrt{2}}{9}\) .

Bài tập 32

Tính \(\sin 2 a\), \(\cos 2 a\), \(\tan 2 a\), biết:

a) \(\sin a=\displaystyle\frac{1}{3}\) và \(\displaystyle\frac{\pi}{2}<a<\pi\);

b) \(\sin a+\cos a=\displaystyle\frac{1}{2}\) và \(\displaystyle\frac{\pi}{2}<a<\displaystyle\frac{3 \pi}{4}\).

a) Ta có \(\cos^2a+\sin^2a=1\) nên \(\cos a=-\sqrt{1-\sin^2a}=-\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{9}}=-\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}\) (vì \(\displaystyle\frac{\pi}{2}

Suy ra \(\sin2a=2\sin a\cos a=2\cdot\displaystyle\frac{1}{3}\cdot\displaystyle\frac{-2\sqrt{2}}{3}=-\displaystyle\frac{4\sqrt{2}}{9}\).

\(\cos2a=1-2\sin^2a=1-2\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2=\displaystyle\frac{7}{9}\).

\(\tan2a=\displaystyle\frac{\sin2a}{\cos2a}=-\displaystyle\frac{4\sqrt{2}}{7}\).

b) Ta có

\(\sin a+\cos a=\displaystyle\frac{1}{2}\) nên

\begin{eqnarray*}&&\left(\sin a+\cos a\right)^2=\sin^2a+\cos^2a+2\sin a\cos a\\&\Leftrightarrow& \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2=1+\sin2a\\&\Leftrightarrow&\sin2a=-\displaystyle\frac{3}{4}.\end{eqnarray*}

Vì \(\displaystyle\frac{\pi}{2}

Do đó

\(\cos2a=-\sqrt{1-\sin^22a}=-\sqrt{1-\left(-\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2}=-\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{4}\).

\(\tan2a=\displaystyle\frac{\sin2a}{\cos2a}=\displaystyle\frac{3\sqrt{7}}{7}\).

Bài tập 33

Tính

a) \(\cos \left(a+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\), biết \(\sin a=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\) và \(\displaystyle\frac{\pi}{2}<a<\pi\);

b) \(\tan \left(a-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\), biết \(\cos a=-\displaystyle\frac{1}{3}\) và \(\pi<a<\displaystyle\frac{3 \pi}{2}\).

a) Ta có \(\cos^2a+\sin^2a=1\) nên \(\cos a=-\sqrt{1-\sin^2a}=-\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{3}}=-\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\) (vì \(\displaystyle\frac{\pi}{2}

\(\cos \left(a+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\cos a\cos\displaystyle\frac{\pi}{6}-\sin a\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}\) \(=-\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\displaystyle\frac{1}{2}=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{6}\).

b) Ta có \(\cos^2a+\sin^2a=1\) nên \(\sin a=-\sqrt{1-\cos^2a}=-\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{9}}=-\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}\) (vì \(\pi

Suy ra \(\tan a=\displaystyle\frac{\sin a}{\cos a}=2\sqrt{2}\).

Do đó \(\tan\left(a-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\displaystyle\frac{\tan a-\tan\displaystyle\frac{\pi}{6}}{1+\tan a\tan\displaystyle\frac{\pi}{6}}\) \(=\displaystyle\frac{2\sqrt{2}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+2\sqrt{2}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}}=\displaystyle\frac{9\sqrt{3}-8\sqrt{2}}{5}\).

Bài tập 34

Cho \(\tan \displaystyle\frac{a}{2}=-2\). Tính \(\tan a\).

Áp dụng công thức nhân đôi, ta có

\(\tan a=\displaystyle\frac{2 \tan\displaystyle\frac{a}{2}}{1-\tan ^2 \displaystyle\frac{a}{2}}=\displaystyle\frac{2 \cdot (-2)}{1-(-2)^2}=-\displaystyle\frac{4}{3}.\)

Bài tập 35

Cho góc \(\alpha\) thỏa mãn \(\displaystyle\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\), \(\cos \alpha=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\). Tính giá trị của các biểu thức sau

a) \(\sin \left(\alpha+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\);

b) \(\cos\left(\alpha+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\);

c) \(\sin\left(\alpha-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\);

d) \(\cos\left(\alpha-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\).

