Gieo một con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc bằng \(7\).
Không gian mẫu của phép thử trên là \(\Omega=\left\{\left(a,b,c\right)\right\}\) với \(a,b,c\) là các số tự nhiên phân biệt và \(1\le a,b,c\le 6\). Suy ra \(n\left(\Omega\right)=6^3=216\).
Gọi \(A\) là biến cố: Tổng số chấm xuất hiện trên 3 con xúc xắc bằng \(7\).
Tức là \(A=\left\{\left(a,b,c\right)|a+b+c=7\right\}\).
Vì \(a+b+c=7\) nên \((a,b,c)\) là một trong các hoán vị của các bộ số \(\left(1,1,5\right)\), \(\left(1,2,4\right)\), \(\left(1,3,3\right)\) và \(\left(2,2,3\right)\).
\(\left(1,1,5\right)\) có \(3\) hoán vị; \(\left(1,2,4\right)\) có \(6\) hoán vị; \(\left(1,3,3\right)\) có \(3\) hoán vị; \(\left(2,2,3\right)\) có \(3\) hoán vị.
Vậy \(n(A)=3+6+3+3=15\). Do đó \(\mathrm{P}(A)=\displaystyle\frac{15}{6^3}=\displaystyle\frac{5}{72}\).
Một cửa hàng bán ba loại kem: xoài, sô cô la và sữa. Một học sinh chọn mua ba cốc kem một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để ba kem chọn được thuộc hai loại.
Kí hiệu \(A\) là kem xoài, \(B\) là kem sôcôla và \(C\) là kem sữa.
\(\Omega=\left\{ AAA; BBB; CCC; ABC; ABB; ACC; BCC; BAA; CAA; CBB\right\}\). Suy ra \(n\left(\Omega\right)=10\).
Gọi \(E\) là biến cố: Ba cốc kem chọn thuộc hai loại.
Ta có
\(E=\left\{ ABB;ACC;BCC;BAA;CAA;CBB\right\}.\) Suy ra \(n(E)=6.\)
Vậy \(\mathrm{P}(E)=\displaystyle\frac{6}{10}=0{,}6\).
Hai thầy trò đến dự một buổi hội thảo. Ban tổ chức xếp ngẫu nhiên \(6\) đại biểu trong đó hai thầy trò ngồi trên một chiếc ghế dài. Tính xác suất để hai thầy trò ngồi cạnh nhau.
Không gian mẫu của phép thử trên có số phần tử là \(n(\Omega)=6!=720\). Gọi \(E\) là biến cố: Hai thầy trò ngồi cạnh nhau.
Công đoạn 1: Xếp hai thầy trò ngồi cạnh nhau
\(\left(1,2\right);\left(2;1\right);\left(2;3\right);\left(3;2\right);\left(3;4\right);\left(4;3\right);\left(4;5\right);\) \(\left(5;4\right);\left(5;6\right);\left(6;5\right)\). Có \(10\) cách xếp.
Công đoạn 2: Xếp 4 đại biểu còn lại có \(4!=24\) cách xếp. Theo quy tắc nhân, ta có \(10\cdot 24=240\) cách xếp hai thầy trò ngồi cạnh nhau.
Suy ra \(n(E)=240\).
Vậy \(\mathrm{P}(E)=\displaystyle\frac{240}{720}=\displaystyle\frac{1}{3}\).
Có ba cặp vợ chồng, trong đó có hai vợ chồng ông bà An đến dự một bữa tiệc. Họ được xếp ngẫu nhiên ngồi quanh một chiếc bàn tròn.
\(\bullet\,\) Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử.
\(\bullet\,\) Hai cách xếp chỗ ngồi quanh bàn tròn được coi là như nhau nếu đối với mỗi người A trong nhóm, trong hai cách xếp đó, người ngồi bên trái A và bên phải A không thay đổi.
\(\bullet\,\) Tính xác suất để vợ chồng ông bà An ngồi cạnh nhau.
\(\bullet\,\) Mỗi cách xếp chỗ ngồi quanh bàn tròn là một phần tử của không gian mẫu.
Giả sử \(6\) chiếc ghế quanh bàn tròn được đánh số là \(1\), \(2\),\ldots, \(6\) và \(x_i\) là kí hiệu người ngồi ở ghế mang số \(i\). Khi đó mỗi cách xếp \(6\) người này \(\left(x_1,\,x_2,\,x_3,\,x_4,x_5,\,x_6\right)\) cho ta một hoán vị của tập hợp \(6\) người. Có tất cả \(6!\) cách xếp chỗ ngồi cho họ.
Vì ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn nên \(6\) cách xếp sau đây được xem là giống nhau. Mặc dù số ghế họ ngồi có thay đổi nhưng vị trí tương đối giữa \(6\) người đó là không thay đổi.
\(\left(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6\right)\); \(\left(x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_1\right)\); \(\left(x_3,x_4,x_5,x_6,x_1,x_2\right)\);
\(\left(x_4,x_5,x_6,x_1,x_2,x_3\right)\); \(\left(x_5,x_6,x_1,x_2,x_3,x_4\right)\);
\(\left(x_6,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\right)\).
Suy ra chỉ có \(\displaystyle\frac{6!}{6}=5!=120\) cách xếp. Do đó \(n\left(\Omega\right)=120\).
\(\bullet\,\) Gọi \(E\) là biến cố: Hai ông bà An ngồi cạnh nhau. Ta hãy tính xem có bao nhiêu cách xếp trong đó hai ông bà An ngồi cạnh nhau. Ta coi hai ông bà An ngồi chung một ghế. Như vậy có \(\left(5-1\right)!=4!=24\) cách xếp. Vì hai ông bà An có thể đổi chỗ cho nhau nên có \(24\cdot 2=48\) cách xếp để hai ông bà An ngồi cạnh nhau.
Suy ra \(n(E)=48\). Vậy \(P(E)=\displaystyle\frac{48}{120}=\displaystyle\frac{2}{5}=0{,}4\).
Một chiếc hộp đựng \(6\) quả cầu trắng, \(4\) quả cầu đỏ và hai quả cầu đen. Chọn ngẫu nhieen6 quả cầu. Tính xác suất để chọn được \(3\) quả trắng, \(2\) quả đỏ và \(1\) quả đen.
Không gian mẫu của phép thử trên có số phần tử là \(n\left(\Omega\right)=\mathrm{C}_{12}^6=924\).\ Gọi \(E\) là biến cố: Chọn được \(3\) quả trắng, \(2\) quả đỏ và \(1\) quả đen.
Chọn \(3\) quả cầu trắng từ \(6\) quả cầu trắng, có \(\mathrm{C}_6^3=20\) cách chọn;
Chọn \(2\) quả cầu đỏ từ \(4\) quả cầu đỏ, có \(\mathrm{C}_4^2=6\) cách chọn;
Chọn \(1\) quả cầu đen từ \(2\) quả cầu đen, có \(2\) cách chọn. Suy ra \(n(E)=20\cdot 6 \cdot 2=240\).
Vậy \(\mathrm{P}(E)=\displaystyle\frac{240}{924}=\displaystyle\frac{20}{77}.\)
Một hội thảo quốc tế gồm \(12\) học sinh đến từ các nước: Việt Nam, Nhật Bản, Singapore, Ấn Độ, Hàn Quốc, Brasil, Canada, Tây Ban Nha, Đức, Pháp, Nam Phi, Cameroon, mỗi nước chỉ có đúng một học sinh. Chọn ra ngẫu nhiên \(2\) học sinh trong nhóm học sinh quốc tế để tham gia ban tổ chức. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
\(\bullet\,\) \(A\): Hai học sinh được chọn ra đến từ châu Á;
\(\bullet\,\) \(B\): Hai học \(\sinh\) được chọn ra đến từ châu Âu;
\(\bullet\,\) \(C\): Hai học sinh được chọn ra đến từ châu Mĩ;
\(\bullet\,\) \(D\): Hai học sinh được chọn ra đến từ châu Phi.
Số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega)=\mathrm{C}_{12}^2=66\).
\(\bullet\,\) Các nước thuộc châu Á là Việt Nam, Nhật Bản, Singapore, Ấn Độ, Hàn Quốc.
Số phần tử của biến cố \(A\) là \(n(A)=\mathrm{C}_5^2=10\).
Xác suất của biến cố \(A\) là \(\mathrm{P}(A)=\displaystyle\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{10}{66}=\displaystyle\frac{5}{33}\).
\(\bullet\,\) Các nước thuộc châu Âu là Tây Ban Nha, Đức, Pháp.
Số phần tử của biến cố \(B\) là \(n(A)=\mathrm{C}_3^2=3\).