Do \(\displaystyle\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\) nên \(\begin{cases}\cos\alpha <0\\ \sin\alpha >0.\end{cases}\)

Khi đó \(\sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\).

a) Ta có \(\sin\left(\alpha+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\sin\alpha\cos\displaystyle\frac{\pi}{6}+\cos\alpha\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}\).

b) Ta có \(\cos\left(\alpha+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\cos\alpha\cos\displaystyle\frac{\pi}{6}-\sin\alpha\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}\) \(=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}-\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{-3-\sqrt{6}}{6}\).

c) Ta có \(\sin\left(\alpha-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\sin\alpha\cos\displaystyle\frac{\pi}{6}-\cos\alpha\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}\).

d) Ta có \(\cos\left(\alpha-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\cos\alpha\cos\displaystyle\frac{\pi}{6}+\sin\alpha\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}\) \(=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{-3+\sqrt{6}}{6}\).

Bài tập 36

Cho \(\cos a=\displaystyle\frac{3}{5}\) với \(0<a<\displaystyle\frac{\pi}{2}\). Tính: \(\sin \left(a+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right), \cos \left(a-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right), \tan \left(a+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\).

Ta có: \(\sin ^2 a+\cos ^2 a=1 \Rightarrow \sin ^2 a=1-\cos ^2 a=1-\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^2=\displaystyle\frac{16}{25}\).

Do \(00\). Suy ra \(\sin a=\displaystyle\frac{4}{5}\),\, \(\tan a=\displaystyle\frac{\sin a}{\cos a}=\displaystyle\frac{4}{3}\).

\(\sin \left(a+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\sin a \cos \displaystyle\frac{\pi}{6}+\cos a \sin \displaystyle\frac{\pi}{6}\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \sin a+\displaystyle\frac{1}{2} \cos a=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \displaystyle\frac{4}{5}+\displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{3}{5}=\displaystyle\frac{3+4 \sqrt{3}}{10}\).

\(\cos \left(a-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=\cos a \cos \displaystyle\frac{\pi}{3}+\sin a \sin \displaystyle\frac{\pi}{3}\) \(=\displaystyle\frac{1}{2} \cos a+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \sin a=\displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{3}{5}+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \displaystyle\frac{4}{5}=\displaystyle\frac{3+4 \sqrt{3}}{10}\).

\(\tan \left(a+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\displaystyle\frac{\tan a+\tan \frac{\pi}{4}}{1-\tan a \cdot \tan \frac{\pi}{4}}\) \(=\displaystyle\frac{\frac{4}{3}+1}{1-\frac{4}{3} \cdot 1}=-7\).

Bài tập 37

Tính:

a) \(A=\sin \left(a-17^{\circ}\right) \cos \left(a+13^{\circ}\right)-\sin \left(a+13^{\circ}\right) \cos \left(a-17^{\circ}\right)\).

b) \(B=\cos \left(b+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{6}-b\right)-\sin \left(b+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{6}-b\right)\).

a) \(A=\sin \left[\left(a-17^{\circ}\right)-\left(a+13^{\circ}\right)\right]=\sin \left(-30^{\circ}\right)\) \(=-\sin 30^{\circ}=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

b) \(B=\cos \left[\left(b+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right]+\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}-b\right)\right)=\sin \displaystyle\frac{\pi}{2}=1\).

Bài tập 38

Cho \(\tan (a+b)=3, \tan (a-b)=2\). Tính: \(\tan 2 a, \tan 2 b\).

\(\tan 2a=\tan\left[(a+b)+(a-b)\right]=\displaystyle\frac{\tan(a+b)+\tan(a-b)}{1-\tan(a+b)\tan(a-b)}=\displaystyle\frac{3+2}{1-3\cdot 2}=-1\).

\(\tan 2b=\tan\left[(a+b)-(a-b)\right]=\displaystyle\frac{\tan(a+b)-\tan(a-b)}{1+\tan(a+b)\tan(a-b)}=\displaystyle\frac{3-2}{1+3\cdot 2}=\displaystyle\frac{1}{7}\).

Bài tập 39

Cho \(\sin a+\cos a=1\). Tính: \(\sin 2 a\).

Ta có: \(1=(\sin a+\cos a)^2=\sin^2a+2\sin a\cos a+\cos^2a=1+\sin 2a\).

Suy ra: \(\sin 2a=0\).

Bài tập 40

Cho \(\cos 2 a=\displaystyle\frac{1}{3}\) với \(\displaystyle\frac{\pi}{2}<a<\pi\). Tính: \(\sin a, \cos a, \tan a\).

Do \(\displaystyle\frac{\pi}{2}0,\, \cos a>0\) và \(\tan a>0\).

Ta có

+) \(\sin^2a=\displaystyle\frac{1-\cos 2a}{2}=\displaystyle\frac{1-\frac{1}{3}}{2}=\displaystyle\frac{1}{3}\Rightarrow \sin a=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\).

+) \(\cos^2a=\displaystyle\frac{1+\cos 2a}{2}=\displaystyle\frac{1+\frac{1}{3}}{2}=\displaystyle\frac{2}{3}\Rightarrow \cos a=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\).

+) \(\tan^2a=\displaystyle\frac{1-\cos 2a}{1+\cos 2a}=\displaystyle\frac{1-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\displaystyle\frac{1}{2}\Rightarrow \tan a=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Bài tập 41

Cho \(\sin a+\cos a=\displaystyle\frac{1}{2}\). Tính \(\sin 2 a\); \(\cos 4 a\).

+) Do \(\sin a+\cos a=\displaystyle\frac{1}{2}\) nên \((\sin a+\cos a)^{2}=\displaystyle\frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin ^{2} a+\cos ^{2} a+2 \sin a \cos a=\displaystyle\frac{1}{4}\) hay \(1+2 \sin a \cos a=\displaystyle\frac{1}{4}\).

Suy ra \(\sin 2 a=\displaystyle\frac{1}{4}-1=-\displaystyle\frac{3}{4}\).

+) Áp dụng công thức nhân đôi, ta có: \(\cos 4 a=\cos (2 \cdot 2 a)=1-2 \sin ^{2} 2 a=-\displaystyle\frac{1}{8}\).

Bài tập 42

Cho bất kì góc \(\alpha\). Chứng minh các đẳng thức sau

a) \(\left(\sin \alpha+\cos\alpha\right)^2=1+\sin 2\alpha\);

b) \(\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=\cos 2\alpha\).

a) \(\left(\sin \alpha+\cos\alpha\right)^2=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=1+\sin 2\alpha\);

b) \(\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=\left(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)=\cos 2\alpha\).

Bài tập 43

Chứng minh đẳng thức: \(\sin (a+b) \sin (a-b)=\sin ^2 a-\sin ^2 b=\cos ^2 b-\cos ^2 a.\)

Chứng minh \(\sin (a+b) \sin (a-b)=\cos ^2 b-\cos ^2 a\).

Ta có

\begin{eqnarray*}\sin(a+b)\sin(a-b)&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos(2b)-\cos(2a)\right]\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left[\left(2\cos^2b-1\right)-\left(2\cos^2a-1\right)\right]\\&=&\cos^2b-\cos^2a.\end{eqnarray*}

Chứng minh \(\sin ^2 a-\sin ^2 b=\cos ^2 b-\cos ^2 a\).

Ta có \(\sin ^2 a-\sin ^2 b=1-\cos^2a-\left(1-\cos^2b\right)=\cos^2b-\cos^2a\).

Vậy \(\sin (a+b) \sin (a-b)=\sin ^2 a-\sin ^2 b=\cos ^2 b-\cos ^2 a\).

Bài tập 44

Chứng minh rằng \(\sin x+\cos x=\sqrt{2} \sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\).

Ta có

\(\begin{aligned}\sqrt{2} \sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) &=\sqrt{2}\left(\sin x \cos \displaystyle\frac{\pi}{4}+\cos x \sin \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\\ &=\sqrt{2}\left(\sin x \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}+\cos x \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\ &=\sin x+\cos x.\end{aligned}\)

Đẳng thức được chứng minh.