Xác suất của biến cố \(A\) là \(\mathrm{P}(B)=\displaystyle\frac{n(B)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{3}{66}=\displaystyle\frac{1}{22}\).
\(\bullet\,\) Các nước thuộc châu Mĩ là Brasil, Canada.
Số phần tử của biến cố \(C\) là \(n(C)=\mathrm{C}_2^2=1\).
Xác suất của biến cố \(C\) là \(\mathrm{P}(C)=\displaystyle\frac{n(C)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{1}{66}\).
\(\bullet\,\) Các nước thuộc châu Phi là Nam Phi, Cameroon.
Số phần tử của biến cố \(D\) là \(n(D)=\mathrm{C}_2^2=1\).
Xác suất của biến cố \(D\) là \(\mathrm{P}(D)=\displaystyle\frac{n(D)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{1}{66}\).
Trong một trò chơi, bạn Hằng ghi tên \(63\) tỉnh, thành phố trực thuộc Trung ương của Việt Nam (tính đến năm \(2021\)) vào \(63\) phiếu, hai phiếu khác nhau ghi tên hai nơi khác nhau, rồi bỏ tất cả các phiếu đó vào một hộp kín. Bạn Hoài rút ngẫu nhiên \(2\) phiếu. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
\(\bullet\,\) \(A\): Hai phiếu rút được ghi tên hai nơi bắt đầu bằng âm tiết Hà;
\(\bullet\,\) \(B\): Hai phiếu rút được ghi tên hai nơi bắt đầu bằng chữ K;
\(\bullet\,\) \(C\): Hai phiếu rút được ghi tên hai nơi bắt đầu bằng chữ B.
Số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega)=\mathrm{C}_{63}^2\).
\(\bullet\,\) Có \(4\) tỉnh, thành phố mà tên bắt đầu bằng âm tiết Hà là Hà Nội, Hà Giang, Hà Tĩnh, Hà Nam nên số phần tử của biến cố \(A\) là \(n(A)=\mathrm{C}_4^2=6\).
Ta có \(\mathrm{P}(A)=\displaystyle\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{6}{\mathrm{C}_{63}^2}=\displaystyle\frac{2}{651}\).
\(\bullet\,\) Có \(3\) tỉnh mà tên bắt đầu bằng chữ K là Khánh Hoà, Kiên Giang, Kon Tum nên số phần tử của biến cố \(B\) là \(n(B)=\mathrm{C}_3^2=3\).
Ta có \(\mathrm{P}(B)=\displaystyle\frac{n(B)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{3}{\mathrm{C}_{63}^2}=\displaystyle\frac{1}{651}\).
\(\bullet\,\) Có \(10\) tỉnh mà tên bắt đầu bằng chữ B là Bà Rịa - Vũng Tàu, Bắc Giang, Bắc Kạn, Bắc Ninh, Bạc Liêu, Bến Tre, Bình Phước, Bình Dương, Bình Định, Bình Thuận nên số phần tử của \(C\) là \(\mathrm{C}_{10}^2=45\).
Ta có \(\mathrm{P}(C)=\displaystyle\frac{n(C)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{45}{\mathrm{C}_{63}^2}=\displaystyle\frac{5}{217}\).
Một đội thanh niên tình nguyện gồm \(27\) người đến từ các tỉnh (thành phố): Kon Tum, Gia Lai, Đắk Lắk, Đắk Nông, Lâm Đồng, Phú Yên, Khánh Hoà, Ninh Thuận, Bình Thuận, Bà Rịa - Vũng Tàu, Bình Dương, Bình Phước, Đồng Nai, Tây Ninh, Long An, Tiền Giang, Vĩnh Long, Bến Tre, Đồng Tháp, Trà Vinh, An Giang, Cần Thơ, Hậu Giang, Bạc Liêu, Sóc Trăng, Kiên Giang và Cà Mau; mỗi tỉnh chỉ có đúng một thành viên của đội. Chọn ngẫu nhiên \(3\) thành viên của đội để phân công nhiệm vụ trước. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
\(\bullet\,\) \(A\): Ba thành viên được chọn đến từ Tây Nguyên.
\(\bullet\,\) \(B\): Ba thành viên được chọn đển từ Duyên hải Nam Trung Bộ.
\(\bullet\,\) \(C\): Ba thành viên được chọn đến từ Đông Nam Bộ.
\(\bullet\,\) \(D\): Ba thành viên được chọn đến từ Đồng bằng sông Cửu Long.