Bài tập 45

Chứng minh rằng:

a) \(\sin x-\cos x=\sqrt{2} \sin \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\)

b) \(\tan \left(\displaystyle\frac{\pi}{4}-x\right)=\displaystyle\frac{1-\tan x}{1+\tan x}~ \left(x \neq \displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi, x \neq \displaystyle\frac{3 \pi}{4}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\right)\).

a) Ta có

\[\begin{aligned}\sqrt{2} \sin \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)&=\sqrt{2}\left(\sin x \cos \displaystyle\frac{\pi}{4}-\cos x \sin \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\\ &=\sqrt{2}\left(\sin x \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}-\cos x \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\ &=\sin x-\cos x.\end{aligned}\]

Đẳng thức được chứng minh.

b) Ta có

\(\begin{aligned}\tan \left(\displaystyle\frac{\pi}{4}-x\right)&=\displaystyle\frac{\tan\displaystyle\frac{\pi}{4}-\tan x}{1+\tan\displaystyle\frac{\pi}{4}\tan x}\\ &=\displaystyle\frac{1-\tan x}{1+\tan x}~\left(x \neq \displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi, x \neq \displaystyle\frac{3 \pi}{4}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\right).\end{aligned}\)

Đẳng thức được chứng minh.

Bài tập 46

Chứng minh đẳng thức lượng giác:

a) \(\sin (\alpha+\beta) \sin (\alpha-\beta)=\sin ^2 \alpha-\sin ^2 \beta\);

b) \(\cos ^4 \alpha-\cos ^4\left(\alpha-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=\cos 2 \alpha\).

a) Ta có

\begin{eqnarray*}\sin (\alpha+\beta)&=&\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\ \sin (\alpha-\beta)&=&\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\ \Rightarrow \sin (\alpha+\beta) \sin (\alpha-\beta)&=&(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)\\ &=& \sin^2\alpha\cos^2\beta+\cos^2\alpha\sin^2\beta\\ &=&\sin^2\alpha\left(1-\sin^2\beta\right)+\left(1-\sin^2\alpha\right)\sin^2\beta\\ &=&\sin^2\alpha-\sin^2\beta.\end{eqnarray*}

b) Ta có

\begin{eqnarray*}&&\cos ^4 \alpha-\cos ^4\left(\alpha-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\\ &=&\cos^4\alpha-\cos^4\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\\ &=&\cos^4\alpha-\sin^4\alpha \\ &=&\left(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)\\ &=&\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos 2\alpha.\end{eqnarray*}

Bài tập 47

Rút gọn biểu thức: \(A=\displaystyle\frac{\sin x+\sin 2 x+\sin 3 x}{\cos x+\cos 2 x+\cos 3 x}\).

\(A=\displaystyle\frac{(\sin x+\sin 3x)+\sin 2x}{(\cos x+\cos 3x)+\cos 2x}\) \(=\displaystyle\frac{2\sin2x\cos x+\sin 2x}{2\cos 2x\cos x+\cos 2x}=\displaystyle\frac{\sin 2x(2\cos x+1)}{\cos 2x(2\cos x+1)}=\tan 2x\).

Bài tập 48

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(\sqrt{2} \sin \left(\alpha + \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) - \cos \alpha\);

b) \((\cos \alpha+\sin \alpha)^2 - \sin 2 \alpha\).

a) Ta có

\begin{eqnarray*}\sqrt{2} \sin \left(\alpha + \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) - \cos \alpha&=&\sqrt{2}\sin \alpha \cos \displaystyle\frac{\pi}{4} + \sqrt{2}\cos \alpha \sin \displaystyle\frac{\pi}{4} - \cos \alpha\\ &=&\sqrt{2}\sin \alpha \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}\cos \alpha \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos \alpha\\ &=&\sin \alpha + \cos \alpha - \cos \alpha\\ &=& \sin \alpha.\end{eqnarray*}

b) Ta có

\begin{eqnarray*}(\cos \alpha+\sin \alpha)^2 - \sin 2 \alpha&=&\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha - \sin 2 \alpha\\ &=&(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + \sin 2 \alpha - \sin 2 \alpha\\ &=&1.\end{eqnarray*}

Bài tập 49

Chứng minh rằng trong tam giác \(ABC\), ta có \(\sin A = \sin B \cos C + \sin C \cos B\).

Trong \(\triangle ABC\) ta có \(A + B + C = \pi \Leftrightarrow A = \pi - (B + C)\).

Suy ra \(\sin A = \sin \left(\pi - (B + C)\right) = \sin (B + C) = \sin B \cos C + \sin C \cos B\).

Bài tập 50

Cho tam giác \(A B C\) có \(\widehat{B}=75^{\circ}; \widehat{C}=45^{\circ}\) và \(a=B C=12 \mathrm{~cm}\).

a) Sử dụng công thức \(S=\displaystyle\frac{1}{2} a b \sin C\) và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác \(A B C\) cho bởi công thức

\(S=\displaystyle\frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A}.\)

b) Sử dụng kết quả ở câu \(1\) và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích \(S\) của tam giác \(A B C\).

a) Ta có \(\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\displaystyle\frac{b}{\sin B}\) nên \(b=\displaystyle\frac{a\sin B}{\sin A}\).

Khi đó \(S=\displaystyle\frac{1}{2} a b \sin C=\displaystyle\frac{1}{2}a\cdot\displaystyle\frac{a\sin B}{\sin A}\sin C=\displaystyle\frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A} \).

b) Ta có \(\sin B\sin C=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos\left(B-C\right)-\cos\left(B+C\right)\right]\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\cos30^\circ-\cos120^\circ\right)=\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}}{4}\).

Lại có \(\sin A=\sin\left(180^\circ-B-C\right)=\sin60^\circ=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Diện tích \(S\) của tam giác \(A B C\) là

\(S=\displaystyle\frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A}\) \(=\displaystyle\frac{12^2\cdot\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}}{4}}{2\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}=36+12\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2\).

Bài tập 51

Một sợi cáp \(R\) được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất \(14 \mathrm{~m}\). Một sợi cáp \(S\) khác cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất \(12 \mathrm{~m}\). Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với mặt đất tại một vị trí cách chân cột \(15 \mathrm{~m}\).

a) Tính \(\tan\alpha\), ở đó \(\alpha\) là góc giữa hai sợi cáp trên.

b) Tìm góc \(\alpha\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

a) Ta có: \(\tan\widehat{AOH}=\displaystyle\frac{AH}{OH}=\displaystyle\frac{14}{15}\), \(\tan\widehat{BOH}=\displaystyle\frac{BH}{OH}=\displaystyle\frac{12}{15}\). Suy ra:

\(\tan\alpha=\tan\widehat{AOB}=\tan\left(\widehat{AOH}-\widehat{BOH}\right)=\displaystyle\frac{\tan\widehat{AOH}-\tan\widehat{BOH}}{1+\tan\widehat{AOH}\cdot\tan\widehat{BOH}}=\displaystyle\frac{\frac{14}{15}-\frac{12}{15}}{1+\frac{14}{15}\cdot\frac{12}{15}}=\displaystyle\frac{10}{131}\).

b) \(\tan\alpha=\displaystyle\frac{10}{131}\Rightarrow\alpha\approx 4^\circ\).

Bài tập 52

Có hai chung cư cao tầng xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là \(H K=20 \mathrm{~m}\). Để đảm bảo an ninh, trên nóc chung cư thứ hai người ta lắp camera ở vị trí \(C\). Gọi \(A, B\) lần lượt là vị trí thấp nhất, cao nhất trên chung cư thứ nhất mà camera có thể quan sát được. Hãy tính số đo góc \(A C B\) (phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất). Biết rằng chiều cao của chung cư thứ hai là \(C K=32 \mathrm{~m}\), \(A H=6 \mathrm{~m}, B H=24 \mathrm{~m}\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị độ).

Ta có: \(CD=CK-BH=8\), \(CI=CK-AH=26\), \(BD=AI=HK=20\).

\(\tan\widehat{BCD}=\displaystyle\frac{BD}{CD}=\displaystyle\frac{20}{8}=\displaystyle\frac{5}{2}\), \(\tan\widehat{ACI}=\displaystyle\frac{AI}{CI}=\displaystyle\frac{20}{26}=\displaystyle\frac{10}{13}\).

\(\tan\widehat{BCA}=\tan\left(\widehat{BCD}-\widehat{ACI}\right)=\displaystyle\frac{\tan\widehat{BCD}-\tan\widehat{ACI}}{1+\tan\widehat{BCD}.\tan\widehat{ACI}}=\displaystyle\frac{\frac{5}{2}-\frac{10}{13}}{1+\frac{5}{2}\cdot\frac{10}{13}}\)

\(\tan\widehat{BCA}=\displaystyle\frac{45}{76}\Rightarrow \widehat{BCA}\approx 30,6^\circ \).