Số phần tử không gian mẫu là \(n(\Omega)=\mathrm{C}_{27}^3\).
\(\bullet\,\) Có \(5\) tỉnh thuộc Tây Nguyên là Kon Tum, Gia Lai, Đắk Lắk, Đắk Nông, Lâm Đồng nên số phần tử của biến cố \(A\) là \(n(A)=\mathrm{C}_5^3=10\).
Ta có \(\mathrm{P}(A)=\displaystyle\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{10}{\mathrm{C}_{27}^3}=\displaystyle\frac{2}{585}\).
\(\bullet\,\) Có \(4\) tỉnh thuộc Duyên hải Nam Trung Bộ là Phú Yên, Khánh Hoà, Ninh Thuận, Bình Thuận nên số phần tử của biến cố \(B\) là \(n(B)=\mathrm{C}_4^3=4\).
Ta có \(\mathrm{P}(B)=\displaystyle\frac{n(B)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{4}{\mathrm{C}_{27}^3}=\displaystyle\frac{4}{2925}\).
\(\bullet\,\) Có \(5\) tỉnh thuộc Đông Nam Bộ là Bà Rịa - Vũng Tàu, Bình Dương, Bình Phước, Đồng Nai, Tây Ninh nên số phần tử của biến cố \(C\) là \(n(C)=\mathrm{C}_5^3=10\).
Ta có \(\mathrm{P}(C)=\displaystyle\frac{n(C)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{10}{\mathrm{C}_{27}^3}=\displaystyle\frac{2}{585}\).
\(\bullet\,\) Có \(13\) tỉnh, thành phố thuộc Đồng bằng sông Cửu Long là Long An, Tiền Giang, Vĩnh Long, Bến Tre, Đồng Tháp, Trà Vinh, An Giang, Cần Thơ, Hậu Giang, Bạc Liêu, Sóc Trăng, Kiên Giang, Cà Mau nên số phần tử của biến cố \(D\) là \(n(D)=\mathrm{C}_{13}^3=286\).
Ta có \(\mathrm{P}(D)=\displaystyle\frac{n(D)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{286}{\mathrm{C}_{27}^3}=\displaystyle\frac{22}{225}\).
Một hộp có \(5\) chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\); hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ từ trong hộp, ghi lại số của thẻ được rút ra và bỏ lại thẻ đó vào hộp. Xét phép thử Rút ngẫu nhiên liên tiếp \(3\) lần rút ra và bỏ lại chiếc thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố \(A\): Tích các số ghi trên thẻ ở \(3\) lần rút là số chẵn.
Không gian mẫu \(\Omega\) có số phần tử là \(n(\Omega)=5^3=125\).
Xét biến cố \(\overline{A}\): Tích các số ghi trên thẻ ở \(3\) lần rút là số lẻ là biến cố đối của biến cố \(A\). Tích các số là số lẻ khi và chỉ khi các số đó đều là số lẻ nên số phần tử của biến cố \(\overline{A}\) là \(n\left(\overline{A}\right)=3^3=27\).
Vậy xác suất của biến cố \(A\) là \(\mathrm{P}(A)=1-\mathrm{P}(\overline{A})=1-\displaystyle\frac{n\left(\overline{A}\right)}{n(\Omega)}=1-\displaystyle\frac{27}{125}=\displaystyle\frac{98}{125}\).
Có \(3\) khách hàng (không quen biết nhau) cùng đến một cửa hàng có \(5\) quầy phục vụ khác nhau. Tính xác suất để có \(2\) khách hàng cùng vào một quầy và khách hàng còn lại vào một quầy khác.
Mỗi khách hàng có \(5\) cách chọn quầy nên số phần tử của không gian mẫu \(\Omega\) là \(n(\Omega)=5^3=125\).
Gọi \(A\) là biến cố \(2\) khách hàng cùng vào một quầy và khách hàng còn lại vào một quầy khác.
Số cách chọn \(2\) khách hàng là \(\mathrm{C}_3^2=3\). Số cách chọn quầy cho \(2\) khách đó là \(5\).
Số cách chọn quầy cho khách hàng còn lại là \(4\).
Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là \(n(A)=3 \times 5 \times 4=60\).
Vậy xác suất của biến cố \(A\) là \(\mathrm{P}(A)=\displaystyle\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\displaystyle\frac{60}{125}=\displaystyle\frac{12}{25}\).