Bài tập 53

Hiệu điện thế và cường độ dòng điện trong một thiết bị điện lần lượt được cho bởi các biểu thức sau:

\(\begin{aligned}& u=40 \sin (120 \pi t)+10 \sin (360 \pi t)(\mathrm{V}) \\ & i=4 \sin (120 \pi t)+\sin (360 \pi t) \quad \text { (A). }\end{aligned}\)

Biết rằng công suất tiêu thụ tức thời của thiết bị đó được tính theo công thức: \(P=u \cdot i\) (W). Hãy viết biểu thức biểu thị công suất tiêu thụ tức thời ở dạng không có lũy thừa và tích của các biểu thức lượng giác.

Ta có:

\(\begin{aligned}P & =u \cdot i=[40 \sin (120 \pi t)+10 \sin (360 \pi t)] \cdot[4 \sin (120 \pi t)+\sin (360 \pi t)] \\ & =160 \sin ^{2}(120 \pi t)+10 \sin ^{2}(360 \pi t)+80 \sin (120 \pi t) \sin (360 \pi t) \\ & =80[1-\cos (240 \pi t)]+5[1-\cos (720 \pi t)]+40[\cos (360 \pi t-120 \pi t)-\cos (360 \pi t+120 \pi t)] \\& =85-80 \cos (240 \pi t)-5 \cos (720 \pi t)+40 \cos (240 \pi t)-40 \cos (480 \pi t) \\ & =85-40 \cos (240 \pi t)-5 \cos (720 \pi t)-40 \cos (480 \pi t)(\mathrm{W}).\end{aligned}\)

Bài tập 54

Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hoà cho bởi công thức \(x(t)=A \cos (\omega t+\varphi)\), trong đó \(t\) là thời điểm (tính bằng giây), \(x(t)\) là li độ của vật tại thời điểm \(t\), \(A\) là biên độ dao động \((A>0)\) và \(\varphi \in[-\pi ; \pi]\) là pha ban đầu của dao động. Xét hai dao động điều hoà có phương trình:

\(\begin{aligned}& x_1(t)=2 \cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{3} t+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\,(\mathrm{cm}), \\ & x_2(t)=2 \cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{3} t-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\,(\mathrm{cm}).\end{aligned}\)

Tìm dao động tổng hợp \(x(t)=x_1(t)+x_2(t)\) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

Dao động tổng hợp \(x(t)\) có phương trình \(x(t)=2 \cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{3} t+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)+2 \cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{3} t-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\).

Khi đó \(x(t)=2 \left[\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{3} t+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)+ \cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{3} t-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\right]\) \(=2\cdot2\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}t-\displaystyle\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=2\sqrt{2}\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}t-\displaystyle\frac{\pi}{12}\right)\).

Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này lần lượt là \(A=2\sqrt{2}\) và \(\varphi=-\displaystyle\frac{\pi}{12}\).

Bài tập 55

Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình vẽ bên dưới cho thấy tần số thấp \(f_1\) và tần số cao \(f_2\) liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra sóng âm \(y=\sin \left(2 \pi f_1 t\right)+\sin \left(2 \pi f_2 t\right)\), ở đó \(t\) là biến thời gian (tính bằng giây).

a) Tìm hàm số mô hình hoá âm thanh được tạo ra khi nhấn phím \(4\).

b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu \(1\) về dạng tích của một hàm số sin và một hàm số côsin.

a) Nhấn phím \(4\) sẽ tạo ra sóng âm \(y=\sin \left(2 \pi f_1 t\right)+\sin \left(2 \pi f_2 t\right)\) với \(f_{1}=770 \mathrm{\mathrm{Hz}}\) và \(f_{2}=1209 \mathrm{Hz}\).

Khi đó \(y=\sin \left(2 \pi 770 t\right)+\sin \left(2 \pi 1209 t\right)\).

Hay \(y=\sin \left(1540 \pi t\right)+\sin \left(2418 \pi t\right)\).

b) Ta có

\(\begin{aligned}y&=\sin \left(1540 \pi t\right)+\sin \left(2418 \pi t\right)\\ &= 2\sin \displaystyle\frac{1540 \pi t+2418 \pi t}{2}\cos \displaystyle\frac{1540 \pi t-2418 \pi t}{2}\\ &=2\sin(1979 \pi t)\cos (439 \pi t).\end{aligned}\)

Bài tập 56

Trong hình bên dưới, pít-tông \(M\) của động cơ chuyển động tịnh tiến qua lại dọc theo xi-lanh làm quay trục khuỷu \(I A\). Ban đầu \(I\), \(A\), \(M\) thẳng hàng. Cho \(\alpha\) là góc quay của trục khuỷu, \(O\) là vị trí của pít-tông khi \(\alpha = \displaystyle\frac{\pi}{2}\) và \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(Ix\). Trục khuỷu \(IA\) rất ngắn so với độ dài thanh truyền \(A M\) nên có thể xem như độ dài \(MH\) không đổi và gần bằng \(MA\).

a) Biết \(IA = 8\) cm, viết công thức tính tọa độ \(x_M\) của điểm \(M\) trên trục \(Ox\) theo \(\alpha\).

b) Ban đầu \(\alpha = 0\). Sau 1 phút chuyển động, \(x_M = -3\) cm. Xác định \(x_M\) sau \(2\) phút chuyển động. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

a) Ta có \(OM=IH\) nên \(x_M = IA \cdot \cos \alpha = 8\cos \alpha\).

b) Sau 1 phút chuyển động, góc quay \(\alpha\) thì ta có

\(x_M = 8\cos \alpha = - 3 \Leftrightarrow \cos \alpha = -\displaystyle\frac{3}{8}.\)

Sau 2 phút chuyển động, ta có góc quay là \(2\alpha\) thì

\(x_M = 8\cos 2\alpha = 8(2\cos^2 \alpha - 1)\) \(= -\displaystyle\frac{23}{4} \approx -5{,}8\ (\mathrm{cm}).\)

Bài tập 57

Trong hình bên dưới, ba điểm \(M\), \(N\), \(P\) nằm ở đầu các cánh quạt của tua-bin gió. Biết các cánh quạt dài \(31\) m, độ cao của điểm \(M\) so với mặt đất là \(30\) m, góc giữa các cánh quạt là \(\displaystyle\frac{2 \pi}{3}\) và số đo góc \((OA, OM)\) là \(\alpha\).

a. Tính \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\).

b. Tính \(\sin\) của các góc lượng giác \((OA, ON)\) và \((OA, OP)\), từ đó tính chiều cao của các điểm \(N\) và \(P\) so với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

a) Ta có tọa độ điểm \(M\) trong hệ trục tọa độ \(Oxy\) là \(M(x_M; y_M)\).

Với \(\sin \alpha = \displaystyle\frac{y_M}{OM} = -\displaystyle\frac{30}{31}\) và \(\cos \alpha =\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \displaystyle\frac{\sqrt{61}}{31}\).

b) Ta có \((OA, OP)=(OA,OM)+(OM,OP)\) \(=\alpha+\displaystyle\frac{2\pi}{3}\).

Suy ra

\(\sin (OA,OP)=\sin\left(\alpha+\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right)\)

\(=\sin\alpha\cos\displaystyle\frac{2\pi}{3}+\sin\displaystyle\frac{2\pi}{3}\cos\alpha\)

\(=-\displaystyle\frac{30}{31}\cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{61}}{31}=\displaystyle\frac{30+\sqrt{183}}{62}.\)

Do đó chiều cao của điểm \(P\) so với mặt đất là

\(60+31\sin(OA,OP)\) \(=60+31\cdot \displaystyle\frac{30+\sqrt{183}}{62}\approx 81{,}76\ \mathrm{m}\).

Tương tự, ta có \((OA, ON)=(OA,OM)+(OM,ON)\) \(=\alpha+\displaystyle\frac{4\pi}{3}\).

Suy ra

\(\sin (OA,ON)=\sin\left(\alpha+\displaystyle\frac{4\pi}{3}\right)\)

\(=\sin\alpha\cos\displaystyle\frac{4\pi}{3}+\sin\displaystyle\frac{4\pi}{3}\cos\alpha\)

\(=-\displaystyle\frac{30}{31}\cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)+\left(-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot\displaystyle\frac{\sqrt{61}}{31}\) \(=\displaystyle\frac{30-\sqrt{183}}{62}.\)

Do đó chiều cao của điểm \(N\) so với mặt đất là

\(60+31\sin(OA,ON)=60+31\cdot \displaystyle\frac{30-\sqrt{183}}{62}\) \(\approx 68{,}24 \ \mathrm{m}\).